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2023年二次函数几种解析式的求法二次函数解析式求法 二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，敏捷性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的 2 2 2 22 2 2 1顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=2 1123 x x 222. y=x(x-3),即 y= 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4. 2 2 2 1 再将点(1,2)代入求得a=-2 1 (x +1) 2+4, y=-2 127 x -x + 2. 即y=-2 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数y =x -2x +1, 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 2 +bx +c =(x -3) -3 y=x 2 2 2 2 =x-6x +6. b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 2 2 a 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6. 六、识图型 2 1212x +(b +2) x +c x +(b -2) x +d 例 6 如图1， 抛物线y=2与y=2其中一条的顶点为P ， 另一条与X 轴交于M 、N 两点。 （1）试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点？ （2）求两条抛物线的解析式。 12 x +(b +2) x +c 解 （1）抛物线y=2与x 轴交于M ，N 两 点（过程从略）； 12 x +(b -2) x +d 2（2）因y=的顶点坐标为（0，1）， b-2=0,d=1, b=2. 12 x +12Y=. 12 x 将点N 的坐标与b=2分别代入y=2+(b+2)x+c得c=6. 12x 2y=+4x+6 七、面积型 2 例 7 已知抛物线y=x+bx +c 的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与 y 轴交于Q （0，-3）， 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为P ，PAB 的面积为8。求其解析式。 2 解 将（0，-3）代入y=x +bx +c 得 c=-3. 2 AB =b +12 由弦长公式，得 -12-b 2 4点P 的纵坐标为 由面积公式，得 12-12-b 2 b +12=8. 24 解得b =±2. 因对称轴在y 轴的右侧, b=-2. 2 所以解析式为y=x -2x -3 八、几何型 例 8 已知二次函数y=x -mx+2m-4假如抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。 2m -4(2m -4) =m -4 解 由弦比公式，得AB= 2 (m -4) 2 4顶点C 的纵坐标为- ABC 为等边三角形 (m -4) 21 -=m -4 42 解得m=4±23, 故所求解析式为 2 x -(4+2) x +4+43, y= 或y=x -(4-2) x +4-43 九、三角型 2 12 2 例 9已知抛物线y=x +bx +c 的图象经过三点（0，25）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且 A 、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。 解 A+B=90，sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得 sin A +cos A =-b sin A cos A =c 1212 . 2525将（0，）代入解析式，得c= （1）-(2) 2, 得 2 b 2- 247=1, b =±255 7-b 0, b=-5 x 2- 712x +525 所以解析式为y= 十、综合型 例 10 如图2，已知抛物线y=-x +px +q 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于C 点， 若ACB=90，且tg CAO-tg CBO=2，求其解析式 解 设A ，B 两点的横坐标分别为x 1, x 2, 则q=(-x1) x 2=OA OB . 由AOC COB ，可得OC =OA·OB ， q =q解得q 1=1,q2=0（舍去）， 2 2 2 OC OC -=2OA OB 又由tg CAO-tg CBO=2得 - 即 11-=2X 1X 2 2 x 1+x2=-2x1x 即 p=2p=2 2 所以解析式为y=-x+2x+1 ：
