13.5.3角平分线的性质.ppt
在一个三角形居住区内修有在一个三角形居住区内修有一个一个学校学校P P，P P到到ABAB、BCBC、CACA三边三边的距离都相等的距离都相等,请在三角形居住区请在三角形居住区内标出内标出学校学校P P的位置的位置,P,P在何处？在何处？ABC复习提问复习提问1 1、角平分线角平分线的概念的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习提问复习提问 2 2、点到直线距离点到直线距离:从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB我的我的长度长度 3 3、尺、尺规作角的平分作角的平分线A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求复习提问复习提问AOEBCPD 作作 AOBAOB的角平分线的角平分线OC,OC,在在OCOC上任意取一点上任意取一点P P，再过再过P P点分别作点分别作OAOA、OBOB的垂线段，垂足分别为点的垂线段，垂足分别为点D D、E E，那么，那么PD=PEPD=PE吗？吗？结论：结论：PD=PEPD=PE猜想：猜想：角平分线的性质角平分线的性质你能论证你的猜想吗？你能论证你的猜想吗？已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明：PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）PDO=PEO AOC=BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DP PEAOBC角角平分线的性质平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用用符号语言表示为：符号语言表示为：AOBPED12 1=21=2 PD OA PD OA，PE OBPE OBPD=PEPD=PE(角角的的平分线上的点到角的两边的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等)推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。如如图图，在，在RtRtABC ABC 中，中，做完本做完本做完本做完本题题题题后，你后，你后，你后，你对对对对角平分角平分角平分角平分线线线线,又增加了什么又增加了什么又增加了什么又增加了什么认认认认识识识识?思考思考思考思考角平分角平分线线的性的性质质，为为我我们证们证明明两条两条线线段段相等相等 又提供了新的方法与又提供了新的方法与途径途径途径途径。ABCBDBD是是角角平分平分线线，DEDEABAB，垂足，垂足为为E E，E EDEDE与与DC DC 相等相等吗吗？DD答：答：答：答：DE=DCDE=DC。BDBD是是ABCABC的平分线的平分线 且且DEDEBABA，DE=DCDE=DC。为为什么？什么？DCDCBCBC，如图，如图，AD平分平分BAC（已知）已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等Your site hereLOGO如图，如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线，又又 _ PD=PE ()PDOA，PEOBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等1 如图，在直线如图，在直线l上找出一点上找出一点P，使得点，使得点P到到 AOB的两边的两边OA、OB的距离相等的距离相等提示：作提示：作AOB的平分线，的平分线，交直线交直线l 于于P就是所求的点就是所求的点oBAlP练练习习4：如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.CDABOPYour site hereLOGO 在在OAB中，中，OE是它的角平分线，且是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D.求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD DYour site hereLOGO 在在ABC中，中，C=90 ，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，BC7，DE3.求求BD的长。的长。EDCBAYour site hereLOGO 如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平的平分线，分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求求证：证：CF=EBACDEBF任意做一个三角形，并作出三个角的角平分线，在观察他们有什么关系？三角形的三条角平分线交于一点。补充例补充例 ：已知：如图，：已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P.P.求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？在一个三角形居住区内修有在一个三角形居住区内修有一个一个学校学校P P，P P到到ABAB、BCBC、CACA三边三边的距离都相等的距离都相等,请在三角形居住区请在三角形居住区内标出内标出学校学校P P的位置的位置,P,P在何处？在何处？ABC补充例：如图，补充例：如图，的的的外角的平分线的外角的平分线与与的外角的平分线相交于点求的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距证：点到三边，所在直线的距离相等离相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！拓展与延伸直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。P1P2P3P4l1l2l3这节课我们学习了哪些知识？这节课我们学习了哪些知识？1、角平分线的定义，点到直线的距离。、角平分线的定义，点到直线的距离。2、“作已知角的平分线作已知角的平分线”的尺规作图的尺规作图3、角的平分线的性质：、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。OC是是AOB的平分线的平分线,又又 PDOA,PEOB PD=PEEDOABPC几何语言几何语言:4、三角形的三条角平分线交于一点，、三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等并且这点到三角形三边的距离相等，1 1、在、在RtABCRtABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE 2 2、如如图图,OC,OC是是AOBAOB的的平平分分线线,点点P P在在OCOC上上,PD,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂垂 足足 分分 别别 是是 D D、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用3.3.如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足垂足分别是分别是E E，F F，DE=DFDE=DF，EDB=EDB=6060，则，则 EBF=EBF=度，度，BE=BE=。60BF4 4 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm5.已知已知ABC中中,C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE你会吗？你会吗？拓展拓展提高：提高：如图如图，O是三条角平分是三条角平分线的交点，线的交点，ODBC于于D，OD=3，ABC的周长为的周长为15，求，求SABC ABCOMNGD
