椭圆（1）.ppt

高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座椭圆（椭圆（1 1）执教：王春苗执教：王春苗执教：王春苗执教：王春苗1.第一定第一定义在在平平面面内内,与与两两定定点点F1、F2的的距距离离之之和和等等于于常常数数(大大于于|F1F2|)的的点点的的轨迹迹(或或集集合合)叫叫 这两两定定点点叫叫做做椭圆的的 ，两焦点，两焦点间的距离叫做的距离叫做 高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座椭圆焦点焦距思考：若 或 ，则动点的轨迹如何？考点一 椭圆的定义当 时,动点的轨迹是线段 ；当 时,动点的轨迹是不存在的高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座解：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则ABC的周长为|AB|AC|BC|(|AB|BF|)(|AC|CF|).BFOAC例1 已知 的顶点B、C 在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，则ABC的周长为 .小结：(1)椭圆定义:|CA|+|CF|=2a,(2)ABC的周长为4a .高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座变式1 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为 ，焦距为 ，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 .OxyDPABCQ解：(1)A-C-A,此时小球经过的路程为 ；(2)A-B-D-B-A,此时小球经过的路程为 ；(3)A-P-B-Q-A，此时小球经过的路程为 .高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座解：由题意知|PF1|PF2|2a ,变式式2 已知已知 、是是椭圆 ：的两个焦点，的两个焦点，为椭圆 上的一点，且上的一点，且 .若若 的面的面积为9，则 .yOPF2xF1小结：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关 的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF1PF22a，得到a、b、c的关系 高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座(2)对F1PF2的处理方法解：由本例(2)知，b3，|PF1|PF2|18，高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座椭圆方程为 .此时 ，即|PF1|PF2|的最小值为 ，若本例的所有条件不变，求使|PF1|PF2|最小时椭圆的方程思考：(当且仅当|PF1|PF2|时取“”)，高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座变式3 已知点 ，点F是椭圆 的右焦点，点M是椭圆上一动点，求 的最小值，并求此时点M的坐标.MOAFxyF解：设椭圆的左焦点为F，则 ，所以，又 即 ，则 ，（当M点位于F的正上方，取等号）.所以 ,此时点M的坐标为(-2,3).解：显然由 可得，思考：最大值呢？MOAFxyF （当点M位于F的正下方，取等号）.所以 ，此时点M的坐标为(-2，-3).高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座2.第二定义第二定义平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹为椭圆.高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座注：利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化.解:设椭圆的右准线为l，过点M作MMl，垂足为M根据椭圆的统一定义可得，即 .所以 .根据平面几何知识可得，当A,M,M三点共线时，AM+2MF为最小值,即A到准线l的距离为10，此时点M的坐标为 .高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座例2 将“变式3已知点 ，点F是椭圆 的右焦点，点M是椭圆上一动点，求AM+MF的最小值，”改为求“AM+2MF”的最小值并求此时点M的坐标.yAOMMxFlx=8小结：(1)求形如：AM+MF的最小值（最大值）问题,使用椭圆第一定义求解；(2)求形如：的最小值问题,使用椭圆第二定义求解.高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座例3 已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标.xABOF2CyF1分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a、c，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.ABOF2CyxF1解：(1)由椭圆定义及条件 知2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故椭圆方程为 .高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4.由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=离心率为 根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，得 （x1)+(x2)=2 ,小结：涉及椭圆上的点到椭圆焦点的距离问题，可以使用椭圆的第二定义，即焦半径公式进行处理.焦半径公式：PF1=a+exp，PF2=a-exp.yOF2F1Px高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座变式4 设F1、F2分别为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上一动点，点P到椭圆右准线的距离为d.若m|PF1|，|PF2|，d成等比数列，求m的取值范围.解法1：由已知得|PF2|2=m|PF1|d.又 e=，所以|PF2|=2m|PF1|.据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=4.所以(2m+1)|PF1|=4，所以|PF1|=.设点P(x0，y0)，则|PF1|=a+ex0=2+.所以2+=，解得x0=.高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座解法2：由已知可得|PF2|=2m|PF1|.设点P(x0，y0)，则：则：m因为-2x02,函数m=在-2,2上是减函数,且当x0=2时,m=,当x0=-2时,m=所以m所以|2-4m|2m+1|，即(2-4m)2(2m+1)2，得(6m-1)(2m-3)0，所以m因为|x0|，所以|2.解法3：由已知可得|PF2|=2m|PF1|，高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座点评：求椭圆中的参数的取值范围问题，一般是根据条件得到参数的不等式(组).注意一些隐含条件的转化，如椭圆上的点的坐标范围，离心率的范围等.所以，所以m .所以m由椭圆的几何性质知，a-c|PF1|a+c，即1|PF1|3，考点二 椭圆的标准方程高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座（1）焦点在x轴上：（2）焦点在y轴上：高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(2,0)，(2,0)，椭圆上一点 P到两焦点的距离的和等于6;(2)焦点在坐标轴上，且经过点A(,2)和B(,1);(3)焦距是2，且过点P(,0).因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 2a6,2c4，a3，c2.b2a2c232225.所求的椭圆标准方程为解：(1)两个焦点的坐标分别是(2,0)，(2,0)，椭圆上 一点P到两焦点的距离的和等于6;高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座解：方法一 高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为(2)焦点在坐标轴上，且经过点A(,2)和B(,1);由A(，2)和B(，1)两点在椭圆上可得解得若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为同上可解得 ，不合题意，舍去故所求的椭圆标准方程为高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座设所求椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座方法二由点A(，-2)和B(，1)在椭圆上可得即解得故所求的椭圆标准方程为(3)焦距是2，且过点P(,0).解：若椭圆焦点在x轴上，设其方程为由题意，得c1，且过点P(，0)，椭圆方程为高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座综上，所求椭圆标准方程为若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为则由得椭圆方程为或高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座变式5 求适合下列条件的椭圆的标准方程：过点 ，且与椭圆 有共同焦点；解：方法一据题意可知，椭圆焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为由椭圆过点可得又所求椭圆与椭圆 有共同焦点则 ，即 ；联立，可得 ，.所以所求椭圆的标准方程为 .高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座方法二：由所求椭圆与椭圆 有共同焦点，故设椭圆的标准方程为则 ，因为点 在椭圆上，解之得所求椭圆的标准方程为 .高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座小结：(1)定义法：根据定义确定a2,b2的值，再根据焦点的位置写出标准方程.(2)待定系数法：确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值，常用待定系数法(3)当焦点位置不确定时有两种处理方法，一是分类讨论，二是可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)或者设为 与椭圆 有共同焦点的椭圆可设为高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座三三 椭圆的几何性质椭圆的几何性质项目项目焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上图形与图形与方程方程标准标准方程方程焦点焦点F1(c,0)，F2(-c,0)F1(0,c)，F2(0,-c)高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座PF2xyOF1PF2xyOF1对称性对称性关于关于x，y轴对称轴对称;关于原点对称关于原点对称顶点顶点范围范围轴轴离心率离心率a,b,c关系关系A1(a,0),A2(-a,0)B1(0,b),B2(0,-b)A1(0,a),A2(0,-a)B1(b,0),B2(-b,0)|x|a,|y|b|y|a,|x|b长轴A1A2=2a短短轴B1B2=2b长轴A1A2=2a短短轴B1B2=2be=(0e1)e=(0e1)a2=b2+c2a2=b2+c2高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座解：由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2 ，所以e .例5 椭圆 的左、右顶点分 别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率 为 F2yOBAxF1解析：设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，变式6 椭圆M：的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c ，则 椭 圆 M的 离 心 率 e的 取 值 范 围 是 又x2y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，则 (-c-x，-y)，(c-x，-y)，(x2y2)maxa2，所以()maxb2，c2b2a2c23c2，即 e .高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座变式7 设椭圆 的两焦点为F1、F2，若在椭圆上存在一点P，使 ，则椭圆离心率e的取值范围是 .解：思考：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一动点，当P位于椭圆的什么位置时，F1PF2最大？高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座当且仅当r1=r2时，即P位于椭圆短轴上两顶点处，F1PF2最大.解：设|F1P|=r1，|F2P|=r2，F1PF2=，变式7另解：由题 ,则同上F1F2OB1yx小结：求离心率（或取值范围）的关键是 寻找a,b,c的等量关系（或不等关系），通常从代数与几何两方面进行考虑.高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座例6 已知直线l过椭圆C：长轴右顶点A(4,0)和短轴上顶点B(0，b)，原点到直 线l的距离为 .(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在右顶点A处，求实数m的取值范围解:(1)依题意可设l方程为 ，即bx4y4b=0.则原点O到l的距离 ，解之得b=，故椭圆方程为 ,离心率e=.AlByxO高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座(2)设P（x,y)为椭圆 上一点，则-4x4又当|MP|取最小值时，点P恰好落在右顶点A处，即当x4时，|MP|2取最小值，所以|MP|2(xm)2y2(xm)212(1 )而4x4，故4m4，即m1，又点M在椭圆长轴上，所以4m4，故实数m的取值范围1,4AlByxOMP小结：涉及到椭圆上一动点的最值问题，建立有关动点坐标的目标函数后，既要利用椭圆方程转化坐标，将目标函数化归为关于横坐标x(或纵坐标y)的函数，又要注意横坐标x(或纵坐标y)的取值范围，最后由目标函数的结构特征选择恰当的方法求得最值高中数学辅导讲座高中数学辅导讲座