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第三节第三节 微分微分一、微分的概念一、微分的概念三、微分的基本公式与法则三、微分的基本公式与法则四、一阶微分形式不变性四、一阶微分形式不变性二、微分与导数的关系二、微分与导数的关系一、微分的概念一、微分的概念1面积改变量的大小面积改变量的大小 一块正方形金属薄片受温度变化的影响时一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由其边长由 变化到变化到 ,问此薄片的面积改变了多少问此薄片的面积改变了多少?2.自由落体运动路程的改变量自由落体运动路程的改变量自由落体路程自由落体路程 与时间与时间 的关系是的关系是当当时间由时间由 变到时变到时 ,路程路程 有相应的改变量有相应的改变量面积改变量面积改变量路程改变量路程改变量共性共性 函数改变量函数改变量 问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有函是否所有函数的改变量都有数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?既容易计算既容易计算又是较好的又是较好的近似值近似值 定义定义2-2 设函数设函数 在某区间内有定义在某区间内有定义,及及 在这区间内在这区间内,如果函数的增量可表示为如果函数的增量可表示为其其 是不依赖于是不依赖于 的常数的常数,而而 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,那么称函数那么称函数 在点在点 是可微的是可微的,叫做函数叫做函数 在点在点 相应于自变量增量相应于自变量增量 的微分的微分,记作记作 ,即即 函数函数 在任意点在任意点 处的微分处的微分,称为函数的微称为函数的微分分,记为记为 或或由定义知由定义知:MNT）P 微分的几何意义微分的几何意义证明证明(1)必要必要性性即即:二、微分与导数的关系二、微分与导数的关系(2)充分充分性性即即解解例例2-292-29基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式三、三、微分的基本公式与法则微分的基本公式与法则函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则解解解解例例2-302-30例例2-312-31结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性四、一阶微分形式不变性四、一阶微分形式不变性解解例例2-322-32例例2-332-33解解主要内容主要内容微分的定义微分的定义微分的几何意义微分的几何意义:切线纵坐标的改变量切线纵坐标的改变量可导与可微的关系可导与可微的关系:可导可导 可微可微微分公式微分公式一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性