2.2.1综合法和分析法49122.pptx

第三章第三章 导数及其应用导数及其应用高中数学选修高中数学选修1-11-1 引入引入 我们知道事物分成正面和方面。证明题目的方法我们知道事物分成正面和方面。证明题目的方法很多，不管有多少，从正面看从大宏观与大高度看只分成很多，不管有多少，从正面看从大宏观与大高度看只分成两类。两类。2.2.1综合法和分析法（一）综合法和分析法（一）综合法综合法练习练习.已知已知a0,b0,求证求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc分析：分析：首先，分析待证不等式的特点：不首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是等式的右端是3 3个数个数a,b,ca,b,c乘积的乘积的4 4倍，倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积数与另两个数的平方和之积.据此，只要据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式相同的形式.其次，寻找转化的依据及证明中要用的其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式其他知识：应用不等式x2+y22xy就能实就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依现转化，不等式的基本性质是证明的依据据.证明证明:b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2)2abc.又又 c2+a2 2ac,b0 b(c2+a2)2abc.a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为:二、讲授新课二、讲授新课综合法综合法(顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法)利用利用已知条件已知条件和某些和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等等,经经过一系列的推理论证过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法。其综合法。其特点是特点是:“由因导果由因导果”但综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展但综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难。会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想。更难。会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想。同学们，综合法我们只需懂理解具体例子，这些归纳出来同学们，综合法我们只需懂理解具体例子，这些归纳出来的综合法一般理论是数学家干干的，我们只需理解就行。的综合法一般理论是数学家干干的，我们只需理解就行。例1.如图所示,ABC在平面外,ABP,BCQ,AC=R,求证：P、Q、R三点共线分析：P、Q、R，P、Q、R平面ABC 则P、Q、R是两平面的交线三、例题讲解三、例题讲解三、例题讲解三、例题讲解例例3.在在ABC中，三个内角中，三个内角A、B、C对应的边分别对应的边分别为为a、b、c，且，且A、B、C成成等差等差数列，数列，a、b、c成成等等比比数列，求证数列，求证ABC为等边三角形为等边三角形分析分析将将A，B，C成等差数列，转化为符号语成等差数列，转化为符号语言就是言就是2B=A+C；A，B，C为为ABC的内角，这是一个隐含的内角，这是一个隐含条件，即条件，即A+B+C=180；a，b，c成等比数列转化为符号语言就是成等比数列转化为符号语言就是三、例题讲解三、例题讲解 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明于是，可以用余弦定理进行证明.证明：证明：由由A A，B B，C C成等差数列，有成等差数列，有 2B=A+C.因为因为A A，B B，C C为为C C的内角的内角,所以所以+=180.由由a，b，c成等比数列，有成等比数列，有由由，得，得，得，得由由，得，得注：注：解决数学问题时，学会解决数学问题时，学会语言转换语言转换；还要细致，；还要细致，找出隐含条件。找出隐含条件。符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言由余弦定理及由余弦定理及，可得，可得再由再由，得，得即即因此因此a=c.从而从而A=C.所以所以C C为等边三角形为等边三角形.由由 ,得得四、课堂小结四、课堂小结 1.1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法知入手能找到证明的途径，则用综合法.2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难。会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想。展更难。会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想。万事开头难怎办？万事开头难怎办？请听下节课分解请听下节课分解2.2.1综合法和分析法（二）综合法和分析法（二）分析法分析法 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为:一、回顾复习一、回顾复习综合法综合法(顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法)利用利用已知条件已知条件和某些和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等等,经经过一系列的推理论证过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法。其综合法。其特点是特点是:“由因导果由因导果”综合法是由一个个推理组成的综合法是由一个个推理组成的 3.综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难。综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难。会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想。会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想。但开头难怎办？如何找到开头？但开头难怎办？如何找到开头？练习：证明不等式：练习：证明不等式：(a0,b0).(a0,b0).证法证法1:1:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立证法证法2:2:要证要证;只需证只需证;只需证只需证;只需证只需证;因为因为;成立成立所以所以 成立成立综合法综合法分析法分析法思考：上述两种证法有什么异同？思考：上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止为止 综合法综合法相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止吻合为止 分析法分析法分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 综合法综合法已知条件已知条件结论结论综合法和分析法的推证过程如下：综合法和分析法的推证过程如下：一般地，从要一般地，从要证明的结论证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的每一步结论成立的充分条件充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为，直至最后，把要证明的结论归结为判定判定一个明显成立一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做止，这种证明的方法叫做分析法。分析法。其特点是：其特点是：执果索因，即执果索因，即要证结果要证结果Q，只需证条件，只需证条件P.得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论二、讲授新课二、讲授新课分析法分析法（逆推证法或执果索因法）（逆推证法或执果索因法）类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。用用PiPi表示使所要证明结论成立的充分条件，表示使所要证明结论成立的充分条件，Q Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则则分析法的思路过程，特点分析法的思路过程，特点用框图表示为用框图表示为:注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等 同学们这些分析法的严格定义即一般理论是数学家干干的，同学们这些分析法的严格定义即一般理论是数学家干干的，我们只需懂和理解具体例子。我们只是个高中生。我们只需懂和理解具体例子。我们只是个高中生。在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2125”出发，出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但但由于我们很难想到从由于我们很难想到从“2125”入手，所以入手，所以用综合法比较困难用综合法比较困难.反思反思练习练习.求证：求证：证法一：为了证明为了证明成立成立因为因为所以只需证明所以只需证明成立成立展开得展开得即即因为因为成立，所以成立，所以成立成立证法二：第一高考不会估第一高考不会估算也不用计算器。算也不用计算器。同学们你觉得可同学们你觉得可以是依葫芦画瓢，以是依葫芦画瓢，但我希望同学们但我希望同学们你对自己提高要你对自己提高要求那就是心算出求那就是心算出开头。开头。例例5.如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线,垂足为垂足为E,E,过过E E 作作SCSC的垂线的垂线,垂足为垂足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证法一证法一:要证要证AFSCAFSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AESC:AESC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AEBC:AEBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BCSA:BCSA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以.AFSC.AFSC成立成立分析：分析：本题条件较多，而本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析比较困难，我们采用分析法，法，证法二证法二:SA:SA平面平面ABCABC AEBC AEBC又又AESB,AESB,且且BCSB=BBCSB=B AE AE平面平面SBCSBC AESC AESC又又EFSC,EFSC,且且AEEF=EAEEF=E SC SC平面平面AEFAEF AFSC AFSCBCSABCSA BC BC平面平面SABSAB又又ABBC,ABBC,且且ABSA=AABSA=A这是道经典这是道经典题，年年有，题，年年有，高考只会换高考只会换个角度考。个角度考。同学们你会同学们你会遇到云里雾遇到云里雾里剪不断理里剪不断理还乱的解题还乱的解题现象。这里现象。这里线面垂直转线面垂直转化为线线垂化为线线垂直，线线垂直，线线垂直转化为线直转化为线面垂直，把面垂直，把你头脑转晕你头脑转晕掉。掉。分析：分析：证明式中没有证明式中没有,因此我们要将因此我们要将 消掉消掉,如何消掉如何消掉？而且在条件中只有弦而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只而在证明结果里面只有切有切,因此我们要因此我们要弦化切。弦化切。证明：证明：（3）由于上式与由于上式与相同，于是问题得证相同，于是问题得证.1.综合法：综合法：(sin+cos)2-2sincos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2（二倍角公式）（二倍角公式）解题就是思维的发生解题就是思维的发生发展且为什么这样发发展且为什么这样发生发展。世界上没有生发展。世界上没有无缘无故的恨也没有无缘无故的恨也没有无缘无故的爱，思维无缘无故的爱，思维的发生机会没有莫名的发生机会没有莫名其妙。已知条件三个其妙。已知条件三个角，要证结论两个角，角，要证结论两个角，所以消失一个，消失所以消失一个，消失后发现得到的是正弦后发现得到的是正弦式子，但要证的结论式子，但要证的结论正切，所以又要化正正切，所以又要化正切为正弦。切为正弦。综合法和分析法的各自优综合法和分析法的各自优劣劣 综合法综合法是万事开头是万事开头难，我们很难找到那个证明的起点即开难，我们很难找到那个证明的起点即开头。我们一般用分析法找到证明的起点即开头然后用综合法书写。头。我们一般用分析法找到证明的起点即开头然后用综合法书写。分析法像警察破案，一步步推理，最终找到犯罪的证据。整个分析法像警察破案，一步步推理，最终找到犯罪的证据。整个案件清晰明朗。案件清晰明朗。综合法让我们隐藏了我们的解题思路是怎来的，就像一只综合法让我们隐藏了我们的解题思路是怎来的，就像一只狡猾的狐狸，一边前进，一边抹去自己前进的足迹。这就是历史上狡猾的狐狸，一边前进，一边抹去自己前进的足迹。这就是历史上后人评价高斯的数学文章，说高斯像只狡猾的狐狸，让后人不知道后人评价高斯的数学文章，说高斯像只狡猾的狐狸，让后人不知道他的思路是怎来的，后人评价高斯说高斯只所以这样是为了显示自他的思路是怎来的，后人评价高斯说高斯只所以这样是为了显示自己的高明。人家会问你是怎么想到的。但综合法没给出我是怎么想己的高明。人家会问你是怎么想到的。但综合法没给出我是怎么想到的。研究的学者指出，如果高斯能公布自己是如何想到的，那会到的。研究的学者指出，如果高斯能公布自己是如何想到的，那会极大推动世界数学的发展。极大推动世界数学的发展。