3.1 不定积分的定义及直接积分法.ppt

3.1 不定积分的定义及直接积分法不定积分的定义及直接积分法第第3章章 积分及其应用积分及其应用3.1.1 原函数的概念原函数的概念定义3.1 设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x),使得对任意xI,均有则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.原函数的两点说明(1)如果函数f(x)在区间I内连续，则f(x)在区间I内存在原函数.(2)如果函数F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，即 ，则f(x)的所有原函数可表示为 F(x)+C(其中C为任意常数）3.1.2 不定积分的概念不定积分的概念定义定义3.2 函数函数f(x)的全体原函数的全体原函数F(x)+C称为称为f(x)的的积积分分号号被被积积函函数数积积分分变变量量被被积积表表达达式式任任意意常常数数例例3.13.1 求求解解 因为因为所以 是 的一个原函数，因此例例3.23.2 求求解解 因为因为因此所以 是 的一个原函数，例例3.3 求求解解 当当x0时时,由于由于所以所以是是 在在内的一个原函数内的一个原函数.因此，在因此，在 内，内，当当 x0 及及 x0 内的结果合起来，可写作内的结果合起来，可写作微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.结论：结论：3.1.3 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1性质性质2（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）性质性质3性质性质4例例3.4 求求 解解 例如例如既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.3.1.4 3.1.4 基本积分公式基本积分公式类似地可以得到其他积分公式类似地可以得到其他积分公式.下面我们把下面我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫做基本积分表常叫做基本积分表是常数是常数);例例3.5 求求直接积分法直接积分法直接应用公式、性质或经过简单的代数、直接应用公式、性质或经过简单的代数、三角恒等变形后积分三角恒等变形后积分解解 根据积分公式（根据积分公式（2）例例3.6 求求解解 例例3.7 求求解解例例3.8 求求解解 因为因为所以可把所以可把3e看作看作a，并利用积分公式并利用积分公式，便得，便得例例3.9 求求解解例例3.10 求求解解（2）三角恒等式变形）三角恒等式变形 例例3.11 求求解解加项减项加项减项例例3.12 求求解解加项减项加项减项例例3.13 设曲线经过点设曲线经过点(0,3)且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为，试求曲线曲线方程.解解 设曲线方程为设曲线方程为y=f(x),由题意知 即f(x)是 的一个原函数 故 再将x=0,y=3代入 得C=2 于是所求的曲线方程是：