2[1].质点运动学02w.ppt

一一.问题问题3 3 运动学的两类基本问题运动学的两类基本问题v 第一类基本问题第一类基本问题求求 轨迹方程。轨迹方程。任意时刻的任意时刻的位置矢量、速度、加速度位置矢量、速度、加速度。已知运动方程已知运动方程v 第二类基本问题第二类基本问题已知加速度已知加速度 及初始条件及初始条件求求 速度及运动方程速度及运动方程方向方向大小大小v 对第一类基本问题对第一类基本问题v 对第二类基本问题对第二类基本问题求求 速度速度二二.方法方法微分微分微分微分微分微分积分积分已知已知 ，及及 时时 ，由由当当积分积分求求 位置矢量位置矢量由由积分积分当当通常建立坐标系化矢量积分为标量积分通常建立坐标系化矢量积分为标量积分例如在直角坐标系中例如在直角坐标系中推推 导导三三.应用应用同理同理例例1.一质点沿一质点沿x轴作直线运动，其加速度轴作直线运动，其加速度 a=2t（m/s2）。）。t=0 s时，时，x=0，v=0。求：求：v 和和 x。解：解：先求速度，由先求速度，由速度积分公式速度积分公式属于第二类问题，已知加速度和初始条件属于第二类问题，已知加速度和初始条件求速度和矢径求速度和矢径 上述三个方程简化为一个上述三个方程简化为一个方向方向沿沿 x 轴正向轴正向同理同理一质点沿一质点沿x轴作直线运动，其加速度轴作直线运动，其加速度 a=2x（m/s2）。）。t=0 s时，时，x=0，v=0。求：求：v 和和 x。作业作业已知已知例例2.求如图的抛体运动任意时刻的速度和矢径求如图的抛体运动任意时刻的速度和矢径xyo与水平方向夹角为与水平方向夹角为 解解:抛体运动的加速度抛体运动的加速度就是重力加速度就是重力加速度物体的运动轨迹在平面内，建立平面直角坐标系物体的运动轨迹在平面内，建立平面直角坐标系求速度和轨迹。求速度和轨迹。xyo 速度积分公式速度积分公式xyo 大小大小方向方向坐标系下矢径积分公式坐标系下矢径积分公式求轨迹方程。求轨迹方程。4 4 平面曲线运动平面曲线运动在研究物体机械运动时，许多实际问题都可以归结为在研究物体机械运动时，许多实际问题都可以归结为平面内的运动，质点的运动轨迹是平面上的一条曲线平面内的运动，质点的运动轨迹是平面上的一条曲线研究这类问题通常建立平面直角坐标系研究这类问题通常建立平面直角坐标系运动方程运动方程研究平面曲线运动除了建立平面直角坐标系，研究平面曲线运动除了建立平面直角坐标系，还可以选择其它坐标系，使研究的问题更直观、还可以选择其它坐标系，使研究的问题更直观、更方便。更方便。速度速度自然坐标系自然坐标系就是其中的之一。就是其中的之一。一一.自然坐标系自然坐标系如图，为质点运动轨迹，如图，为质点运动轨迹，选择轨迹上任意一点选择轨迹上任意一点 O 为坐标原点为坐标原点这种沿着已知运动轨迹这种沿着已知运动轨迹建立起来的坐标系建立起来的坐标系自然坐标系自然坐标系速度速度如何表示？如何表示？质点位置由质点位置由 S 确定，确定，t 时刻质点位于时刻质点位于P点，点，相对坐标原点相对坐标原点O 的轨迹长度为的轨迹长度为 S，由于质点运动轨迹由于质点运动轨迹已知已知的，的，所以可以用所以可以用S 来描述质点的位置来描述质点的位置运动轨迹已知运动轨迹已知需要规定两个依赖质点位置的单位矢量需要规定两个依赖质点位置的单位矢量切向单位矢量切向单位矢量用用 来表示来表示方向沿运动轨迹的切线方向方向沿运动轨迹的切线方向法向单位矢量法向单位矢量用用 来表示来表示方向垂直运动轨迹的切线方向，方向垂直运动轨迹的切线方向，并指向轨迹的凹侧并指向轨迹的凹侧显然显然 和和 依赖于轨迹上的点的位置依赖于轨迹上的点的位置当质点沿轨迹运动时，不同时刻，质点所在点当质点沿轨迹运动时，不同时刻，质点所在点的的 和和 是不同的是不同的也就是说它们是时间的函数也就是说它们是时间的函数注意：注意：随时间改变的只是方向随时间改变的只是方向自然坐标系下的速度表达式自然坐标系下的速度表达式方向方向由速度的定义知，由速度的定义知，质点运动速度的方向就是质点运动速度的方向就是质点运动轨迹在该时刻所质点运动轨迹在该时刻所在点的切线方向。在点的切线方向。定义了切向单位矢量定义了切向单位矢量速度方向可由速度方向可由 来表示来表示大小大小更直观更直观方向和大小表示是分开的方向和大小表示是分开的二二.切向加速度切向加速度 、法向加速度、法向加速度由加速度的定义由加速度的定义第一项物理意义明确第一项物理意义明确是切向单位矢量随时间的变化率是切向单位矢量随时间的变化率首先首先看图看图 t+t 时刻，时刻，B 点点t 时刻，时刻，A 点点用有向线段用有向线段用有向线段用有向线段平移平移 使使A 点和点和B 点重合点重合由矢量运算法则由矢量运算法则当当 t 足够小时，曲线段足够小时，曲线段 可近似可近似为一段圆弧，圆心设为为一段圆弧，圆心设为O，半径为半径为 由几何关系由几何关系不难看出不难看出当当t0 时时当当t0 时时 是曲线的曲率半径是曲线的曲率半径当当t0 时时并指向并指向O点点方向方向正好是法向单位矢量正好是法向单位矢量所指的方向所指的方向令令切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度讨论：讨论：v v 切向加速度切向加速度 ，法向加速度，法向加速度 物理意义物理意义加速度是描述速度随时间加速度是描述速度随时间变化变化快慢的物理量快慢的物理量大小大小方向方向速率随时间的变化率速率随时间的变化率速度的方向速度的方向描述速度大小即速率变化快慢描述速度大小即速率变化快慢描述速度方向变化快慢描述速度方向变化快慢 垂直速度的方向上有加速度，垂直速度的方向上有加速度，速度的方向必然要改变速度的方向必然要改变速度方向改变越显著速度方向改变越显著越大越大平面曲线运动的加速度用平面曲线运动的加速度用切向加速度切向加速度和和法向加速度法向加速度表示，一项描写速度大小的变化，表示，一项描写速度大小的变化，一项描写速度方向的变化，物理意义更直观，一项描写速度方向的变化，物理意义更直观，为解决问题带来很大方便为解决问题带来很大方便例例4.质点作斜上抛运动，轨迹如图示质点作斜上抛运动，轨迹如图示与水平方向夹角为与水平方向夹角为 求：最高点求：最高点A 处的处的解：解：以抛出点为坐标原点以抛出点为坐标原点O，建立自然坐标系建立自然坐标系方向沿水平方向方向沿水平方向在最高点在最高点A 处速度记作处速度记作因此最高点因此最高点A 处的处的 和和 如图如图 抛体运动抛体运动方向始终竖直向下方向始终竖直向下在最高点在最高点A 处处在自然坐标系在自然坐标系思考题？思考题？三三.圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述一质点沿半径为一质点沿半径为R 的圆周运的圆周运动，在如图示的直角坐标系动，在如图示的直角坐标系下，质点的运动方程为下，质点的运动方程为xy坐标坐标（x，y）描述了质点在圆周上的位置描述了质点在圆周上的位置但是坐标但是坐标（x，y）与时刻与时刻 t 并不是一一对应关系并不是一一对应关系给定一组坐标虽然能确定质点的位置，但不能确定给定一组坐标虽然能确定质点的位置，但不能确定是什么时刻质点的位置，这给研究问题带来了不便是什么时刻质点的位置，这给研究问题带来了不便对于圆周运动对于圆周运动 R 为常量为常量xy设矢径设矢径 与与x 轴夹角为轴夹角为坐标坐标（x，y）与与 存在对应关系存在对应关系可以用可以用 来描述质点在圆周上的位置来描述质点在圆周上的位置与质点运动的时刻与质点运动的时刻 t 是一一对应关系是一一对应关系用用 来描述质点在圆周上运动的方法称作来描述质点在圆周上运动的方法称作角量描述角量描述用用 来描述质点在圆周上运动的方法称作来描述质点在圆周上运动的方法称作线量描述线量描述1.圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述xy角位置角位置质点在质点在 t 时刻，矢径时刻，矢径 与与x 轴夹角轴夹角 就是为就是为t 时刻时刻质点作圆周运动的质点作圆周运动的角位置角位置t+t 时刻，角位置时刻，角位置角位移角位移t 时刻，角位置时刻，角位置角速度角速度角加速度角加速度记作记作仿照速度的定义仿照速度的定义2.圆周运动的角量描述与线量描述的关系圆周运动的角量描述与线量描述的关系角量角量描述描述线量线量描述描述xy关系？关系？xy质点作圆周运动有两个可能绕向质点作圆周运动有两个可能绕向为了描述这一事实需要把为了描述这一事实需要把角速度角速度 定义为矢量定义为矢量按照前面的定义按照前面的定义角量描述的量为标量角量描述的量为标量设设 P 点速度为点速度为构成右手螺旋构成右手螺旋3.角速度角速度矢量矢量引入矢量引入矢量P例例5.一质点从静止出发沿半径一质点从静止出发沿半径 R=1m 的圆周运动，的圆周运动，其角加速度其角加速度 =12 t 2-6t，则质点的角速度则质点的角速度 =？，a t=?解解:作业题：作业题：习题习题 p51 1.21、1.225 5 运动的相对性运动的相对性 伽利略变换伽利略变换选择不同的参照系，描述同一质点的同一运动选择不同的参照系，描述同一质点的同一运动的物理量如的物理量如位置矢量位置矢量、位移位移、速度速度、加速度加速度是不同的。是不同的。在不同参照系下，这些物理量有什么联系呢？在不同参照系下，这些物理量有什么联系呢？Ox ySOxSyP考虑质点在平面内运动，考虑质点在平面内运动，分别选择参照系分别选择参照系 S、S，建立如图坐标系建立如图坐标系在在 t 时刻质点运动到时刻质点运动到 P点点在在S 系，系，P点矢径点矢径在在S系，系，P点矢径点矢径假设假设S系相对于系相对于 S系作系作平平动动（对应坐标轴平行对应坐标轴平行）在在S系考察系考察 点的矢径点的矢径由矢量三角形法则由矢量三角形法则Ox ySOxSyP这就是不同参照系下，同这就是不同参照系下，同一质点的同一运动的矢径一质点的同一运动的矢径之间的关系。之间的关系。上式对时间上式对时间 t 求导数求导数假设假设(绝对时间）绝对时间）S系运动时，相系运动时，相对对S系的速度系的速度质点运动时，相质点运动时，相对对S系的速度系的速度质点运动时，相质点运动时，相对对S 系的速度系的速度这就是不同参照系下，这就是不同参照系下，同一质点的同一运动的同一质点的同一运动的速度之间关系，与参照速度之间关系，与参照系之间的相对运动有关。系之间的相对运动有关。伽利略速度变换伽利略速度变换Ox ySOxSyPS系运动时，相对系运动时，相对S系的加速度系的加速度质点运动时，相对质点运动时，相对S系的加速度系的加速度质点运动时，相对质点运动时，相对S 系的加速度系的加速度对时间对时间 t 再求导数，再求导数，就得到加速度变换公式就得到加速度变换公式例例6.雨天一辆汽车在水平马路上以雨天一辆汽车在水平马路上以20m/s 的速度向东的速度向东行驶，雨滴行驶，雨滴R在空中以在空中以10m/s 的速度竖直下落。的速度竖直下落。求雨滴相对汽车的速度的大小和方向求雨滴相对汽车的速度的大小和方向解：解：分别选择地面和分别选择地面和汽车为参照系汽车为参照系以以 XOY 为地面为地面 参照系，参照系，以以 XOY 为汽车为汽车参照系参照系 XOYXOYR地面地面东东汽车相对地面的速度为汽车相对地面的速度为雨滴相对地面的速度为雨滴相对地面的速度为雨滴相对汽车的雨滴相对汽车的速度为速度为由矢量减法法则由矢量减法法则由由伽利略速度变换伽利略速度变换公式有公式有地面地面东东 XOYXOYR方向方向偏西偏西例例7、两物体、两物体A、B同时作匀速直线运动，它们在某一同时作匀速直线运动，它们在某一时刻的速度和位置如图所示，问：它们是否能够时刻的速度和位置如图所示，问：它们是否能够相撞？相撞？AB与与不平行不平行故：物体故：物体A、B不会相撞不会相撞以物体以物体A为参照系为参照系作业题：作业题：习题习题 p51 1.24、1.25、1.26、1.27