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三角形全等的复习三角形全等的复习 1.什么样的图形是什么样的图形是全等三角形全等三角形？2.判定两个三角形全等有几种方法判定两个三角形全等有几种方法?方法方法1:三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.方法方法2:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.方法方法3:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.方法方法4:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）强调：强调：要三个条件，其中一个条件必须是边相等要三个条件，其中一个条件必须是边相等千万不要将千万不要将SSA条件作为条件作为SAS条件来用。条件来用。ABCABC口答：1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？答：全等，根据AAS答：全等，根据AAS1。证明两个三角形全等，要结合题目的条件。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法和结论，选择恰当的判定方法2。全等三角形，是证明两条。全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相相等的重要方法之一，证明时等的重要方法之一，证明时要观察待证的线段或角，在哪两个可能全要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。等的三角形中。分析要证两个三角形全等，已有什么条件，分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。还缺什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边，有公共边的，公共边一定是对应边，有公有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角对顶角也是对应角 选择三角形全等的五种方法（选择三角形全等的五种方法（“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯；如果先找到了一组对应边，再找第时要养成先找边的习惯；如果先找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需；若找到一组角则需找另一组角，（可能用找另一组角，（可能用“ASA”或或“AAS”）或夹这个角的另）或夹这个角的另一组对应边用一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑先考虑“HL”，上述思路可归纳为下面的思维图：，上述思路可归纳为下面的思维图：总之，证明过程中能总之，证明过程中能用简单方法的就不要用简单方法的就不要绕弯路。绕弯路。（用）（用）（用）（用）vS（用（用SAS）v用用AAS或或ASA1、如图，要证明、如图，要证明ACE BDF,根据给定的条件根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。（1）ACBD，CE=DF，(SAS)(2)AC=BD，ACBD (ASA)(3)CE=DF，(SSS)(4)C=D，AE=BF(AAS)C BAEFD课课堂堂练练习习AC=BDA=BAC=BDAE=BF A=D或或CEA=BFD2.2.如图如图,1,12,32,34,4,则图中则图中全等三角形的对数是全等三角形的对数是 ()()A.3 B.4 C.5 D.6 A.3 B.4 C.5 D.6A AB BC CD DE EF F1 12 23 34 4D D3.3.如图如图,若若ADADAEAE，BEBECD,1CD,12,2,11110,BAE110,BAE60,60,那么那么CAECAE .B BD DC CE EA A1 12 22020ABDCO4、如图、如图,已知已知ABC=DCB,要使要使ABCDCB，只需添加一个条件是，只需添加一个条件是 。(只需添加一个你认为适合的条件只需添加一个你认为适合的条件)AB=DCA=D1=212隐含条件：隐含条件：BC=CBSASAASASA5已知：已知：BDEF，BCEF，现现要要证证明明ABCDEF，若要以若要以“SAS”为为依据，依据，还还缺条件缺条件_；若要以若要以“ASA”为为依据，依据，还还缺条件缺条件_；若要以若要以“AAS”为为依据，依据，还还缺条件缺条件_，并并说说明理由明理由AB=DEACB=FA=D已知条件已知条件:BDEF，BCEF5.5.在在ABCABC中中,ADBC,ADBC于于D,BEACD,BEAC于于E,ADE,AD与与BEBE相交于相交于F,F,若若BFBFAC,AC,那么那么ABCABC .B BD DC CE EA AF F4545例例1、已知：、已知：ADBCADBC，D D为垂足，为垂足，AD=BDAD=BD，DCDCDEDE，那么，那么，C=BEDC=BED。为什么？。为什么？ABCDE分析：要分析：要C CBEDBED，只需，只需证证ADCBDEADCBDE结合已知考虑结合已知考虑“SAS”证之证之证明：证明：ADBCADBC于于D D，ADCADCBDEBDE9090在在ADCADC和和BDE BDE 中中ADADBDBDADCADCBDEBDEDCDCDEDEADCBDEADCBDEC CBEDBED例例2 2如图如图,ACCB,BDBC,AB=DC,ACCB,BDBC,AB=DC,判断判断ABAB与与CDCD是否平行是否平行?为什么为什么?答答:ABCD.:ABCD.ACCB,BDBC(ACCB,BDBC(已知已知)ACBACB与与DBCDBC是直角三角形是直角三角形AB=DC(AB=DC(已知已知)BC=CB(BC=CB(公共边公共边)ACBDBC(HL)ACBDBC(HL)1=2(1=2(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)ABCD(ABCD(内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行)()12例例3.已知已知:,在四边形在四边形ABCD中中,AB=CD,BC=AD,E、F 是对角线是对角线AC上的两点，且上的两点，且AE=CF。求证：。求证：BE=DF证明：在证明：在ABC和和CDA中中 AB=CD（已知）（已知）BC=AD（已知）（已知）AC=CA（公共边）（公共边）ABCCDA（SSS）BAC=DCA（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）在在ABE和和CDF中，中，AB=CD（已知）（已知）BAE=DCF（已证）（已证）AE=CF（已知）（已知）ABECDF（SAS）BE=DF（全等三角形的对应边相等（全等三角形的对应边相等）BACDEF例例4已知：如图，已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，四点在一直线上，AF=CD，ABDE，且，且AB=DE。求证：（。求证：（1）ABCDEF(2）CBF=FEC。证明证明(1)A、F、C、D四点共线且AF=CD，AF+FC=FC+CD，即AC=DF，ABDE BAD=ADE，在ABC和DEF中，AB=DE BAD=ADE AC=DF ABCDEF（SAS）（2）ABCDEF（已证）（已证）DFE=ACB EF=BC在在CFE和和 FCB中，中，E D C F A B EF=BC DFE=ACB FC=CF CFE FCB（SAS）CBF=FEC例例5、如图，已知、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于相交于点点M，AC、BE相交于点相交于点N，1=2，求证，求证（1）ABE ADC （2）AM=AN A 1 2 D E M NB C1）证明：）证明：1=2（已知）（已知）1+BAC=2+BAC即即 DAC=BAE在在 ABE和和ACD中中 AE=AD BAE=DAC AC=AB ABE ACD（SAS）（2）ABE ACD（已证）（已证）D=E（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）ADMAEN（ASA）AM=AN（全等三角形的对应边（全等三角形的对应边相等）相等）在在ADM和和AEN中，中，1=2（已知）（已知）AD=AE（已知）（已知）D=E（已证）（已证）例例6、如图，、如图，EG，FG分别分别MEF的的NFE的平分线，的平分线，交点是交点是G。PB，PC分别是分别是MBC和和NCB的平分线，的平分线，交点是交点是P，F，C在在AN上，上，B，E在在AM上，如果上，如果G=68，求，求P的度数。的度数。GENMPFCAB操操作作思思考考与与如图，将长方形如图，将长方形ABCDABCD沿直线沿直线BDBD折叠折叠一次一次 (折痕与折叠后得到的图形用折痕与折叠后得到的图形用虚线表示虚线表示),),请将得到的所有全等三请将得到的所有全等三角形角形(包括实线、虚线在内），包括实线、虚线在内），用用符号表示出来符号表示出来.并说明理由并说明理由.B BC CD DA AE EF F在在ABC中中,AD平分平分BAC,CEAD,垂足是垂足是G,EFBC.说明说明:EC平分平分FED.探究探究:探究探究:已知：已知：ABC和和BDE是等边三角形是等边三角形,点点D在在AE的延长线上。的延长线上。求证：求证：BD+DC=AD ABCDE分析：分析：AD=AE+ED 只需证：只需证：BD+DC=AE+ED BD=ED 只需证只需证DC=AE即可。即可。几何图形中某一条件的变化对结论的影响例：已知在ABC中，ABC=Rt，AC=BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l 的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时求证：EF=AE+BF（2）将直线l绕点C旋转，使l与底边AB交于点D，探索EF，AE，BF之间的关系ABC中，AB=AC，CDE中CE=CD，现把两个三角形的点C重合且使 BCA=ECD，连接BE，AD，求证：BE=AD若绕点C旋转，其余条件不变，BE与AD不相等吗？作业：作业：A E OB D C A D EB C、如图：已知、如图：已知ABC中，延长中，延长AC边上的中线边上的中线BE到到G，使，使EG=BE，延长，延长AB边上的中线边上的中线CD到到F，使，使DF=CD,连接连接AF、AG。补全图形；补全图形；AF与与AG的大小关系如何？写出你的判断根的大小关系如何？写出你的判断根据；据；F、A、G三点的位置关系如何？请说出理由。三点的位置关系如何？请说出理由。、如图：在、如图：在ABC中，中，ABC=60，AD、CE分别平分分别平分BAC,ACB，求，求证：证：AC=AE+CD
