3.4 基本不等式.ppt
3.4基本不等式基本不等式 请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车风车”图案？图案？赵爽弦图赵爽弦图探探究图形中的不等关系究图形中的不等关系?a=b一个重要结论：思思考：你能给出它的证明吗？考：你能给出它的证明吗？证明：因为 问题引入问题引入1 1、两个正数、两个正数a a，b b的的等差中项是等差中项是_;_;两个正数两个正数a a，b b的等比中项是的等比中项是_;_;2 2、对两个正数、对两个正数a,ba,b，又叫做正数又叫做正数a a与与b b的的算术平均数算术平均数3 3、对两个正数、对两个正数a,ba,b，又叫做正数又叫做正数a a与与b b的的几何平均数几何平均数那么两个正数那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的关系呢？数之间具有怎样的关系呢？那么a2+b22 a b那么那么a+b 2 若aR,bR若若a0 b0结论：结论：对任意两个正数对任意两个正数a、b,即即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当它们相等时取等号当且仅当它们相等时取等号.一正一正：a,b都是整数都是整数.基本不等式基本不等式基本不等式的理解：基本不等式的理解：“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”二定二定：a与与b的和（或积）是定值的和（或积）是定值.三相等三相等：当且仅当：当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.（分析法）（分析法）（综合法）（综合法）基本不等式的几何解释：基本不等式的几何解释：半半弦弦PQ不大于半径不大于半径OPaboABPQ例例1 1、设、设a,ba,b为正数，证明下列不等式：为正数，证明下列不等式：解解：（：（1 1）a，b都是正数 0，0=2（当且仅当a=b时，等号成立）随堂练习随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证（1）(ab)(bc)(ca)abc 解解：a，b，c都是正数 bc2 0ca2 0(ab)(bc)(ca)即(ab)(bc)(ca)abc.ab2 0=8abc2 2 2(当且仅当a=b=c时，上式取等号）2.已知a、b、c都是正数，求证(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.解：解：x，y都是正数 xy2 0 x20，y20，x30，y30 x2y22 0 x3y32 0(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3 即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.2 2 2（当且仅当x=y时，式中取等号）（当且仅当x=y时，式中取等号）随堂练习随堂练习 例例1.1.用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100m100m2 2矩形菜园，问这个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？篱笆是多少？练习练习:已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两条直角边各，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值.解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为宽为y m，则则xy=100，篱笆的长为篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10.答：这个矩形的长、宽都为答：这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最 短，最短，最短的篱笆是短的篱笆是40m.例例2.2.用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，问的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值.解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m,宽为宽为y m,则则2(x+y)=36,即即x+y=18，矩形菜园的面积为，矩形菜园的面积为xy m2。当且仅当当且仅当x=y,即即x=y=9时时等号成立。等号成立。答：这个矩形的长为答：这个矩形的长为9m、宽为、宽为9m时，菜园的面积最大，时，菜园的面积最大，最大面积是最大面积是81m2.解：设矩形菜园的宽为解：设矩形菜园的宽为xm，则长为（则长为（362x）m，其中其中0 x 18，则菜园的面积为则菜园的面积为 当且仅当当且仅当2x362x，即，即x9时菜园面积最大时菜园面积最大.Sx（362x）2x（362x）即即 菜园长菜园长18m，宽为宽为9 m时菜园面积最大为时菜园面积最大为162 m2.练习：练习：用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一个一边靠墙的的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？菜园的面积最大，最大面积是多少？解实际问题的思路：解实际问题的思路：1 1、正确理解题意，设变量时，一般可把欲求、正确理解题意，设变量时，一般可把欲求最大（小）的变量视为函数；最大（小）的变量视为函数；2 2、建立有关函数关系，把实际问题转化为求、建立有关函数关系，把实际问题转化为求函数的最大（小）问题；函数的最大（小）问题；3、在允许的范围内，求出最大（小）值；、在允许的范围内，求出最大（小）值；4、根据实际问题写出答案、根据实际问题写出答案.例例3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为为4800m3,深为深为3m，如果池底每如果池底每1m2的造价为的造价为150元，池壁每元，池壁每1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？能使总造价最低，最低总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为解：设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为则水池的宽为 m,水池的总造价为水池的总造价为y元，根据题意，得元，根据题意，得 因因此此，当当水水池池的的底底面面是是边边长长为为40m的的正正方方形形时时，水水池池的的总总造造价价最低，最低总造价是最低，最低总造价是297600元元.总结：总结：结论：结论：结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值.结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值.变题：若正数变题：若正数x、y满足满足x+2y1.求求 的最小值的最小值.变题：求函数变题：求函数 的最大值的最大值.
