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简单的优化模型3.4 最优价格 邹益坤问题分析对任意商品，其利润总与销售量和价格有关，而销售量又是受价格影响的，如果价格太高销售量就会下降，如果要提高销售量则必须下调价格，这两种情况都将影响到商品的获利，如果要使商品获利最大，则必须确定商品的最优价格。模型假设如果一个厂长有权根据产品成本和销售情况制定商品价格的话，他当然会寻求能使工厂利润最大的所谓最优价格。下面所讨论的最优价格模型，是指在产销平衡状态下的模型，这里的产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。为了模型的更加合理性，这里假设产品的销售量依赖于产品的价格。产品的成本与产品的产量也是相关联的。模型构成利润是销售收入与生产支出之差。假设每件产品售价为p，成本为q销售量为x(与产量相等)，总收入与总支出分别是l和C，则可以得到 I=px (1)C=qx (2)在市场竞争的情况下销售量x依赖于价格p，因此销售量应该是价格的函数，记作 x=f(p)(3)这里f称为需求函数是p的减函数。于是，不论成本q是否与x有关，收入I和支出C都是价格p的函数，利润U可以表示为 U(P)=I(P)-C(P)(4)设使利润U(P)达到最大的最优价格为p*则当 dU/dp=0 时p的值即为p*。即有 dI/dp=dC/dp 当p=p*时。(5)我们把dI/dp称为边际收入边际收入（价格变动一个单位时收入的改变量），dC/dp称为边际支边际支出出（价格变动一个单位时的支出的改变量）。(5)式表明，最大利润是在边际收入等于边际支出时达到的。模型求解为了得到进一步的结果，需要假设出需求函数的具体形式。假设需求函数是简单的线性函数f(p)=a-bp,a0,b0 (6)并且每件产品的成本q与产量x无关，将（1）（2）（3）（6）四个式子代入（4）式可得U(P)=(p-q)(a-bp)(7)用微分法容易求出使U(P)最大的最优价格p*为 p*=q/2+a/2b (8)模型分析在（6）式f(p)=a-bp中，a可以理解为这种产品免费供应时社会的需求量，称为绝对需求量，绝对需求量，b=-dx/dp,表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度，它反映的是市场需求对价格的敏感程度，在实际工作之中，a和b可以由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定。（8）式 p*=q/2+a/2b 表明最优价格是两部分之和，一部分是成本q的一半，另一部分与绝对需求量a成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比。模型应用最优价格模型是经济学中比较典型的数学模型，对企业管理者进行相关分析和决策具有重要的指导作用。