离散数学 第2章 关系.ppt

离散数学离散数学西安交通大学西安交通大学电子与信息工程学院电子与信息工程学院计算机系计算机系1离散数学 第二章第二章 关系关系 (relation)1.集合的叉积集合的叉积n元组元组 2.关系关系 3.关系的关系的表示表示关系的性质关系的性质 4.关系的运算关系的运算 5.等价关系等价关系 6.半序关系半序关系2离散数学1.集合的叉积集合的叉积n元组元组 定义定义1.叉积，笛卡尔积 (cross product,Cartesian product(1637)n个集合A1，A2，An的 n 维叉积定义为 =A1 A2 An =(a1,a2,an):ai Ai(1i n)；3离散数学u n 维叉积A1 A2 An的每个元素(a1,a2,an)都称为一个n元组（n-tuple）；即，叉积是元组的集合；u 每个n元组(a1,a2,an)的第i个位置上的元素ai称为该n元组的第i个分量（坐标或投影）；元组各分量的顺序不能改变；un 称为该叉积及其元组的维数；u两个元组相等它们的维数相同且对应的分量相等。即(a1,a2,an)=(b1,b2,bm)n=m (iN)(1i n)(ai=bi)；注：笛卡尔(1596-1650)，法国数学家，1637年发表方法论之一几何学，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。4离散数学定义定义2.二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 AB=(a,b):a A bB；w其元素二元组(a,b)通常称为序偶或偶对(ordered pair)；w二元组(a,b)的第一分量上的元素a称为前者；第二分量上的元素b称为后者；w二重叉积的A B第一集合A称为前集；第二集合B称为后集。5离散数学例例1.A=a,b,c,B=0,1 AB=(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1)BA=(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)例例2.A=张三,李四，B=白狗,黄狗 AB=(张三,白狗),(张三,黄狗),(李四,白狗),(李四,黄狗)BA=(白狗,张三),(白狗,李四),(黄狗,张三),(黄狗,李四)6离散数学一般地说，关于叉积和元组我们有：(1)(a,b)(b,a)；(2)AB B A；(3)二元组不是集合，因为二元组中的分量计较顺序,而集合中的元素是不讲顺序的。(4)我们也可用二元组来递归的定义n元组如下：(a,b,c)=(a,b),c)(a1,a2,an-1,an)=(a1,a2,an-1),an)7离散数学(5)这样，我们也就可用二重叉积来递归的定义n维叉积如下：ABC=(AB)C A1A2 An-1An=(A1A2 An-1)An8离散数学(6)利用(5)所给的定义，我们可以递归的定义集合的叉积幂如下：A2=AA A3=A2 A An=An-1 A(7)我们规定空集与任何集合A的叉积是空集。即 A=A由于若偶对的第一分量或第二分量不存在就没有偶对存在，故规定它们的叉积集合为空集是合理的。9离散数学定理定理1.设A,B,C,D是四个非空的集合。那么AB=CD A=C B=D。证.)：（采用逻辑法）对任何的元素a,b (a,b)AB (a,b)CD (条件：A=C B=D）所以 AB=CD。10离散数学 )：（采用逻辑法）对任何的元素a,b aAbB (a,b)AB (a,b)CD (条件：AB=CD）aCbD 所以A=C B=D。11离散数学定理定理2.设A,B,C是三个非空集合。则 (1)左分配律：A(BC)=(AB)(AC)(2)左分配律：A(BC)=(AB)(AC)(3)右分配律：(AB)C=(AC)(BC)(4)右分配律：(AB)C=(AC)(BC)12离散数学证.只证(1)（采用逻辑法）对任何的元素a,b(a,b)A(BC)aAb BC aA(bBbC)(aAbB)(aAbC)(分配律：p(qr)(pq)(pr)(a,b)AB(a,b)AC (a,b)(AB)(AC)所以 A(BC)=(AB)(AC)。13离散数学 2.关系关系一一.关系的基本概念关系的基本概念定义定义1.二元关系(binary relation)设A,B是两个非空的集合。w二重叉集AB 的任何一个子集R都称为是从集合A到集合B的一种二元关系。即 RAB；w当(a,b)R 时，称a与b有关系R，记为 aRb；w当(a,b)R 时，称a与b没有关系R，记为 或 ；w当A=B时，即RAA，则称R是A上的一个二元关系。14离散数学例例1.设A是西安交通大学全体同学组成的集合。R=(a,b):aAbAa与b是同乡AA 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。例例2.设N是自然数集合。R=(a,b):aNbNa|b NN 则R就是自然数集合上的整除关系。15离散数学例例3.设A是某一大家庭。R1=(a,b):aAbAa是b的父亲或母亲AA R2=(a,b):aAbAa是b的哥哥或姐姐AA R3=(a,b):aAbAa是b的丈夫或妻子AA 于是，R1是父母与儿女之间的关系，即父母子女关系；R2是兄弟姐妹之间的关系，即兄弟姊妹关系；R3是夫妻之间的关系，即夫妻关系。16离散数学例例4.设是整数集合。R=(a,b):aIbI(kI)(a-b=km)II 则R就是整数集合上的(模m)同余关系。例例5.设A是某一大型FORTRAN程序中诸程序块的集合。R=(a,b):aAbAa调用(call)b AA 则R就是程序块集合上的调用关系。例例6.设A=风，马，牛，R=(风,马)，(马,牛)AA 则R是A上的一个二元关系。17离散数学 关于关系概念，我们还有如下的几个定义和说明：1全关系(full relation)：关系R=AB称为全关系；2空关系(empty relation)：关系R=称为空关系；空关系和全关系都是平凡关系；18离散数学 3幺关系或单位关系(identical relation)：关系R=(a,a):aA AA称为A上的幺关系；例例7.设A=1,2,3,4，则 R1=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)是幺关系；R2=(1,1),(2,3),(3,4),(4,4)不是；R3=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2)也不是；19离散数学4关系的交，并，补运算：w 叉积是一种（新型的）集合；关系是叉积的子集；因此，关系也是一种（新型的）集合；w 从而，有关集合论的一切概念、论述、运算也都适合于关系；w 尤其是集合的交，并，补，差运算也都适合于关系；因此，关系也有交，并，补，差运算；20离散数学例例8.设N是自然数集合。R=小于关系=(m,n):mNnNmnNN S=整除关系=(m,n):mNnNm|nN N 则 R =大于等于关系()；RS=小于等于关系()；RS=不相等的整除关系()；RS=小于又不整除关系()；SR=相等关系(=)。21离散数学 5关系的扩充(expansion)：若R1 R2，则称关系R2 是关系R1的一个扩充；6 n元关系：n元关系R是n 维叉积的一个子集；即 R A1A2 AnR1R222定义定义3.前域(domain)后域(codomain)设A,B是两个非空集合，R AB是一关系。则关系R的w 前域：(R)=a:a A(bB)(aRb)A；w 后域：(R)=b:bB(aA)(aRb)B。离散数学A(R)B(R)abR23例例9.设A=1,2,3,4，B=2,4,6,8,10。R=(1,2),(2,4),(3,6)。则(R)=1,2,3A ，(R)=2,4,6B 。离散数学24离散数学 二二.关系的一些关联性质关系的一些关联性质定理定理1.设R1,R2 AB是两个关系。若 R1 R2，则 (1)保序性：(R1)(R2)；(2)保序性：(R1)(R2)；证.只证(1)（采用逻辑法）对任何元素a A，a (R1)aA(bB)(a,b)R1)(前域的定义)aA(bB)(a,b)R2)(条件：R1 R2)aA(bB)(a R2 b)a (R2)所以 (R1)(R2)。25定理定理2.设R1,R2是AB上的两个二元关系。则 (1)(R1 R2)=(R1)(R2)(2)(R1 R2)=(R1)(R2)(3)(R1 R2)(R1)(R2)(4)(R1 R2)(R1)(R2)离散数学26证.只证(1)，(3)(1)先证：(R1)(R2)(R1 R2)(采用包含法)由于R1 R1 R2，R2 R1 R2，依定理1，有 (R1)(R1R2)，(R2)(R1R2)故根据第一章2定理2的(3)，就可得 (R1)(R2)(R1 R2)。离散数学27 离散数学 次证：(R1 R2)(R1)(R2)(采用元素法)对任何元素a A，若a (R1 R2)，则存在 bB，使得 (a,b)R1 R2，从而有(a,b)R1或者(a,b)R2于是 a (R)或者a (R2)故此 a (R1)(R2)所以 (R1 R2)(R1)(R2)。28离散数学(3)先证：(R1 R2)(R1)(R2)(采用包含法)由于 R1R2 R1，R1R2 R2，依定理1，有 (R1 R2)(R1)，(R1 R2)(R2)故 根据第一章2定理2的(3)，就可得(R1 R2)(R1)(R2)。其次，反方向的包含不成立。且看下面的反例。29离散数学例例9.设 R1=(1,1),(2,2)，R2=(1,2),(2,1)。由于R1 R2=，故(R1 R2)=但是，由于(R2)=1,2 ，(R2)=1,2 故 (R1)(R2)=1,2 所以 (R1)(R2)(R1 R2)。30离散数学 3.关系的关系的表示表示关系的性质关系的性质一一.关系表示法关系表示法 1关系的矩阵表示法 设关系RAB，这里A,B是两个非空的有限集合，A=a1,a2,a3,am ，B=b1,b2,b3,bn 。则我们可用一个mn阶0-1矩阵MR来表示关系R，我们称此矩阵MR为关系R的关系矩阵(relation matrix)。31离散数学 MR=(xij)mn，其中 1 当（ai,bj)R时 xij=0 当（ai,bj)R时 (i=1,m；j=1,n)32离散数学例例1.设关系RAB ，A=a1,a2,a3,a4 ，B=b1,b2,b3 R=(a1,b2),(a1,b3),(a2,b3),(a3,b1),(a4,b2)。于是，我们得到R的关系矩阵MR为 MR=；b1b2b31a1a2a3a400101101001033离散数学例例2.设关系SAA ，A=a1,a2,a3，S=(a1,a1),(a2,a2),(a3,a3),(a1,a3),(a3,a1),(a2,a3),(a3,a2)于是，我们得到S的关系矩阵MS为 MS=a1a2a31a1a2a30101134离散数学 2关系的图形表示法 设关系RAB，这里A,B是两个非空的有限集合，A=a1,a2,a3,am,B=b1,b2,b3,bn 。则我们可用一个有向图GR=(VR,ER)来表示关系R，我们称此有向图GR为关系R的关系图 (relation digraph)。35离散数学w VR=AB，ER=R；wVR中的元素称为结点，用小圆点表示；表示A中元素的结点放在左边一块；表示B中元素的结点放在右边一块；wER中的元素称为边，用有向弧表示；若aRb(即(a,b)R)，则在表示a的结点和表示b的结点之间连一条有向弧。有向弧的始端与结点a相连，有向弧的终端与结点b相连；36离散数学w 有时我们会用两个圆圈分别将表示两个集合A和B中元素的结点圈起来。w 所有有向弧的始端结点构成(R)；所有有向弧的终端结点构成(R)。w 若A=B，这时令VR=A，并规定只画表示一个集合元素的结点；表示元素间关系的有向弧也只在此一个集合的结点间画出。37离散数学例例3.设关系 RAB，A=a1,a2,a3,a4，B=b1,b2,b3 R=(a1,b2),(a1,b3),(a2,b3),(a3,b1),(a4,b2)于是，我们得到R的关系图GR为下图。a1a2a3a4b1b2b3RABGR38离散数学例例4.设关系SAA ，A=a1,a2,a3，S=(a1,a1),(a2,a2),(a3,a3),(a1,a3),(a3,a1),(a2,a3),(a3,a2)于是，我们得到S的关系图GS为下图。注：图中各结点所带的小圆圈称为自反圈；一对结点间的来回边称为双向弧；否则，一对结点间只有一条边，则此边称为单向弧。关系的表示法有三种:集合表示法,矩阵表示法,图形表示法。a1a2a3GS39离散数学二二.关系的性质关系的性质 设二元关系RXX(或者说RX2)，这里X是一集合。则R称为是X上的1自反关系(reflexive relation)：当且仅当R满足自反性：(xX)(xRx)；显然，对于自反关系R，(R)=(R)=X。w 反自反关系(irreflexive relation)：当且仅当R满足反自反性：(x X)()或(x X)(xRx)；40离散数学w 常见的自反关系有相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系()等；而不相等关系()，小于关系()，真包含关系()等都不是自反关系，它们都是反自反关系。注:自反性和反自反性是关系的两个极端性质；因此，自反关系和反自反关系是两种极端关系；从关系矩阵来看：自反关系关系矩阵的对角线上元素全是1；反自反关系关系矩阵的对角线上元素全是0；从关系图来看：自反关系关系图的各结点上全都有自反圈；反自反关系关系图的各结点上全都没有自反圈。41离散数学例例5.设 X=a,b,c,d。则关系R1=(a,b),(a,a),(b,b),(c,d),(c,c),(d,d)是X上的自反关系,但不是X上的幺关系,因(a,b),(c,d)R1；而关系 R2=(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)是X上的自反关系,同时也是X上的幺关系；R3=(a,b),(a,c),(a,d),(c,d)是X上的反自反关系。注：由此例可知幺关系一定是自反关系，但自反关系不一定是幺关系。42离散数学2对称关系(symmetric relation)：当且仅当R满足对称性：(xX)(yX)(xRy yRx)；3反对称关系(antisymmetric relation)：当且仅当R满足反对称性：(xX)(yX)(xRy yRx x=y)；43离散数学w 常见的对称关系有相等关系(=)，不相等关系()，同余关系，朋友关系，同学关系，同乡关系等；而小于等于关系()，包含关系()，上下级关系，父子关系等都不是对称关系，它们都是反对称关系。注:对称性和反对称性是关系的两个极端性质；因此，对称关系和反对称关系是两种极端关系；从关系矩阵来看：对称关系的关系矩阵是对称矩阵。即xij=xji(1i,j n)；反对称关系的关系矩阵满足如下性质 xij=1 xji=0 (1i,j n)；从关系图来看：对称关系关系图的结点间若有弧则都是双向弧；反对称关系关系图的结点间若有弧则都是单向弧.44离散数学例例6.设X=a,b,c。则关系 R1=(a,b),(b,a)，R2=(a,a),(b,b)都是X上的对称关系；而关系 R3=(a,b),(b,a),(b,c)不是X上的对称关系；因(b,c)R3,但(c,b)R3.例例7.设X=a,b,c。则关系 R1=(a,a),(a,b),(a,c),(c,b),(c,c)是X上的反对称关系；而关系 R2=(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(c,b)不是X上的反对称关系；因(a,b)R2 且(b,a)R2,但ab。45离散数学4传递关系(transitive relation)：当且仅当R满足传递性：(xX)(yX)(zX)(xRy yRz xRz)；w 反传递关系(antisymmetric relation)：当且仅当R满足反传递性：(xX)(yX)(zX)(xRy yRz )；46离散数学w 常见的传递关系有相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系()，整除关系，同余关系，上下级关系，同乡关系，后裔关系等；而不相等关系()，父子关系，朋友关系，同学关系等都不是传递关系。注：传递性和反传递性是关系的两个极端性质；因此，传递关系和反传递关系是两种极端关系；概念反传递性和反传递关系一般不甚用，所以不加讨论。47离散数学例例8.设X=a,b,c,d。则关系 R1=(a,b),(b,c),(a,c),(c,d),(a,d),(b,d)是X上的传递关系；而关系 R2=(a,b),(b,c),(a,c),(c,d),(a,d)不是X上的传递关系；因(b,c)R2且(c,d)R2，但(b,d)R2。48离散数学例例9.设X是平面上直线的集合。平行关系 R=(x,y):xX yX xy 由平面几何的知识知:若xy且yz，则 xz。由传递关系的定义知R是X上的传递关系。例例10.设X是平面上三角形的集合。相似关系 R=(x,y):xX yX xy 由平面几何的知识知:若xy 且yz，则 xz。由传递关系的定义知R是X上的传递关系。49离散数学w 相等关系是自反的、对称的、反对称的、传递关系。w 全关系X2是自反的、对称的、传递的。w 幺关系I 是自反的、对称的、反对称的、传递的。w 空关系是反自反的、对称的、反对称的、传递的。50离散数学 4.关系的运算关系的运算1关系的逆运算关系的逆运算定义定义1.逆运算(converse operation)设A，B是两个非空的集合。对任何二元关系RAB，使得 =(b,a):bBaAaRb BA为关系的逆运算；称 是R的逆关系(converse of relation)。显然，对任何(b,a)BA，b a aRb；并且 。RRR51离散数学例例1.设A=a,b,c，B=1,2。则关系 R=(a,1),(a,2),(b,2),(c,1)的逆关系 =(1,a),(2,a),(2,b),(1,c)。R52离散数学定理定理1.逆运算基本定理 设两个关系R AB，S AB，这里 A,B是两个非空的集合。则有(1)反身律：=R；(2)保序性：RS ；R=S =；(3)分配律：RS=；(4)分配律：RS=；RRSRSRSRS53离散数学 (5)XY=YX；(6)=；(7)交换律：(R)=()；(8)分配律：RS=；RR S54离散数学证.只证(1)，(4)，(7)（采用逻辑法）(1)对任何(a,b)AB，有 (a,b)(b,a)(a,b)R 所以=R 。RRR55离散数学(4)对任何(a,b)BA，有 (a,b)RS (b,a)RS (b,a)R (b,a)S (a,b)(a,b)(a,b)所以 RS=。RRSSSR56离散数学(7)对任何(a,b)BA，有 (a,b)(R)(b,a)R (b,a)R (a,b)(a,b)()所以 (R)=()。RRR57离散数学2 关系的合成运算关系的合成运算定义定义2.合成运算(composition operation)设A，B，C是三个非空的集合。对任何两个二元关系R AB，S BC，使得 RoS=(a,c):aAcC(bB)(aRbbSc)AC为关系的合成运算；称RoS是R与S的合成关系。显然，对任何(a,c)AC，a RoS c (bB)(aRb bSc)。58离散数学例例2.设A=a1,a2,a3，B=b1,b2，C=c1,c2,c3,c4，关系RAB ，SBC R=(a1,b1),(a2,b2),(a3,b1)S=(b1,c4),(b2,c2),(b2,c3)于是，我们得到R与S的合成关系为R o S=(a1,c4),(a2,c2),(a2,c3),(a3,c4)其合成关系的关系图为59离散数学例例3.3.设A是老年男子的集合，B是中年男子的集合，C是青少年男子的集合。R是由A到B的父子关系，R AB S是由B到C的父子关系，SBC 则复合关系R o S是A到C的祖孙关系。b1b2Ba1a2a3Ac1c2c3c4CRSRoS60离散数学定理定理2.合成运算基本定理 设R,R1,R2 AB，S,S1,S2 BC，T CD，这里 A,B,C,D是四个非空的集合。则(1)R o =o S=；(2)(R o S)(R)；(R o S)(S)；(3)保序性：R1 R2 S1 S2 R1 o S1 R2 o S2；(4)结合律：R o(S o T)=(R o S)o T；61离散数学(5)左分配律：R o(S1S2)=(R o S1)(R o S2)；右分配律：(S1S2)o T=(S1 o T)(S2 o T)；(6)左分配不等式：R o(S1S2)(R o S1)(R o S2)；右分配不等式：(S1 S2)o T(S1 o T)(S2 o T)；(7)(R o S)=o 。SR62离散数学证.书上P30页 63离散数学w 但是合成运算不满足交换律。即，一般 R o SS o R例例4.设A=a,b,c,d,e。则关系 R=(a,b),(c,d),(b,b)，S=(b,e),(c,a),(a,c),(d,b)的合成关系为 R o S=(a,e),(b,e),(c,b)，So R=(a,d),(c,b),(d,b)所以 R o SS o R 。64离散数学3关系矩阵的合成运算关系矩阵的合成运算 设R AB，SBC 是两个二元关系，其合成关系为R o S。这里A=a1,a2,am，B=b1,b2,bl，C=c1,c2,cn。并设它们的关系矩阵分别为 MR=(xij)ml，MS=(yij)ln，MR o S=(uij)mn 则我们有：MR o S=MR o MS 其中：我们令 MR o MS=(tij)mn tij=(xik ykj)(1i m,1 j n)65离散数学注：这里关系矩阵的合成运算与线性代数中的一般矩阵的乘法运算颇为相似。所不同的是：乘法现在换成布尔乘()；加法现在换成布尔加()。值得注意的是：这里的布尔加1 1=1（不进位），而非1 1=0（进位）。例例5.设A=a,b,c,d,e。则关系 R=(a,b),(c,d),(b,b)，S=(b,e),(c,a),(a,c),(d,b)的合成关系 R o S=(a,e),(b,e),(c,b)其关系矩阵分别为 MR=MS=MR o S=66离散数学现在我们计算 MR o MS=其中：t25=(x2k yk5)=(x21y15)(x22y25)(x23y35)(x24y45)(x25y55)=(0 0)(11)(0 0)(0 0)(0 0)=0 1 0 0 0 =1 这说明MR o S=MR o MS。67离散数学4 关系的复合幂与闭包关系的复合幂与闭包定义定义3.关系的复合幂 设A是非空集合。R AA，k为一正整数，规定 (1)R0=IA (2)R1=R (3)Rm+1=Rm o R称为关系R的复合幂。68离散数学定理定理3.设A是非空集合，R AA，m与n为非负整数，则 (1)Rm o Rn=Rm+n (2)(Rm)n =Rmn69离散数学证.(1)固定 m，对 n 用数学归纳法当 n=1 时，Rm o R1=Rm+1 （定义）假设当 n=k 时，Rm o Rk=Rm+k 那么当 n=k+1 时，Rm o Rk+1=Rm o Rk o R1 =Rm+k o R1 =Rm+k+1 =Rm+(k+1)由归纳法知，对任意 m、n 均有 Rm o Rn=Rm+n 70离散数学证.(2)固定 m，对 n 用数学归纳法当 n=1 时，(Rm)1=Rm =Rm*1 假设当 n=k 时，有(Rm)k=Rmk 那么当 n=k+1 时，(Rm)k+1=(Rm)k o Rm =Rmk o Rm =Rmk+m =Rm(k+1)由归纳法知，对任意m、n均有 (Rm)n=Rmn 71离散数学复合幂的注意要点：复合幂的注意要点：(1)R0=IA =I R1 o R0 =R0 o R1 =R1=R(2)R2=R o R 当(a,b)R2 时，有一个媒介元素 t，t A，使得(a,t)R 且(t,b)R，即a,b有间接R关系。当(a,b)R3 时，有两个媒介元素 t1、t2，使得(a,t1)R，(t1,t2)R，(t2,b)R，即a,b有二阶间接R关系。当(a,b)Rn 时，有n-1个媒介元素，a,b有n-1阶间接R关系。72离散数学 (3)复合幂的并 (a,b)R R2 直接、间接关系 (a,b)R R2 R3 直接、间接、二阶间接关系(a,b)R R2 R3 Rn a,b之间有不超过n-1阶间接关系73离散数学 5.等价关系等价关系 1等价关系和等价类等价关系和等价类定义定义1.等价关系(equivalence relation)设二元关系R AA。这里A是非空的集合。R是A上的等价关系R是自反的、对称的、传递的。显然(R)=(R)=A(因为等价关系是自反的)；74离散数学例例1.同乡关系是等价关系。例例2.平面几何中的三角形间的相似关系是等价关系。例例3.平面几何中的三角形间的全等关系是等价关系。例例4.平面几何中的直线间的平行关系是等价关系。75离散数学例例5.设N是自然数集，m是一正整数，R=(a,b):aN bN a b(mod m)由等价关系的定义知R是N上等价关系；我们称R是N上的模m同余关系。例例6.6.非空集合A上的幺关系、全关系都是等价关系。例例7.7.非空集合A上的空关系不是等价关系(因为空关系不自反)。例例8.8.设二元关系R AA,这里 A=a,b,c,R=(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)则R是A上的等价关系。其关系图如下 76离散数学 等价关系的实质是将集合A中的元素进行分类。bca77离散数学定义定义2.2.等价类(块)(equivalence classes (block)设R是非空集合A上的等价关系。对任何元素aA，由a生成的(或者说是由a诱导出的)关于R的等价类定义为b:bAbRa记为aR.(显然有aR A)。同时称a为等价类aR的代表元。78离散数学定义定义3.3.设R是非空集合A上的等价关系。我们定义集合 R=aR:aA (注意：应去掉重复的类！)为集合A关于等价关系R的商集。记为A/R。称A/R中元素的个数为R的秩。79离散数学例例9 9.设N是自然数集，m是一个正整数。R是N上的模m同余关系，即 R=(a,b):a N b N a b(mod m)。对于任何自然数a，b N，aRb a b(mod m)(kI)(a-b=km)；由等价关系的定义知R是N上的等价关系；对于任何自然数a N，以a为代表元的等价类 aR=am=b:bNb a(mod m)；自然数集N关于等价关系R的商集80离散数学N/R=R=0R,1R,2R,3R,m-1R ；或者记作Nm=N/=0m,1m,2m,3m,m-1m；商集N/R共有m个等价类，故R的秩为m；特别地，取m=5，则有 N=0,1,2,3,45；又如3=3,8,13,5k+3,(这里：kN)。81离散数学例例1010.例8中等价关系R的等价类为aR=a,bR=cR=b,c；其商集为 A/R=R=aR,bR=a,b,c；故其秩为2。例例8.8.设二元关系R AA,这里 A=a,b,c,R=(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)则R是A上的等价关系。82离散数学定理定理1.设R是非空集合A上的等价关系。对任意的a,bA，有 (1)aaR (故aR)；(2)aRb(即(a,b)R)aR=bR；(3)(3.1)aR bR aR=bR (aRb，即(a,b)R)；(3.2)(a,b)R aR bR=；(4)两个等价类aR和bR，要么完全重合(即aR=bR)，要么不交(即aR bR=)；二者必居其一，也只居其一。83离散数学证.（采用逻辑法）(1)对任何元素a，有 aA aRa (R是等价关系，故R自反)aaR aR ；84离散数学 (2)先证：aRbaR=bR 为证aR=bR，须证(a)aR bR 对任何元素x A，有 xaR xRa xRaaRb (已知条件：aRb)xRb (R是等价关系，故R传递)xbR所以aR bR 85离散数学(b)bR aR 对任何元素x A，有 xbR xRb xRbaRb (已知条件：aRb)xRbbRa (R是等价关系，故R对称)xRa (R是等价关系，故R传递)xaR 所以bR aR综合(a)和(b)，即得 bR=aR；86离散数学 次证：aR=bR aRb aR (本定理的(1)(x0A)(x0aR)(x0A)(x0aR x0bR)(已知条件：aR=bR)(x0A)(x0Rax0Rb)(x0A)(aRx0 x0Rb)(R是等价关系，故R对称)aRb (R是等价关系，故R传递)87离散数学(3)(3.1)aRbR (x0A)(x0aR bR)(x0A)(x0aR x0bR)(x0A)(x0Rax0Rb)(x0A)(aRx0 x0Rb)(R是等价关系，故R对称)aRb (即(a,b)R)(R是等价关系，故R传递 )aR=bR (本定理的(2)；88离散数学 (3.2)(整体采用反证法)若(a,b)R，则 aR bR=。否则若 aRbR aR=bR (本定理的(3.1)aRb (本定理的(2)(a,b)R 这就与已知条件：(a,b)R 矛盾；89离散数学 (4)对任何序偶(a,b)(a,b)AA (a,b)R(a,b)R (二分法，互斥)(aR=bR)(aR bR=)(本定理的(3.1)和(3.2)，互斥)。90离散数学定义定义4.4.设R和S是非空集合A上的两个等价关系。若RS，则我们称R细于S，或S粗于R 。例例1111.设A是一非空集。则 (1)A上最细的等价关系是幺关系；即 R细=IA，A/R细=a:aA；(2)A上最粗的等价关系是全关系；即，R粗=AA，A/R粗=A 。91离散数学定理定理2.2.设R和S是非空集合A上的两个等价关系。则 RS(aA)(aR aS)。证.（采用逻辑法）先证：RS(aA)(aR aS)对任何元素aA，有 x aR xRa xSa (已知条件：RS)xaS 所以aR aS 所以(aA)(aR aS)；92离散数学 次证：(aA)(aR aS)RS 对任何序偶(a,b)AA(a,b)R aRb bRa (R是等价关系，故R对称)baR baS (已知条件：(aA)(aR aS)bSa aSb (S是等价关系，故S对称)(a,b)S 所以R S 。93离散数学定理定理3.3.设R和S是非空集合A上的两个等价关系。则 R=S(aA)(aR=aS)。证.(采用逻辑法)R=S RSSR (aA)(aR aS)(aA)(aS aR)(定理2)(aA)(aR aSaS aR)(aA)(aR=aS)。94离散数学注：由定理2知，若两个等价关系相等，则每个元素所对应的等价类也相同；若两个等价关系的等价类集合相等，则两个等价关系相同。由定理3知，等价关系与等价类集合一一对应。即相同的等价关系对应着相同的等价类集合，不同的等价关系对应着不同的等价类集合。95离散数学 2划分与等价关系划分与等价关系定义定义5.5.覆盖 划分(covering partition)设A是一非空集合。则A的(1)覆盖是一集合之集=A:A，满足条件：A ；(2)划分是一集合之集=A:A，满足条件：(a)A=；(b)12A1A2=；其中A称为划分的划分块(block of partition)。注：由划分和覆盖的定义可知，A上的划分一定是A上的覆盖；反之则未必。96离散数学定理定理4。设R是非空集合A上的等价关系。则R的等价类之集R=aR:aA 是A上的一个划分；等价类就是划分块。证.定理1的(1)不但直接给出等价类的非空性，而且由它可得等价类满足划分的条件(a)；定理1的(4)直接给出等价类满足划分的条件(b)(详细叙述留给学者)。注：定理4表明:由集合A上的等价关系R所产生的等价类之集构成集合A 上的一个划分。97离散数学定理定理5.设=A:A 是非空集合A上的一个划分。我们借助来定义A上的二元关系 R AA，使得 R=(a,b):()(aA bA)则R是A上的等价关系。我们称为是由划分产生的(或者说是诱导出的)A上的等价关系。98离散数学证.(采用逻辑法)(1)自反性：对任何元素a，有 a A a (划分的条件(a)；A=)()(aA )()(aA aA )(a,a)R aR a 所以R是自反的；99离散数学(2)对称性：对任何元素a,bA，有 aR b (a,b)R ()(aA bA )()(bA aA )(b,a)R bR a 所以R是对称的；100离散数学 (3)传递性：对任何元素a,b,cA，有 aR bbR c (a,b)R(b,c)R (1)(aA1bA 1)(2)(bA2cA2)()(aA bA bA cA )()(aA bA cA )()(aA cA )(a,c)R aR c 所以R是传递的；所以R是等价的。注：定理5表明:由集合A上的划分可产生A上的一个等价关系；划分块就是等价类。101离散数学定理定理6。设R是非空集合上的等价关系，是A上的一个划分。那么 R=R R=。注：R是由划分所产生的A上的一个等价关系；R是由等价关系R所产生A上的一个的划分；102离散数学证.(采用逻辑法)先证：R=R R=对任何元素aA，有 对任何元素xA，有 xaR xRa xRa (已知条件：R=R)xaR 所以aR=aR 所以 (aA)(aR=aR)所以 R=aR:aA=aR:aA=；103离散数学 次证：R=R=R 对任何序偶(a,b)AA(a,b)R aRb bRa (R是等价关系，故R对称)baR baR (已知条件：R=(aA)(aR=aR)bR a aR b (R是等价关系，故R对称)(a,b)R 所以 R=R 。104离散数学注：由定理4,5,6可知：由等价关系可以产生一个划分，由划分可以产生一个等价关系；划分与等价关系是一一对应的。即每个划分对应一个等价关系，且每个等价关系对应一个划分。105离散数学 6.半序关系半序关系定义定义1.1.半序关系(partial order relation)设二元关系R AA。这里A是非空的集合。R是A上的半序关系R是自反的、反对称的、传递的。显然(R)=(R)=A(因为半序关系是自反的)；通常，半序关系R记为，称系统(A,)为半序集(poset)。106离散数学例例1.1.自然数集N、整数集I、有理数集Q、实数集R上的小于等于关系 都分别是这些数集上的半序关系；因为，对任何数a,b,c a a；a b b a a=b；a b b c a c；所以(N,),(I,),(Q,),(R,)都是半序集。107离散数学例例2.集合X的幂集2x上的包含关系是其上的半序关系；因为对任何子集A,B,C A A；A B B A A=B；A B B C A C；故(2x,)是半序集。例例3.3.自然数集N、整数集I、有理数集Q、实数集R上的小于关系 都不是这些数集上的半序关系；因为，不是自反关系，即对任何数a,a a；故 是反自反关系。108离散数学注：一般我们定义：拟序(quasi order)二元关系R AA(A)是A上的拟序关系R是反自反的、传递的。拟序一般记作，称系统(A,)为拟序集；拟序与半序的关系是：对任何元素a,bA ababab；因此，小于关系 是拟序；(N,),(I,),(Q,),(R,)都是拟序集。例例4.集合X的幂集2x上的真包含关系不是其上的半序关系；因为，不是自反关系，即对任何子集A,AA；故是反自反关系注：因此，真包含关系是拟序；(2x,)是拟序集。109离散数学定义定义2.可比较性(comparability)设(A,)是一半序集，a与b是A中的一对元素。我们称a与b是可比较的 abba。注：否则，若abba，则称a与b是不可比较的；半序关系实际上是在集合A上建立了一种比较关系；110离散数学例例5.对于小于等于关系 ，任何二数a,b都是可比较的；即总有a bb a。例例6.对于包含关系，任何二集合A,B不都是可比较的；即不总是有A BB A。111离散数学定义定义3.全序关系 线性序链(total orde