3-3Cauchy积分公式和高阶导数公式.ppt
3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式一、解析函数的Cauchy积分公式二、解析函数的高阶导数定理三、解析函数的实部和虚部与调和函数11.问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值.232.Cauchy积分公式Cauchy积分公式4证明：以 为心作一完全包含于 内的圆盘，并且记其边界为圆。在 上，挖去圆盘，余下的点集是一个闭区域。在 上 函数解析，由柯西定理有：在这里沿 的纠纷是按照 区域的正向取的，沿 的积分是按正向取的，即逆时针方向。以下我们证明：5记由柯西定理知：是个不依赖于 的常数，从而我们证明由于和 在z0 是连续性，所以对于任意的，可以找到6使得当，时，有从而当从而故于是证得称为积分基本公式或柯西积分公式D7定理1 对于由 条围线所围成的复连通区域仍然有效（如教材66页定理1那样构成）定理1从揭示解析函数的性质、表示解析函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示定理1为我们提供了计算如（*）式左端的积分的方法这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点（*）8例 1解由Cauchy积分公式9例 2解由Cauchy积分公式10关于Cauchy积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的(2)值表示.（这是解析函数的一个重要特征）(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)11例计算积分 解首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到利用（*）式计算积分最后，经验证，所求积分满足定理1的条件，于是，由（*）式得12解首先，识别积分类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式上是不一样的但是，如果将它变形为例计算积分 那么，在形式上与（*）式左端的积分一样由此想到利用（*）式计算最后，经验证，所求积分满足定理4.5的条件，于是，由（*）式得13例计算积分被积函数在积分路径内部含有两个奇点与作，有计算上式右端两个积分故14观察下列等式问题：解析函数的导函数一定为解析函数？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？15亦即 抽象后有 上式是必然的吗？下面的定理给予了回答 16高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.二、解析函数的高阶导数定理17证利用数学归纳法证明该定理设，证上式成立，即证(1)欲证(1)式，只须证为此，设C的长度为，在C上满足，令由定理有18于是由此有故即19设时，题设式子成立，证时，题设式子成立，即证20假设（3-3-3）当 时成立。设以为心，以为半径的圆盘完全包含在内，并且在这圆盘内取使得，那么当时，21那么22由此可以证明：当，的右边趋于零。于是（3-3-3）当 时成立。证毕。由与证得定理23定理2 对于由 条围线所围成的复连通区域仍然有效（如教材68页定理2那样构成）定理2从揭示解析函数的性质、解析函数的导函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示定理2为我们提供了计算如（*）式左端的积分的方法（*）这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点24推论：若函数在点解析，则存在点的一个邻域，使得在该邻域内有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数和的各阶偏导数不仅存在而且都连续。证明：由函数在点解析知：可作一圆盘使得在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。25例计算积分解：由高阶导数公式26解首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到用（*）式计算积分最后，经验证，所求积分满足定理2的条件，由（*）式得例计算积分27例2（1）（2）解（1）函数 的奇点 在圆 的内部，而其它的两个奇点在左半平面，从而在该圆的外部。于是函数 在闭圆盘 上解析，由定理2 可得：（2）同理 其中在闭圆盘 上解析，因此28例 3解29304.典型例题例 4解由Cauchy积分公式31例 5解 根据Cauchy积分公式知,32例 6解33例 6解34由复合闭路定理,得例 6解35例 7解36根据复合闭路原理37于是38例 8解由Cauchy积分定理得由Cauchy积分公式得3940例4解41根据复合闭路原理和高阶导数公式,42431.调和函数的概念2.解析函数与调和函数的关系3.计算实例 由定理2，在区域D内解析函数的实部函数和虚部函数在D内必有各阶连续偏导数。下面研究其实部函数和虚部函数的二阶偏导数之间的关系。三、解析函数的实部和虚部与调和函数441.调和函数的概念定义工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.也可用Laplace算子简记为45 下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是一个调和函数.设所考虑物质的导热性能在某一区域 内是均匀且各向同性的，导热系数是常数，且 内没有热源，这样，在 内就形成一个稳定的温度场.设 表示其温度分布函数，在 内任取一条其内部属于 的简单闭曲线 C，以表示其内部.46其中n表示外法线方向.因此，通过整个曲线C流出的热量应是 根据物理学中的Fourier定律，在单位时间内,通过C上一个小弧段 自C的内部流出的热量是47即温度分布函数是一个调和函数.因为内各点的温度不随时间改变，并且没有热源存在，所以应有由于C的任意性，有482.解析函数与调和函数的关系在不影响整体结构的前提下，本小节先引入解析函数区别于一般实函数的两个重要结论：49定理任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是D 内的调和函数.证明根据解析函数的导数仍是解析函数,因此50再由二阶导函数的连续性51即：区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.人们常常要问：共轭调和函数.52现在会提出如下问题：或者已知调和函数v(x,y)时，是否存在调和函数u(x,y)，使得f(z)=uiv是D上的解析函数?已知u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)，使得函数f(z)=uiv是D上的解析函数?回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.533.计算实例解例154得解析函数这个函数可以化为55注：此处用到解析函数的唯一性定理。另一方法56例2解5758所求解析函数为59解所求解析函数为另一方法60例 3解61解例4两边同时求导数上两式分别相加减可得62例1已知在右半平面是调和函数，求在该半平面解析的函数使得且由积分得解：求偏导数得解法1由CR条件得：63两边对 求导，并且与上面所得的 比较有于是得 即 从而于是进一步由条件 可得 最后结果有64解法2在该右半平面内取点，由式（3.1）得65 某区域内的调和函数是否必是该区域某个解析函数的实部或虚部？当区域是连通时，回答是肯定的。注意：当在D内是的共轭调和函数时，在D内不一定是的共轭调和函数。66 讨论下面定理4的反问题，即已知 是区域内的调和函数，利用函数在 内解析的充分必要条件，求出解析函数，使得其实部或者虚部在 内为。由于多连通区域用割线可以分成一个或者几个单连通区域，因此我们只讨论 为单连通区域情形。讨论在单连通区域 内已知解析函数的实部，求其虚部调和函数。由由于 在单连通区域 内调和，可得67因此由本章命题2 可以直接求出 为其中 为任意实常数，该积分在 内与积分路径无关。可在 内取定点 和平行于坐标轴的路径来计算。如取从点 到点 再到点 的折线段可得 同理在单连通区域 内已知解析函数的虚部，可求其实部调和函数68本章主要内容有向曲线 复积分积分存在的条件及计算积分的性质Cauchy积分定理原函数的概念复合闭路定理Cauchy积分公式高阶导数公式积分公式及计算69注意1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式;3.复合闭路定理与复积分的计算.70第三章 完71练习：78解当时,解答79利用柯西积分公式80因此由柯西积分公式得8182
