弧弦圆心角 (3).ppt
CAMBO.D复习回顾复习回顾垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦，并且并且平分弦对的两条弧平分弦对的两条弧。直线直线CD过圆心过圆心O CDAB AM=BM AC=BC AD=BD数学语言：数学语言：弧、弦、圆心角、弦心距弧、弦、圆心角、弦心距课题课题湖南省郴州市苏仙区荷叶坪学校湖南省郴州市苏仙区荷叶坪学校 曹四清曹四清复习复习1 1、圆的对称性有哪几方面？、圆的对称性有哪几方面？O轴对称性轴对称性.OBA180 所以圆是中心对称图形。所以圆是中心对称图形。圆绕圆心旋转180后仍与原来的圆重合。圆心角圆心角：我们把：我们把顶点在圆心顶点在圆心的角的角叫做叫做圆心角圆心角.OBAAOBAOB为圆心角为圆心角 圆心角圆心角AOBAOB所对所对的弦为的弦为ABAB，所对的弧，所对的弧为为ABAB。1 1、判别下列各图中的角是不是圆心角，、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。并说明理由。任意给圆心角，对应出现三个量：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角圆心角弧弧弦弦OBA疑问：疑问：这三个量之间会有什么关系呢？这三个量之间会有什么关系呢？根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角 AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到 AOB的位的位置时，置时，AOB AOB，射线，射线 OA与与OA重合，重合，OB与与OB重合重合而同圆的半径相等，而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，点点 A与与 A重合，重合，B与与B重合重合OAB探究探究OABABAB二、二、重合，重合，AB与与AB重合重合 如图，将圆心角如图，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置，你的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？能发现哪些等量关系？为什么？OABA1O1B1 如图，如图，O与与O1 1是等圆，是等圆，AOB AOB=A A1 1 O1 B1，请问上述结论还成立吗？为什么请问上述结论还成立吗？为什么?AOB=AOB=A A1 1OBOB1 1AB=AAB=A1 1B B1 1，AB=AAB=A1 1B B1 1.OOA AB B下面的说法正确吗下面的说法正确吗?为什么为什么?如图如图,因为因为 根据圆心角、弧、弦、根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知：弦心距的关系定理可知：探究探究OABAB 将将将将AOBAOB绕绕绕绕OO旋转到旋转到旋转到旋转到A A/OBOB/，你能发现哪些等量，你能发现哪些等量，你能发现哪些等量，你能发现哪些等量关系？关系？关系？关系？圆心角、圆心角、弧、弦、弦心距弧、弦、弦心距之间的关系定理之间的关系定理OABDABD由条件由条件:AOB=AOBAB=AB OD=OD可可推出推出AB=AB在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧相等弧相等,所对的所对的弦相等弦相等,所对的弦的所对的弦的弦心距相等弦心距相等.思考：思考：1、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？你能得什么结论？2、在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？、在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？2.2.在同圆在同圆(或等圆或等圆)中，如果弧相等中，如果弧相等,那么那么所对的圆心角所对的圆心角_、所对的弦、所对的弦_ _ _ _._.相等相等相等相等结论结论:相等相等1.1.在同圆在同圆(或等圆或等圆)中，如果圆心角相等，中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等那么它所对的弧相等、所对的弦相等 3.3.在同圆在同圆(或等圆或等圆)中，如果弦相等中，如果弦相等,那么那么所对的圆心角所对的圆心角_、所对的弧、所对的弧_._.相等相等以上三句话如没以上三句话如没有在同圆或等圆有在同圆或等圆中，这个结论还中，这个结论还会成立吗？会成立吗？在在同圆或等圆同圆或等圆中中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组量相等有一组量相等,那么它们所对应的那么它们所对应的其余各组量都分别相等其余各组量都分别相等.延伸延伸 (1)(1)圆心角圆心角(2)(2)弧弧(3)(3)弦弦(4)(4)弦心距弦心距圆心角圆心角圆心角圆心角定理整体理解：定理整体理解：定理整体理解：定理整体理解：知知一一得得三三OOA AB BA AB B 同圆或等圆同圆或等圆 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_CABDEFOAB=CDAB=CD四四、迁移运用、迁移运用AB=CDAB=CDAB=CD你会你会做吗做吗?解解:AC=BDAC=BD（已知）已知）AB=CDAB=CD 例例1、如图，在如图，在 O中中AC=BD，,求求2的度数。的度数。1=2=451=2=45（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）AC-BC=BD-BCAC-BC=BD-BC（等式的性质）（等式的性质）证明：证明：AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形又又 ACB=60ACB=60ABCABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CAAB=BC=CAAOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOC例例1 1 如图如图1 1，在，在O O中，中，AB=AC,ACB=60AB=AC,ACB=60,求证求证AOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOC。OBCA1.1.判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：(1)(1)相等的圆心角所对的弧相等。（相等的圆心角所对的弧相等。（）(2)(2)相等的弧所对的弦相等。（相等的弧所对的弦相等。（）2.2.如图，如图，ABAB是直径，是直径，BCBCCDCDDEDE，BOCBOC4040，求求AOEAOE的度数的度数 练一练：练一练：（1 1）如图，）如图，ABAB是是O O的直径，的直径，BC=CD=DEBC=CD=DE，COD=35COD=350 0，求，求AOEAOE的度数。的度数。A AB BOOD DE EC CA AB BC CD DOO（2 2）如图，在）如图，在O O中，中，AC=BDAC=BD，COD=40COD=400 0，求求AOBAOB的度数。的度数。七、思考七、思考 如图，已知如图，已知AB、CD为为 O的两条弦，的两条弦，AD=BC,求证求证AB=CD 3 3、如图、如图6 6，AD=BCAD=BC，那么比较，那么比较ABAB与与CDCD的大小的大小.ODCAB1弧弧n1n弧弧把圆心角等分成把圆心角等分成360份份,则每一份的圆心则每一份的圆心角是角是1.同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了360360份份.则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做1的弧的弧.这样这样,1,1的圆心角对着的圆心角对着1 1的弧的弧,1 1的弧对着的弧对着1 1的圆心角的圆心角.n n 的圆心角对着的圆心角对着n n的弧的弧,n n 的弧对着的弧对着n n的圆心角的圆心角.性质性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等弧的度数和它所对圆心角的度数相等.（2）所对的圆心角和所对的圆心角和 所对的圆所对的圆 心角相等心角相等在两个圆中，分别有在两个圆中，分别有 ,若若 的的度数和度数和 相等，则有相等，则有（1）和和 相等相等判断判断例例2 2：如图，在：如图，在O O中，弦中，弦ABAB所对的劣弧为圆的所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为，圆的半径为4cm4cm，求求ABAB的长的长OABCOABCD如图，如图，AC与与BD为为 O的两条互的两条互 相垂直的直径相垂直的直径.求证：求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=DA 证明证明:AC与与BD为为 O的两条互相垂直的直径的两条互相垂直的直径,AOB=BOC=COD=DOA=90AB=BC=CD=DA(圆心角定理圆心角定理)点此继续知识延伸知识延伸练习练习 、O O1 1和和 O O2 2是等圆，是等圆，ADADO O1 1O O2 2，下列正确的是下列正确的是()()A AB=CDA AB=CD且且ABCDABCDB AB=CDB AB=CD且且ABCDABCDC AB=CDC AB=CD且且AB=CDAB=CDD D 以上都不对以上都不对O1O2ABCD4 4、如图、如图7 7所示，所示，CDCD为为O O的弦，在的弦，在CDCD上取上取CE=DFCE=DF，连结，连结OEOE、OFOF，并延长交，并延长交O O于点于点A A、B.B.（1 1）试判断）试判断OEFOEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）求证：）求证：AC=BDAC=BD EFOABCD例题解析例题解析例例例例3 3 已知：如图已知：如图已知：如图已知：如图2 2，ABAB、CDCD是是是是 OO的弦，且的弦，且的弦，且的弦，且ABAB与与与与CDCD不平行，不平行，不平行，不平行，MM、N N分别是分别是分别是分别是ABAB、CDCD的中点，的中点，的中点，的中点，AB=CDAB=CD，那么，那么，那么，那么AMNAMN与与与与CNMCNM的大小关系是什的大小关系是什的大小关系是什的大小关系是什么？为什么？么？为什么？么？为什么？么？为什么？解：连结解：连结解：连结解：连结OMOMOMOM、ONONONON，M M M M、N N N N分别为弦分别为弦分别为弦分别为弦ABABABAB、CDCDCDCD的中点，的中点，的中点，的中点，AMO=CNO=90AMO=CNO=90AMO=CNO=90AMO=CNO=90 AB=CD AB=CD AB=CD AB=CD OM=ON OM=ON OM=ON OM=ON OMN=CNM OMN=CNM OMN=CNM OMN=CNM AMN=CNM AMN=CNM AMN=CNM AMN=CNM如图，已知如图，已知OA、OB是是 O的半径，点的半径，点C为为AB的中点，的中点，M、N分别为分别为OA、OB的的中点，求证：中点，求证：MC=NC如图，如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的的半径，弦半径，弦BEOA,求证：求证：AC=AE 已知已知已知已知ABAB是是是是 OO的直径的直径的直径的直径,M,M、N N分别是分别是分别是分别是AOAO和和和和BOBO的的的的中中中中点，点，点，点，CMCMABAB，DNDNABAB，则弧，则弧，则弧，则弧ACAC和弧和弧和弧和弧BDBD有什么关系？有什么关系？有什么关系？有什么关系？为什么？为什么？为什么？为什么？七七.更上一层楼更上一层楼3.已知已知AB是是 O的直径的直径,M,N是是AO,BO的中点的中点,CMAB,DNAB,分别与圆交于点分别与圆交于点C,D.求证求证:AC=BDABCDMNOEFHG(3)下列结论错误的有下列结论错误的有()A.AH=BH B.EH=HDC.EM=DN D.AE=EH(2)求证：求证：AD=BC1.如如图图，在在 O中中，ABAC，B70.求求A度数度数.2.如图，已知如图，已知ADBC，试说明试说明AB=CD3.如图，点如图，点O在在CAE的平分线上，以的平分线上，以O为为圆心的圆分别交圆心的圆分别交CAE的两边于点的两边于点B、C和和D、E。求证求证:(1)BC=DE (2)AB=ADOABCDEFG1.在在 O中，已知中，已知AB=2CD，则，则AB=2CD吗？吗？2.如图，如图，AB是是 O上的一点，上的一点，OD是半径，是半径，且且OD/AC.求证：求证：CD=BDABDCO4.如图，射线如图，射线AM交一圆于点交一圆于点B、C，射线，射线AN交该圆于点交该圆于点D、E，且，且（1）求证：）求证：AC=AE（2）利用尺规作图，分别作线段）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平的垂直平分线与分线与MCE的平分线，两线交于点的平分线，两线交于点F（保留（保留作图痕迹，不写作法）求证：作图痕迹，不写作法）求证：EF平分平分CEN。BC=DE5 5、如图，等边、如图，等边ABCABC的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C都在都在O O上，连接上，连接OAOA、OBOB、OCOC，延长，延长AOAO分别交分别交BCBC于点于点P P，交，交BCBC于点于点D D，连接，连接BDBD、CD.CD.（1 1）判断四边形）判断四边形BDCOBDCO的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）若）若O O的半径为的半径为r r，求，求ABCABC的边长的边长BCAOPD如图，如图，O中两条相等的弦中两条相等的弦AB、CD分别分别延长到延长到E、F，使，使BE=DF。求证：求证：EF的垂直平分线必经过点的垂直平分线必经过点O。OABCDEFMN课后思考题课后思考题1 1、三个元素：、三个元素：圆心角、弦、弧圆心角、弦、弧2 2、三个相等关系：、三个相等关系：OABA1 1B1(1)(1)圆心角相等圆心角相等(2)(2)弧相等弧相等(3)(3)弦相等弦相等知知一一得得二二八、作业八、作业1 1、教材、教材8787页页2 2，3,3,2 2、完成练习册相应作业。、完成练习册相应作业。
