1.3空间几何体的体积.ppt
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题提出问题提出问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和们的表面积就是各个面的面积的和 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方法，求立体图形的表面积引入新课引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？积？h棱柱的展开图棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？棱锥的展开图棱锥的展开图正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？棱锥的展开图棱锥的展开图侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？棱锥的展开图棱锥的展开图侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，所以：所以：因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 ，典型例题典型例题圆柱的表面积圆柱的表面积O圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形O圆台的表面积圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 OO圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环三者之间关系三者之间关系OOOO 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？系？rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 典型例题典型例题 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）柱体体积柱体体积一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 圆锥体积圆锥体积探究探究:棱锥与同底等高的棱柱体积之间的棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系关系棱锥体积棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）由此可知，由此可知，棱柱与圆柱棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底的体积公式类似，都是底面面积乘高；面面积乘高；棱锥与圆锥棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：锥体体积锥体体积台体体积台体体积 由于圆台由于圆台(棱台棱台)是由圆锥是由圆锥(棱棱锥锥)截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台(棱台棱台)的的体积公式体积公式(过程略过程略)根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式 其中其中 ，分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高台体体积台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高台体体积台体体积上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，已知底面是正六边形，边长为边长为12mm，内孔直径为内孔直径为10mm，高为高为10mm，问这问这堆螺帽大约有多少个（堆螺帽大约有多少个（取取3.14）？）？解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个典型例题典型例题柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积锥体锥体台体台体柱体柱体知识小结知识小结知识探究（一）知识探究（一）:球的体积球的体积思考思考1:1:从球的结构特征分析，球的大小从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？由哪个量所确定？思考思考2:2:底面半径和高都为底面半径和高都为R R的圆柱和圆锥的圆柱和圆锥的体积分别是什么？的体积分别是什么？思考思考3:3:如图，对一个半径为如图，对一个半径为R R的半球，其的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？关系？思考思考4:4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？猜想半球的体积是什么？思考思考5:5:由上述猜想可知，半径为由上述猜想可知，半径为R R的球的的球的体积体积 ，这是一个正确的结论，你，这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？能提出一些证明思路吗？知识探究（二）知识探究（二）:球的表面积球的表面积思考思考1:1:半径为半径为r r的圆面积公式是什么？它的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？是怎样得出来的？思考思考2:2:把球面任意分割成把球面任意分割成n n个个“小球面片小球面片”，它们的面积之和等于什么？，它们的面积之和等于什么？o思考思考3:3:以这些以这些“小球面片小球面片”为底，球心为底，球心为顶点的为顶点的“小锥体小锥体”近似地看成棱锥，近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等于什于什么？它们的体积之和近似地等于什么？么？o o思考思考4:4:你能由此推导出半径为你能由此推导出半径为R R的球的的球的表面积公式吗？表面积公式吗？思考思考5:5:经过球心的截面圆面积是什么？经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？它与球的表面积有什么关系？球的表面积等于球的大圆面积的球的表面积等于球的大圆面积的4 4倍倍理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，圆柱的底面直径与高都等如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：于球的直径，求证：（1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积.例例2 2 已知正方体的八个顶点都在球已知正方体的八个顶点都在球O O的球面上，且正方体的表面积为的球面上，且正方体的表面积为a a2 2，求，求球球O O的表面积和体积的表面积和体积.例例3 3 有一种空心钢球，质量为有一种空心钢球，质量为142g142g（钢的密度为（钢的密度为7.9g/cm7.9g/cm3 3），测得其外径），测得其外径为为5cm5cm，求它的内径（精确到，求它的内径（精确到0.1cm0.1cm）.o oAC 例例4 4 已知已知A A、B B、C C为球面上三点，为球面上三点，AC=BC=6AC=BC=6，AB=4AB=4，球心，球心O O与与ABCABC的外心的外心M M的距离等于球半径的一半，求这个球的的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积表面积和体积.ABCOM作业作业:P28 3,4:P28 3,4柱、锥、台体的表面积和体积柱、锥、台体的表面积和体积
