2.3.1双曲线及其标准方程67227.ppt
定义定义图象图象 标准方程标准方程焦点焦点a.b.ca.b.c的的关系关系复习椭圆复习椭圆|MF1|+|MF2|=2a(2a2c)1.1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)欣赏下面几幅图片，你能发现什么？欣赏下面几幅图片，你能发现什么？如图如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如图如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a由由可得：可得：|MF1|-|MF2|=2a （差的绝对值差的绝对值）上面上面两条曲线两条曲线合起来叫做合起来叫做双曲线双曲线,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线的一支。的一支。看图分析动点看图分析动点M满足的条件：满足的条件：双曲线的定义双曲线的定义 平面内与两定点平面内与两定点F F1 1，F F2 2 的距离的的距离的差差的的绝对值绝对值等等于于常数常数（小于小于|F|F1 1F F2 2|)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线.F1,F2-焦点焦点|F1F2|=2c-焦距焦距(这里这里ca0)F2F1M|MF1|-|MF2|=2a(02a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？若若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？此时轨迹为以此时轨迹为以F1F1或或F2F2为端点的为端点的两条射线两条射线此时此时轨迹不存在轨迹不存在此时轨迹为线段此时轨迹为线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线F1F2F1F2分分3种情况来看：种情况来看：双曲线的标准方程xOyF1MF21.建系建系 以以F F1,1,F F2 2所所在在的的直直线线为为X X轴轴，线线段段F F1 1F F2 2的的中中点点o o为为原原点点建建立如图直角坐标系立如图直角坐标系 双双 曲曲 线线 的的 焦焦 距距 为为2c2c（c0c0）,F,F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)常数为常数为2a2a，设，设M M（x,yx,y）,2.设点设点3.列式列式|MF1|-|MF2|=2a如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？4.4.化简化简令令双曲线的标准方双曲线的标准方程程,焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在x轴上轴上的标准方程的标准方程F2F1MxOyOMF2F1xy焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?定义定义图象图象方程方程焦点焦点a.b.c 的的关系关系(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)想一想：如何判断焦想一想：如何判断焦点的位置？点的位置？双曲线双曲线（1）双曲线的标准方程用减号）双曲线的标准方程用减号“-”连接；连接；（2）双曲线方程中）双曲线方程中a0,b0,但但a不一定大于不一定大于b说明：（3）如果）如果x2的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在x轴上；轴上；如果如果y2的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在y轴上轴上；（4）双曲线标准方程中，）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是的关系是c2=a2+b2；（5）双曲线的标准方程可统一写）双曲线的标准方程可统一写成成mx2-ny2=1（mn0)F(c,0)F(0,c)定定义义 方方程程 焦焦点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭 圆双曲线F（0，c）F（0，c）探探究究二二、下下列列式式子子是是否否双双曲曲线线方方程程，若若是是，指指出其焦点坐标。出其焦点坐标。（-5,0），（），（5,0）（0，-5），（），（0,5）例、例、已知双曲线的焦点坐标分别为（已知双曲线的焦点坐标分别为（5,0）和）和（5,0），双双曲曲线线上上一一点点P到到两两焦焦点点的的距距离离之之差差为为6，求求它的标准方程。它的标准方程。解解：因因为为双双曲曲线线的的焦焦点点在在x轴轴上上，所所以以设设它的标准方程为它的标准方程为根据题意根据题意,2a=6,c=5,所以所以a=3,故故因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为例、例、已知双曲线的焦点坐标分别为（已知双曲线的焦点坐标分别为（5,0）和）和（5,0），双双曲曲线线上上一一点点P到到两两焦焦点点的的距距离离之之差差为为6，求求它的标准方程。它的标准方程。双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为两条射线两条射线轨迹不存在轨迹不存在1.若若|PF1|-|PF2|=6呢？呢？2.若若|PF1|-|PF2|=12呢？呢？3.若若|PF1|-|PF2|=10呢？呢？判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。答案：答案：题后反思：题后反思：先把非标准方程先把非标准方程化成标准方程，化成标准方程，再判断焦点所在再判断焦点所在的坐标轴。的坐标轴。使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解:由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s,可知可知A A地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m.因为因为|AB|680|AB|680m,所以所以爆炸点的爆炸点的轨迹是以轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上.例例2 2已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m,在在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地地晚晚2 2s,且声速为且声速为340340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为(x,y)，则则即即 2a=680，a=340 xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为答答:再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用利用B、C（或（或A、C）两处两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置.这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用.课堂练习课堂练习1、已已知知方方程程表表示示焦焦点点在在y轴轴的的双双曲曲线线，则则实实数数m的的取取值值范范围围是是_m2变变式式:上上述述方方程程表表示示双双曲曲线线，则则m的的取取值值范围是范围是_m2或或m12、求适合下列条件的双曲线的标准方程、求适合下列条件的双曲线的标准方程a=4,b=3，焦点在，焦点在x轴上；轴上；焦焦点点为为(0,6),(0,6)，双双曲曲线线上上一一点点P到两焦点的距离之差的绝对值为到两焦点的距离之差的绝对值为6.课堂小结：课堂小结：1、双双曲曲线线及及其其焦焦点点，焦焦距距的的定定义义，双双曲曲线线的的标标准准方方程程以以及及方方程程中中的的a、b、c之之间间的关系的关系2、焦点位置的确定方法、焦点位置的确定方法3、求双曲线标准方程关键（定位，定量）、求双曲线标准方程关键（定位，定量）例例3已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上轴上，并且双曲线上的两点的两点P1、P2的坐标分别（的坐标分别（），（），（），求双曲线的标准方程。），求双曲线的标准方程。设法一：设法一：设法二：设法二：设法三：设法三：变式变式已知双曲线上的两点已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为的坐标分别为（），（），（），求双曲线的），求双曲线的标准方程。标准方程。谢谢谢谢
