3.1.3 导数的几何意义.ppt
平均变化率函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:割线的斜率OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y回回 顾顾我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:即我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 或 回回 顾顾由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.回回 顾顾Pl l问问题题1 1 平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？问题问题2 2：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。不不 能能xyol2l1AB0 xy那么对于一般的曲线，切线该如何寻找呢？PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义导数的几何意义:我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线P Pn趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.问题问题:割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?割线PPn的斜率:设相对于 的增加量为 ,则 当点Pn无限趋近于点P即x0时,kn无限趋近于切线PT的斜率k.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种 方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.因此,函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率.即即:PQoxyy=f(x)割割线线T切线切线要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替。大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）例例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)利用点斜式求切线方程.(若点不知,则先求出点的坐标)练习练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.（1）求出函数在点x0处的导数 ，即为曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即1.求切线方程的步骤：小小 结结 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。2.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:即我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 或 回回 顾顾 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在3)此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;利用切线斜率的定义求出切线的斜率;利用点斜式求切线方程.讲解：课本讲解：课本P78 例例2、例、例3在不致发生混淆时，导函数也简称导数函数导函数 由函数 f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:如何求函数y=f(x)的导数?看一个例子看一个例子:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增 量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。小小 结结（3）函数 f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数 f(x)的导函数 。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即求切线方程的步骤：作业：作业：P80 习题习题A组组 5、6
