现代控制理论-3控制系统的状态方程求解.ppt

现代控制理论基础现代控制理论基础1第二章 控制系统的状态方程求解2.1 2.1 线性定常系统状态方程的解线性定常系统状态方程的解2.2 2.2 线性定常系统状态转移矩阵的几种求法线性定常系统状态转移矩阵的几种求法2.3 2.3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统线性离散系统的状态空间表达式及连续系统 的离散化的离散化2.4 2.4 线性定常离散系统状态方程的求解线性定常离散系统状态方程的求解2 2.1.2.1.线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解 可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。关键是求解状态方程。本节重点来讨论这个问题。关键是求解状态方程。本节重点来讨论这个问题。先讨论自由运动的规律，即求自由解。先讨论自由运动的规律，即求自由解。前面我们详细讨论了状态空间表达式的建立前面我们详细讨论了状态空间表达式的建立及相互转换。在建立了新的数学模型之后，接着及相互转换。在建立了新的数学模型之后，接着就是求解问题。就是求解问题。由于状态空间表达式由两部分组成由于状态空间表达式由两部分组成,即即3一、齐次状态方程的解一、齐次状态方程的解所谓齐次状态方程，与齐次微分方程类似，即所谓齐次状态方程，与齐次微分方程类似，即输入输入u u(t t)=0)=0的情况。故齐次方程为：的情况。故齐次方程为：设初始时刻设初始时刻 t t0 0=0 0，初始状态为，初始状态为x x0 0 1.1.采用拉氏变换法求解采用拉氏变换法求解：对齐次方程两边取拉氏：对齐次方程两边取拉氏变换变换.反变换即得齐次状态方程的解：反变换即得齐次状态方程的解：4下面就来讨论：下面就来讨论：-解的变化是按指数形式变化的。解的变化是按指数形式变化的。对于状态方程的解，是否也具有指数形式呢？对于状态方程的解，是否也具有指数形式呢？2.级数展开法：级数展开法：分析标量微分方程可知分析标量微分方程可知56逐项变换逐项变换即即 x x(t t)=e=e-At-Atx x0 0 当初始时刻为当初始时刻为t t0 00,0,初始状态为初始状态为x x(t t0 0)时时所以齐次状态方程的解可写为所以齐次状态方程的解可写为73.3.求齐次状态解的关键是求求齐次状态解的关键是求 转移矩阵转移矩阵 e eAtAt，前面已给出了两种方法：，前面已给出了两种方法：2.2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状态转移，而转移规律取决于态转移，而转移规律取决于 e eAtAt ，e eA A(t-tt-t0 0)故称其故称其为状态转移矩阵为状态转移矩阵.一般用一般用1.1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用下的自由运动，又称为零输入解；下的自由运动，又称为零输入解；小结：小结：来表示。来表示。8a)a)拉氏变换法：拉氏变换法：例：已知系统的状态方程为：例：已知系统的状态方程为：试求在初始状态试求在初始状态 时的状态解。时的状态解。由于按幂级数计算不易写出闭式的结果，故由于按幂级数计算不易写出闭式的结果，故通常用拉氏变换法。通常用拉氏变换法。b)b)幂级数法：幂级数法：9解：解：1.1.求求e eAtAt10所以所以2.2.求求x x(t t):11二二.状态转移矩阵：状态转移矩阵：的解的解(t t),),定义为系统的状态转移矩阵。定义为系统的状态转移矩阵。1.1.定义：线性定常系统，初始时刻定义：线性定常系统，初始时刻t t0 0 =0,0,满足以满足以下矩阵微分方程和初始条件下矩阵微分方程和初始条件 在状态空间分析中状态转移矩阵是一个十分在状态空间分析中状态转移矩阵是一个十分重要的概念。重要的概念。12讨论：讨论：（1）满足上述定义的解为）满足上述定义的解为(t)=eAt (t0=0)证明：证明：13所以当所以当(t)=eAt时，时，又因为又因为(t)=eAt (t=0时时)eA0=I+A0+.=I 所以所以(0)=I故故 eAt 是状态转移矩阵是状态转移矩阵(t)（2）状态转移矩阵）状态转移矩阵(t)是是A阵同阶的方阵，其元阵同阶的方阵，其元素均为时间函数素均为时间函数.14 由于状态转移矩阵具有矩阵指数函数的形式，由于状态转移矩阵具有矩阵指数函数的形式，故可推出如下性质故可推出如下性质2.2.性质：性质：（1 1）(t-tt-t0 0)是非奇异阵是非奇异阵.且且15（2）其中其中16（3）（4）17由此关系由此关系 可用于从可用于从 e eAtAt 反求反求 A A.例：已知例：已知（5 5）18（6 6）若）若则则1920块对角阵、约旦块矩阵见P87 2)、3)21当系统输入当系统输入u0 时时，其，其S-E为为.直接用分离变量法积分求解方程与采用拉式直接用分离变量法积分求解方程与采用拉式变换法求解方程变换法求解方程,其结果是一致的其结果是一致的.第一种方法：第一种方法：直接求解法直接求解法三三.非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：22左乘左乘 e-At：移项移项：即即在区间在区间t0,t上积分上积分23结论：非齐次状态方程的解由两部分组成：结论：非齐次状态方程的解由两部分组成：a).由初始状态产生的自由分量由初始状态产生的自由分量零输入解零输入解b).由输入引起的强迫分量由输入引起的强迫分量零状态解零状态解 即即或：或：24例：已知系统例：已知系统由前例得：由前例得：解：解：1.求求 eAt：试求：试求：x(0)=0,u(t)=1(t)时的状态解。时的状态解。25 2.求求x(t)26将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)即 X(s)=(sI-A)-1x0+BU(s)其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有上述求解的关键为等式右边第二项。第二种方法：第二种方法：拉氏变换法拉氏变换法27下面先回顾卷积积分的拉氏变换法则。设W1(s)和W2(s)分别为原函数f1(t)和f2(t)的拉氏变换,则f1(t)和f2(t)的卷积的拉氏变换为结果与直接求解法完全相同。q对上述状态方程的求解式利用卷积分公式,则有28 所谓脉冲响应，即初始条件为零时，输入所谓脉冲响应，即初始条件为零时，输入u为单为单位脉冲函数位脉冲函数(t)，系统的输出称为脉冲响应。，系统的输出称为脉冲响应。四四.系统的脉冲响应及脉冲相应矩阵：系统的脉冲响应及脉冲相应矩阵：根据这个定义，可求线性定常系统的脉冲响应。根据这个定义，可求线性定常系统的脉冲响应。但是多变量系统的输入有但是多变量系统的输入有r个，输出有个，输出有m个。则脉个。则脉冲响应显然与传递函数阵的维数不同冲响应显然与传递函数阵的维数不同,即系统地输即系统地输出为出为Y(s)=G(s)U(s)是是 m1维的列向量维的列向量.而而G(s)是是mr维矩阵维矩阵.在单变量系统定义脉冲响应函数为在单变量系统定义脉冲响应函数为 h(t)=L-1G(s)29即即 h(t)=L-1G(s)mr,而而 y(t)=L-1G(s)U(s)m1 为了将这一含义推广到多变量系统，我们按以下为了将这一含义推广到多变量系统，我们按以下方式定义脉冲响应函数阵。以后将会知道，在多变方式定义脉冲响应函数阵。以后将会知道，在多变量系统中量系统中,脉冲响应函数阵虽不等于真正的脉冲响应脉冲响应函数阵虽不等于真正的脉冲响应输出输出 y(t),但却等于传递矩阵的拉式反变换。但却等于传递矩阵的拉式反变换。定义：定义：mr 阶矩阵阶矩阵 h(t)=CeAtB 称为系统的脉冲响应称为系统的脉冲响应矩阵。矩阵。30状态解为：状态解为：初始时刻初始时刻t0=0初始状态初始状态x(0)=0 设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为则输出解为：则输出解为：31讨论单变量系统的情况讨论单变量系统的情况:当输入当输入-卷积卷积32 以上关系表明以上关系表明h(t)包含了包含了G(s)的全部信息，也反映的全部信息，也反映系统的基本传递特性。系统的基本传递特性。反之反之性质：性质：1.h(t)是传递矩阵的拉式变换是传递矩阵的拉式变换33 2.h(t)在线性变换下的不变性：在线性变换下的不变性：即即证明证明:令令 线性变换后线性变换后.其中其中:34则状态转移矩阵满足以下性质：则状态转移矩阵满足以下性质：一般有：一般有：35 1.1.齐次状态方程的解：齐次状态方程的解：小结：本节主要讨论了状态求解的问题：小结：本节主要讨论了状态求解的问题：2.2.非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：36 4.4.脉冲响应矩阵：脉冲响应矩阵：定义：满足矩阵微分方程定义：满足矩阵微分方程 的解的解（t t）3.3.状态转移矩阵：状态转移矩阵：372.2 线性定常连续系统线性定常连续系统(t)的算法的算法 1.对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出的对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出的结果是解析式，在实际中最常用。结果是解析式，在实际中最常用。特点：特点：一一.拉氏变换法：拉氏变换法：前面已在求状态解时推出前面已在求状态解时推出 在线性定常系统状态方程的求解中，关键是求在线性定常系统状态方程的求解中，关键是求(t),本节介绍几种算法本节介绍几种算法:2.对于高阶系统，会遇到求逆的困难对于高阶系统，会遇到求逆的困难,如如38 求逆阵可采用一些数值计算方法，用计算机求逆阵可采用一些数值计算方法，用计算机计算。求逆变换关键是高阶分解因式，部分分式计算。求逆变换关键是高阶分解因式，部分分式展开很麻烦。展开很麻烦。二二.幂级数法：此法是一种直接计算法，前面已幂级数法：此法是一种直接计算法，前面已介绍过。介绍过。39特点：特点：是一种无穷开式，很难写成闭式，一般采用近似是一种无穷开式，很难写成闭式，一般采用近似计算，精度将取决于所取项数的多少，适合于计计算，精度将取决于所取项数的多少，适合于计算机计算。算机计算。例：例：已知系统的状态方程为：已知系统的状态方程为：试求其状态转移矩阵试求其状态转移矩阵.解：将解：将A A阵代入幂级数展开式阵代入幂级数展开式4041三三.对角形法与约当标准形法：对角形法与约当标准形法：1.矩阵矩阵A的特征值的特征值 12n 互不相同，其状态转互不相同，其状态转移矩阵可由下式求得移矩阵可由下式求得其中：其中：P是使是使A化成对角形的线性变换。化成对角形的线性变换。42则则证明：证明：1 12 2nn 互异，必有非奇异矩阵互异，必有非奇异矩阵P P，将将A A化成对角形，即：化成对角形，即：43 小结：利用对角线法小结：利用对角线法 eAt的方法的方法:1.求求 12n（条件：（条件：12n 互异）互异）;2.求特征矢量：求特征矢量：P1P2Pn;3.写出变换阵写出变换阵 P=P1P2Pn,求出求出P-1 4.求求 eAt：特点：求特点：求P阵比较麻烦，常用于理论推导。阵比较麻烦，常用于理论推导。44例：已知例：已知用对角形求用对角形求（t）解解：1.求特征值：求特征值：45 2.求特征矢量：求特征矢量：即即解出：解出：4647483.求求P，P-1：4.求求 eAt ：4950 2.矩阵矩阵A有相重特征值有相重特征值:定理：若矩阵定理：若矩阵A有相重特征值，其状态转移矩阵可有相重特征值，其状态转移矩阵可由下式求得由下式求得51 eAt=QeJtQ-1 其中：Q是使A化为约当标准形J的线性变换阵。线性变换阵。证明证明:若若A阵具有重特征值，且每个互异特征值对应阵具有重特征值，且每个互异特征值对应一个独立的特征矢量，则必存在一个非奇异阵一个独立的特征矢量，则必存在一个非奇异阵Q，使使A阵化为约当标准形阵化为约当标准形J。即即 其中其中 则则 J=QAQ-152其中：若其中：若Ji为为J的约当块，则的约当块，则eJit为为（t）中对应的约当块。中对应的约当块。53证明证明:以以J Ji i有三重特征值为例证明。有三重特征值为例证明。此时此时5455 步骤：求步骤：求 eAt 的方法同对角形求法相一致的方法同对角形求法相一致 1.求求i；2.求求Qi ；3.求求eAt=QeJtQ-156四四.化化 eAt 为为A的有限项法：的有限项法：由于由于 eAt 可展开无穷级数，但计算时只取有限项，可展开无穷级数，但计算时只取有限项，计算结果是不准确的，若能把无穷项级数化成有限计算结果是不准确的，若能把无穷项级数化成有限项，则计算会简便准确。项，则计算会简便准确。1.化有限项的有关理论：化有限项的有关理论：凯凯哈定理及最小多项式的概念在现代理论中经哈定理及最小多项式的概念在现代理论中经常用到常用到.下面简要介绍一下有关内容：下面简要介绍一下有关内容：1）矩阵）矩阵A的零化多项式：的零化多项式：定理：设有变量定理：设有变量s的多项式的多项式 ，矩阵，矩阵A是是nn阶阶方阵，若满足：方阵，若满足：57 则称则称 为矩阵为矩阵的零化多项式。的零化多项式。2）凯）凯哈密顿定理哈密顿定理定理：矩阵的特征多项式是的零化多项式。定理：矩阵的特征多项式是的零化多项式。即：即：证明：58又因为又因为中各元为中各元为(n-1)次多项式，故可次多项式，故可一般表示为：一般表示为：代入上式有：代入上式有：用用A代替代替s将上式展开将上式展开 得得59 3 3）矩阵）矩阵A A的最小多项式：的最小多项式：定义：定义：A A的零化多项式中，次数最低的零化多项式的零化多项式中，次数最低的零化多项式称为称为A A的最小多项式。用的最小多项式。用 表示。表示。的求法：的求法：定理：设定理：设A A的伴随矩阵的伴随矩阵 全部元素的最大全部元素的最大公因子为公因子为d(s)d(s)则则.60注：注：1.1.该定理证明要用到矩阵多项式的概念该定理证明要用到矩阵多项式的概念.2.2.计算计算 要先求要先求 。将。将 各元各元变为因子相乘的多项式。从中找出各元的最大公变为因子相乘的多项式。从中找出各元的最大公因子因子 ，且，且 取首取首1 1多项式的形式多项式的形式.例：例：已知：已知：试求试求A A的最小多项式并验证凯的最小多项式并验证凯哈定理。哈定理。61解：解：1.1.62所以最大因子：所以最大因子：故故A的最小多项式为：的最小多项式为：进一步可验证上式是以进一步可验证上式是以A为根的零化多项式为根的零化多项式632.2.验证凯验证凯哈定理：哈定理：64则则An可表示成低于可表示成低于n阶幂矩阵的线性组合。阶幂矩阵的线性组合。2.eAt 能化成有限项的依据：能化成有限项的依据：由凯由凯哈定理知：矩阵哈定理知：矩阵A的特征多项式是的特征多项式是A的的零化多项式，即零化多项式，即65由此可推得：由此可推得：上式表明：对于上式表明：对于kn，Ak均可用均可用 An-1，A,I这这n个个独立项的线性组合来表示。所以可将独立项的线性组合来表示。所以可将eAt无穷项化成无穷项化成有限项。有限项。66故可令：故可令：设设n个根为个根为1 2.n，按上式对每个根都有按上式对每个根都有以下结果即以下结果即特征方程特征方程第一种情况：第一种情况：A的特征值互异的特征值互异 2.待定系数待定系数 的求法的求法 式中，式中，n个待定系数，是个待定系数，是t的标量函数。的标量函数。67于是对于于是对于其中系数与前面其中系数与前面 eAt 的系数相同。的系数相同。当当kn 时，时，ik的各项均可用的各项均可用 的线性组的线性组合表示，得出下列方程组：合表示，得出下列方程组：68解此方程组，得系数解此方程组，得系数例：已知例：已知试用化试用化 为为A A的有限项法求的有限项法求69解：解：1.1.求特征值求特征值2.2.求系数求系数70713.3.求求 7273第二种情况：第二种情况：A有相重特征值有相重特征值 设设A有有n重特征值重特征值1，则按以上方法必有下式，则按以上方法必有下式 但由于是但由于是n重根，不能按同样形式写出重根，不能按同样形式写出n个方程，个方程，对上式依次对对上式依次对1求导，直至（求导，直至（n-1）次，可得到）次，可得到（n-1）个导数方程。然后联立这）个导数方程。然后联立这n个方程解出个方程解出n个个待定系数。即待定系数。即 74解方程组即可求得系数解方程组即可求得系数 。75 第三种情况：系统有单根，也有重特征根第三种情况：系统有单根，也有重特征根 设系统矩阵设系统矩阵A的特征值中，的特征值中，1为为m重特征值，重特征值，m+1，n为互异的单特征值，根据情况二列写为互异的单特征值，根据情况二列写m个方程，根据情况一列写（个方程，根据情况一列写（n m）个方程，解上）个方程，解上述述n个方程，即可得出系数个方程，即可得出系数 的计的计算公式。算公式。例：已知系统矩阵例：已知系统矩阵试用化试用化eAt为为A的有限项法求的有限项法求eAt。762.2.求系数求系数 i i(t t)：解：解：1.1.求特征值：求特征值：77即即783.求求 eAt：79 可见，以上几例求出的可见，以上几例求出的 eAt 中各元都是中各元都是 的线性的线性组合组合。80 2-3 2-3线性离散系统的状态空间表线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化达式及连续系统的离散化一一.离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式1.1.一般形式。由离散状态方程和离散输出方程组成。一般形式。由离散状态方程和离散输出方程组成。式中：式中：T T是采样周期。方程中的矢量，各系数矩阵的是采样周期。方程中的矢量，各系数矩阵的名称和维数都与连续系统相同，为简单起见常省去名称和维数都与连续系统相同，为简单起见常省去T T将方程写成如下形式将方程写成如下形式 81即：即：2.2.结构图。上述方程可用结构图来表示结构图。上述方程可用结构图来表示82 3.3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表达差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表达式之间的转换式之间的转换 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式之间的变换，和连续系统分析相类似。之间的变换，和连续系统分析相类似。连续连续 D.E D.E离散离散 差分方程差分方程脉冲传函脉冲传函 状态空间表状态空间表 T.F S.E T.F S.E 达式达式83解：解：1,1,G G(z z)差分方程差分方程 状态空间表达式状态空间表达式例：已知脉冲传递函数为例：已知脉冲传递函数为试求其状态空间表达式试求其状态空间表达式差分方程为差分方程为84所以所以852.2.G G（z z）部分分式法部分分式法 状态空间表达式状态空间表达式则863.状态空间表达式状态空间表达式 G(z)87 对连续系统，若常用数字计算机进行实时对连续系统，若常用数字计算机进行实时控制或求解，首先必须把连续系统转化成离散控制或求解，首先必须把连续系统转化成离散系统，这个过程称之为连续系统的离散化。系统，这个过程称之为连续系统的离散化。二二.定常连续系统的离散化定常连续系统的离散化离散方程离散方程设定常连续系统设定常连续系统88连续系统其状态解为：连续系统其状态解为：即取即取t0=kT,t=(k+1)T 1 1、直接离散化、直接离散化(精确离散化方法精确离散化方法)：离散化的实质就是用一个矩阵差分方程去代替离散化的实质就是用一个矩阵差分方程去代替一个矩阵微分方程。一个矩阵微分方程。89在在 其输入向量其输入向量u(t)=u(kT)，初始时刻初始时刻t0=kT，则状态方程的解为，则状态方程的解为 对第二项积分作变量代换：对第二项积分作变量代换：令令t=(k+1)T-；dt=-d上限：上限：=(k+1)T，t=(k+1)T-=0下限：下限：=kT,t=(k+1)T-=T90与离散系统的状态空间模型比较可得：与离散系统的状态空间模型比较可得：91 例：求例：求 的离散化方程的离散化方程解：先求解：先求e eAtAt：由拉氏变换法得由拉氏变换法得929394U(s)G0(s)Y(s)2、由脉冲传函实现离散化、由脉冲传函实现离散化步骤：步骤：1首先求连续系统的传递函数首先求连续系统的传递函数2按照离散系统的结构图求脉冲传函按照离散系统的结构图求脉冲传函3按脉冲传函与标准型状态空间表达式的关系写出离按脉冲传函与标准型状态空间表达式的关系写出离散化的状态空间表达式散化的状态空间表达式95U(s)解：因为离散化后的系统结构图为：解：因为离散化后的系统结构图为：上图的传递函数为：上图的传递函数为：例例1-26 已知连续系统的传递函数为已知连续系统的传递函数为 ，试求其，试求其离散化状态空间表达式离散化状态空间表达式96对上式取对上式取z变换：变换：最后由最后由G（z）写出其能控标准型的状态空间表达式写出其能控标准型的状态空间表达式972-4 2-4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解k=0时时,x(1)=Gx(0)+Hu(0)k=1时时,x(2)=(2)=Gx(1)+(1)+Hu(1)=(1)=G2X(0)+(0)+GHu(0)+(0)+Hu(1)(1)一一.定常离散系统状态方程的解：定常离散系统状态方程的解：（两种方法）（两种方法）1迭代法：状态方程本身就是一个基本的迭代方程迭代法：状态方程本身就是一个基本的迭代方程依次将采样时刻依次将采样时刻k=0，1，2，3代入上式即可。代入上式即可。已知：初始时刻已知：初始时刻KT=0，初始状态为初始状态为x(0)98几点讨论：几点讨论：2).第第k个采样时刻的状态，只与采样时刻个采样时刻的状态，只与采样时刻0,1,2k-1时的输入值有关系，而与第时的输入值有关系，而与第k个次采样时刻输入值无个次采样时刻输入值无关，这是惯性系统的一个基本特征；关，这是惯性系统的一个基本特征；由初始状态引起的响应由初始状态引起的响应反映系统的自由运动反映系统的自由运动零输入响应零输入响应由输入引起的响应由输入引起的响应反映系统的强迫运动反映系统的强迫运动零零状态响应。状态响应。1).定常离散系统的状态解由两部分组成：定常离散系统的状态解由两部分组成：99(k)也满足状态转移矩阵的两个定义条件：也满足状态转移矩阵的两个定义条件：矩阵差分方程：矩阵差分方程：(k+1)=G(k)初始条件：初始条件：(0)(0)=G0 0=I=I证明：证明：3).与连续系统的状态解比较上式中的与连续系统的状态解比较上式中的Gk称为定常离称为定常离散系统的状态转移矩阵，记为散系统的状态转移矩阵，记为(k)=Gk100 4).(k)的基本性质的基本性质101序列：序列：或或5).引入引入(k)后，状态解又可表示为：后，状态解又可表示为：序列：序列：1022.2.z z变换法：对方程两边取变换法：对方程两边取z z变换变换与第一种方法比较可知：与第一种方法比较可知：求反变换：求反变换：103所以1042.迭代法求出的解是一个数值解。只能求出某一时迭代法求出的解是一个数值解。只能求出某一时刻的数值。但迭代公式本身就是状态方程，简单方刻的数值。但迭代公式本身就是状态方程，简单方便，而且不用求出状态转移矩阵便，而且不用求出状态转移矩阵Gk；如果已求出；如果已求出(k)=Gk，则可用解的迭代公式求出自由分量和强则可用解的迭代公式求出自由分量和强迫分量迫分量.1.z变换求出的解是一个完整解，其中解的结构可分变换求出的解是一个完整解，其中解的结构可分为自由解和强迫解两部分，可分别求出，对分析运为自由解和强迫解两部分，可分别求出，对分析运动过程有本质的帮助。解的形式是一个闭式，即解动过程有本质的帮助。解的形式是一个闭式，即解析式。析式。注：注：105例：求线性定常离散系统的解例：求线性定常离散系统的解解：解：(1)用迭代法求解用迭代法求解已知已知106直至直至107(2)(2)用标准型求用标准型求Gk,再代入解的迭代公式再代入解的迭代公式也可先求出也可先求出108又知 u(k)=1 于是（3 3）用）用z z变换变换法求解法求解:先计算(zI G)-1109110令k=0，1，2，3，代入上式，可得以上两种方法计算结果完全一致，只是迭代法是一以上两种方法计算结果完全一致，只是迭代法是一个数值解，而个数值解，而z z变换法则得到了一个解析表达式。变换法则得到了一个解析表达式。111二、离散系统的状态转移矩阵二、离散系统的状态转移矩阵 离散系离散系统统状状态转态转移矩移矩阵阵(k k)的求取与的求取与连续连续系系统统转转移矩移矩阵阵(t t)极极为类为类似。似。2z变换法变换法 根据根据z变换法求取离散系统状态方程解中的变换法求取离散系统状态方程解中的对应关系，状态转移矩阵对应关系，状态转移矩阵(k)为为来来计计算。算。该该方法方法简单简单，易于，易于计计算机来解，但不易算机来解，但不易得到得到(k k)的封的封闭闭式。式。1 1直接法直接法根据离散系根据离散系统递统递推迭代法中的定推迭代法中的定义义112那么，离散系统的状态转移矩阵那么，离散系统的状态转移矩阵(k)为为式中，式中，为对角线标准形，若特征方程为对角线标准形，若特征方程I G=0的的特征根为特征根为1，2，n，则有，则有 3化系统矩阵化系统矩阵G为标准形法为标准形法（1）当离散系统矩阵）当离散系统矩阵G的特征值均为单根时的特征值均为单根时 当离散系统矩阵当离散系统矩阵G的特征根均为单根时，经过线的特征根均为单根时，经过线性变换可将系统矩阵性变换可将系统矩阵G化为对角线标准形，即化为对角线标准形，即113式中，式中，P为化系统矩阵为化系统矩阵G为对角线标准形的变换矩阵。为对角线标准形的变换矩阵。114例例:齐次离散系统状态方程为试求其状态转移矩阵(k)。解：其特征值 1=0.2 2=0.8化系统矩阵G为对角线标准形的变换矩阵P为115则116(2)当离散系统矩阵G G的特征值有重根时式中J 约当标准形；Q 化系统矩阵G为约当标准形的变换矩阵。4化为G的有限项法 应用凯莱-哈密尔顿定理，系统矩阵G满足其自身的零化多项式。离散系统状态转移矩阵可化为G的有限项，即117式中i(k)(i=0，1，n 1)为待定系数，可仿照连续系统的方法来求取。例例:线性定常离散系统的状态方程为试求系统的状态转移矩阵(k)。解：离散系统特征方程为118其特征值 1=1 2=2待定系数可按下式求取解之得则离散系统状态转移矩阵为119120第二章总结一、线性定常连续系统1.线性定常系统状态转移矩阵 它包含了系统运动的全部信息，可以完全表征系统的动态特征。（i）定义条件（ii）求法(1)幂级数法 121(2)拉氏变换法 (3)对角形法或约当形法对角形:122约当形:(4)化eAt为A的有限项法 凯莱-哈密尔顿定理：矩阵A满足其本身的零化特征多项式。123则有i(t)的计算按A的特征值互异或有重根时分别计算。(5)最小多项式法最小多项式为 式中d(s)为伴随矩阵(sI A)各元的最大公因子。则A也要满足其零化的最小多项式，即(A)=0。求eAt的方法与化eAt为的有限项法完全相似。1242.线性定常系统齐次方程的解可表示为3.线性定常连续系统非齐次方程的解分为零输入的状态转移和零状态的状态转移，即二、线性定常离散系统1.线性定常离散系统状态空间表达式1252.线性定常连续系统状态方程的离散化1）直接法:采样周期为T，离散化后系统矩阵和输入矩阵分别为二、线性定常离散系统1.线性定常离散系统状态空间表达式1262)脉冲传递函数法:U(s)G0(s)Y(s)状态空间表达式其中离散化过程是通过求脉冲传函来完成的.127(1)状态转移矩阵(k)c.性质:a.定义:b.求法:3.线性定常离散系统状态方程的解或128(2).状态方程的解1)迭代法 a.状态方程法 把初始条件和输入函数直接代入状态方程表达式即可。b.状态解法 如果已求出状态转移矩阵Gk,则把初始条件和输入函数直接代入状态解表达式即可。1292)z变换法例例:线性定常连续系统的状态空间表达式为 设采样周期T=1s，求离散化后系统的离散状态空间表达式。130解：先求连续系统状态转移矩阵131132离散化后系统的离散状态空间表达式为133结 束134