三角函数综合.ppt

操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并度，并已知目高为已知目高为1米然后他很快就算出旗杆的高米然后他很快就算出旗杆的高度了度了1米米10米米?你想知道小明怎样算你想知道小明怎样算出的吗？出的吗？新课导入【知识与技能知识与技能】1了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念；正切的概念；2掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系；两边之比的对应关系；3掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值的三角函数值教学目标【过程与方法过程与方法】1通过经历三角函数概念的形成过程通过经历三角函数概念的形成过程,丰富自己的数学活动经验；丰富自己的数学活动经验；2渗透数形结合的数学思想方法渗透数形结合的数学思想方法【情感态度与价值观情感态度与价值观】1感受数学来源于生活又应用于生活，感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历；体验数学的生活化经历；2培养主动探索，敢于实践，勇于发现，培养主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神合作交流的精神重点：重点：锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念难点：难点：锐角三角函数概念的形成锐角三角函数概念的形成教学重难点 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30，高为，高为7m，扶梯的长度是多少，扶梯的长度是多少?BAC307m实际问题实际问题解解:这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C=90，A=30，BC=7m，求，求AB在直角三角形中，在直角三角形中，由于由于A=30,所以所以可得可得AB=2BC=7214m所以，扶梯的长度是所以，扶梯的长度是14m 在上面的问题中，如果高为在上面的问题中，如果高为10m，那么需要准备多长的水管？那么需要准备多长的水管？解解:这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C=90，A=30，BC=10m，求，求AB在直角三角形中，在直角三角形中，由于由于A=30,所以所以想一想想一想可得可得AB=2BC=10220m所以所以,扶梯的长度是扶梯的长度是20m已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABC，C=90，计，计算算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比，你能得出什么结，你能得出什么结论？论？ABC解：因为解：因为ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，C=90，所以，所以A=45由勾股定理得由勾股定理得ABC即直角三角形中，当一个角等于即直角三角形中，当一个角等于45时，这个角的对边与斜边的比时，这个角的对边与斜边的比都等于都等于因此因此在在RtABC中中,C90当当A30时时,当当A45时时,固定值固定值固定值固定值归纳归纳对于锐角对于锐角A的每一个确定的值，其对的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是惟一确定的边与斜边的比值也是惟一确定的吗？吗？想一想想一想所以所以_RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3所以，在所以，在RtABC中，在直角三角形中，当锐中，在直角三角形中，当锐角角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的的对边与斜边的比是一个固定值对边与斜边的比是一个固定值观察右图中的观察右图中的RtAB1C1、RtAB2C2和和RtAB3C3，A的对边与的对边与斜边有什么关系？斜边有什么关系？直角三角形直角三角形ABC可以简记为可以简记为RtABC，直，直角角C所对的边所对的边AB称为斜边，用称为斜边，用c表示，另两条表示，另两条直角边分别叫直角边分别叫A的对边与邻边的对边与邻边，用，用a、b表示表示CAB斜边斜边c邻边邻边对边对边abCABCAB在在RtABC中，中，C=90，我们把锐，我们把锐角角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的的正弦正弦（sine），记作），记作sinA，即，即一个角的正弦一个角的正弦表示表示定值定值、比比值值、正值正值知识要点知识要点正弦正弦【例例1】如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，求，求sinA和和sinB的值的值ABCABC68(1)(2)ABC68(1)解解:设如图所示设如图所示,在在RtABC中中,因此因此ABC(2)解解:设如图所示设如图所示,在在RtABC中中,因此因此如图，求如图，求sinA和和sinB的值的值ABCABC10(1)(2)26940小练习小练习对于锐角对于锐角A的每一个确定的值，其邻的每一个确定的值，其邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？定的吗？想一想想一想RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3所以所以_观察右图中的观察右图中的RtAB1C1、RtAB2C2和和RtAB3C3，A的邻边与斜的邻边与斜边、边、A的对边与邻边之间的对边与邻边之间有什么关系？有什么关系？_在在RtABC中，在直角三角形中，当锐角中，在直角三角形中，当锐角A的的度数一定时，不管三角形的大小如何，度数一定时，不管三角形的大小如何，A的的A的邻边与斜边的比、的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比都是一的对边与邻边的比都是一个固定值个固定值在在RtABC中，在直角三角形中，当锐角中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边边与斜边的比、的对边边与斜边的比、A的邻边与斜边的比、的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的的对边与邻边的比都是一个固定值比都是一个固定值归纳归纳在在RtABC中，中，C=90，我们把锐，我们把锐角角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的的余弦余弦（cosine），记作），记作cosA，即，即一个角的余弦一个角的余弦表示表示定值定值、比比值值、正值正值知识要点知识要点余弦余弦在在RtABC中，中，C=90，我们把锐，我们把锐角角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的的正切正切（tangent），记作），记作tanA，即，即一个角的余切一个角的余切表示表示定值、比定值、比值、正值值、正值知识要点知识要点正切正切在在RtABC中，中，C=90，我们把锐，我们把锐角角A的邻边与对边的比叫做的邻边与对边的比叫做A的余切，的余切，记作记作cotA，即，即一个角的余切一个角的余切表示表示定值、比定值、比值、正值值、正值知识要点知识要点余切余切tan30=?ABC锐角锐角A的正切值可以等的正切值可以等于于1吗？为什么？吗？为什么？可以大于可以大于1吗？吗？tan45=tan60=?锐角三角函数锐角三角函数锐角锐角A的正弦、余弦、正切、余切都的正弦、余弦、正切、余切都叫做叫做A的的锐角三角函数锐角三角函数（trigonometricfunctionofacuteangle）知识要点知识要点1sinA、cosA、tanA、cotA是在是在直角三角直角三角形形中定义的，中定义的，A是是锐角锐角(注意注意数形结合数形结合，构造直，构造直角三角形角三角形)2sinA、cosA、tanA、cotA是一个是一个比值比值（数值数值）3sinA、cosA、tanA、cotA的大小只与的大小只与A的大小的大小有关，而与有关，而与直角三角形的边长直角三角形的边长无关无关归纳归纳【例例2】如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，BC=24，sinA=，求，求cosA、tanB的值的值ABC24解解：又又ABC24 分别求出下列直角三角形中的锐角的正分别求出下列直角三角形中的锐角的正弦值、余弦值和正切值、余切值弦值、余弦值和正切值、余切值ABC（1）ABC5（2）257小练习小练习如图如图,在在RtABC中中,锐角锐角A的邻边和斜边同时扩大的邻边和斜边同时扩大100倍，倍，tanA的值（的值（）A扩大扩大100倍倍B缩小缩小100倍倍C不变不变D不能确定不能确定ABCC抢答抢答如图如图,观察一副三角板观察一副三角板:它们其中有几个锐它们其中有几个锐角角?分别是多少度分别是多少度?分别求出这几个锐角的三角分别求出这几个锐角的三角函数函数ABC3012sin30=cos30=tan30=cot30=ABC4511sin45=cos45=tan45=cot45=11ACB6012sin60=cos60=tan60=cot60=30 45 60 sincostancot特殊角的三角函数值表特殊角的三角函数值表自变量自变量的取值范围是的取值范围是：各因变量的取值范围是：各因变量的取值范围是：090正弦正弦0sin1余弦余弦0cos1正切正切tan0余切余切cot0 根据上面表格，思考以下问题：根据上面表格，思考以下问题：各个函数值随着自变量各个函数值随着自变量的增大而怎样的增大而怎样变化？变化？tan与与cot有怎样的关系？有怎样的关系？sin、tan随随着着自自变变量量的的增增大大而而增增大大cos、cot随着自随着自变变量量的增大而减小的增大而减小tancot=1 当当两两角角互互余余时时，这这两两角角的的正正弦弦和和余余弦弦有有怎样的关系？正切和余切呢？怎样的关系？正切和余切呢？sin=cos（90）cos=sin（90）tan=cot（90）cot=tan（90）sin2+cos2=1【例例3】求下列各式的值：求下列各式的值：解：解：(1)sin60+cos45;(2)sin230+cos245+tan60解解:(1)sin30+cos45(2)sin260+cos260-cot45小练习小练习如果知道一个角的三角函数的数值，如果知道一个角的三角函数的数值，你能求出这个角是多少度吗？你能求出这个角是多少度吗？(1)已知已知 ，则则A_;(2)已知已知，则，则B_;(3)已知已知，则，则C_;(4)已知已知，则，则D_;30606030探究探究由锐角的三角函数值反求锐角A=A=A=A=A=A=A=A=A=归纳归纳【例例4】如图如图:一个小孩荡秋千，秋千链子的一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为为60，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精结果精确到确到0.01m)最高位置与最低位置的高度差约为最高位置与最低位置的高度差约为0.34mAODOD=2.5m,解解:如图如图,根据题意可知根据题意可知,AC=2.5-2.1650.34(m)如图，在如图，在RtABC中中,C=90,A，B，C的对边分别是的对边分别是a，b，c求证求证:sin2A+cos2A=1证明：证明：小练习小练习bABCac如图如图,当登山缆车的吊箱经过当登山缆车的吊箱经过点点A到达点到达点B时，它走过了时，它走过了200m已知缆车行驶的路线与水平面已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为的夹角为=17，那么缆车垂直，那么缆车垂直上升的距离是多少上升的距离是多少?解：在解：在RtABC中中,C=90,BC=ABsin17 你知道你知道sin17等等于多少吗于多少吗?用科学计算器求锐角的三角函数值：用科学计算器求锐角的三角函数值：sincostan 用计算器求用计算器求sin18，cos53，tan72,cot65和和sin723825的三角函数的三角函数按键的顺序按键的顺序显示结果显示结果sin18cos53tan72cot62sin723825sin180.309016994cos530.601815023tan723.732050808sin7238250.954450312=cot62=0.531709432用计算器求三角函数值时用计算器求三角函数值时,结果一般有结果一般有10个数位本书约定个数位本书约定,如无特别声明如无特别声明,计算结果一般精计算结果一般精确到万分位确到万分位所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距离：离：BC=ABsin172000.292458.48（m）如图，为了方便行人，市政府在如图，为了方便行人，市政府在10m高的高的天桥两端修建了天桥两端修建了40m长的斜道这条斜道的倾长的斜道这条斜道的倾斜角是多少斜角是多少?如图，在如图，在RtABC中中,A是多少度是多少度?ABC40m10m如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在接受放射性治疗时在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效为了最大限度地保证疗效,并且防并且防止伤害器官止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤已知肿瘤在皮射线必需从侧面照射肿瘤已知肿瘤在皮下下6.3cm的的A处处,射线从肿瘤右侧射线从肿瘤右侧9.8cm的的B处进入身体，处进入身体，求射线的入射角度求射线的入射角度解解:如图，在如图，在RtABC中，中，AC=6.3cm，BC=9.8cmB324413因此，射线的入射角度约为因此，射线的入射角度约为324413小练习小练习 已知三角函数值求角度已知三角函数值求角度,要用到三个键要用到三个键,和第二功能键和第二功能键 和和 sincostan按键的顺序按键的顺序显示结果显示结果sinA=0.9816cosA=0.8607tanA=0.1890tanA=56.78shiftsin-10 sin-1=0.9816=78.99184039shiftcos-10 cos-1=0.8607=30.60473007shifttan-10 tan-1=0.1890=10.70265749shifttan-156 78tan-1=56.78=88.99102049981=sin-1cos-1tan-1shift8 1 6=60 7=89 0=上表的显示结果是以度为单位的,再按 键即可显示以“度,分,秒”为单位的结果dms根据下列条件计算器求根据下列条件计算器求的大小的大小:(1)tan=2.9888;(2)sin=0.3957;(3)cos=0.7850;(4)tan=0.8972小练习小练习71.523.338.341.91锐角锐角A的的正弦、余弦、正切、余切函数正弦、余弦、正切、余切函数，统称为统称为锐角锐角A的三角函数的三角函数230、45、60角的三角函数值角的三角函数值3锐角锐角的三角函数值的取值范围的三角函数值的取值范围4三角函数的增减性：三角函数的增减性：正弦正弦0sin1正切正切tan0余弦余弦0cos1余切余切cot0sin、tan随着自随着自变变量量的增大而增大的增大而增大cos、cot随着自随着自变变量量的增大而减小的增大而减小课堂小结tancot（90-）=1sin2+cos2（90-）=1sin=cos（90-）cos=sin（90-）tan=cot（90-）cot=tan（90-）5 5三角函数的几个重要关系式三角函数的几个重要关系式三角函数的几个重要关系式三角函数的几个重要关系式1 1当当A A为锐角，且为锐角，且tanA的值大于的值大于 时，时，A（）A小于小于30B大于大于30C小于小于60D大于大于60D随堂练习2当当A为锐角，且为锐角，且cotA的值小于的值小于时，时，A（）A小于小于30B大于大于30C小于小于60D大于大于60D3.当当A为锐角，且为锐角，且cosA=那么（那么（）A0A30B30A45C45A60D60A90D4当锐角当锐角A45时，时，sinA的值（的值（）A小于小于B大于大于C小于小于D大于大于BA小于小于B大于大于C小于小于D大于大于5当锐角当锐角A30时，时，cotA的值（的值（）C6计算：计算：(1)2sin30+3cos30+cot45(2)cos230+tan60sin3003cosA=7已知已知3tanA=0,求锐角求锐角A的度数的度数解：解：3tanA=0cosA=A=608求出如图所示的求出如图所示的RtABC中中A的四个的四个三角函数值三角函数值解解：sinA=cosA=tanA=cotA=17158CBA9如如图图，在在直直角角坐坐标标平平面面中中，P是是第第一一象象限限的的点点，其其坐坐标标是是（3，y），且且OP与与x轴轴的的正正半半轴轴的的夹夹角角a的正切的正切值值是是，求：，求：（1）y的的值值；（；（2）a的正弦的正弦值值（1）y=4（2）sina=OxyP(3，y)1.（1）sinA=，cosA=，tanA=，sinB=，cosA=，tanB=，2.确定确定.因为一个锐角确定的直角三角形都相似因为一个锐角确定的直角三角形都相似.习题答案