刚体力学 (18).ppt

7.17.1刚体运动的描述刚体运动的描述 一、刚体的平动（最简单）一、刚体的平动（最简单）一、刚体的平动（最简单）一、刚体的平动（最简单）1.1.定义定义定义定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。2 2、特点特点特点特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。因此，常用速度和加速度却相同。因此，常用速度和加速度却相同。因此，常用速度和加速度却相同。因此，常用“刚体的质心刚体的质心刚体的质心刚体的质心”来研究刚体的平动：来研究刚体的平动：来研究刚体的平动：来研究刚体的平动：3 3、平动的自由度平动的自由度平动的自由度平动的自由度：3 3个个个个刚体刚体刚体刚体：在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述物体运动自由程度的物理量物体运动自由程度的物理量物体运动自由程度的物理量物体运动自由程度的物理量。独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数。质元：质元：质元：质元：把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。1二、刚体的定轴转动（较简单）二、刚体的定轴转动（较简单）二、刚体的定轴转动（较简单）二、刚体的定轴转动（较简单）1 1、定义、定义、定义、定义若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作转轴转轴转轴转轴。2 2、特点、特点、特点、特点刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。轴上。轴上。轴上。和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。23 3、定轴转动刚体的自由度：、定轴转动刚体的自由度：、定轴转动刚体的自由度：、定轴转动刚体的自由度：1 1个（刚体的角坐标个（刚体的角坐标个（刚体的角坐标个（刚体的角坐标）如图示：建立如图示：建立如图示：建立如图示：建立O O-xyzxyz系，系，系，系，z z轴与转轴重合，轴与转轴重合，轴与转轴重合，轴与转轴重合，O O点任点任点任点任意选取，截取刚体一个剖面意选取，截取刚体一个剖面意选取，截取刚体一个剖面意选取，截取刚体一个剖面o o-xyxy平面，此位置只要确平面，此位置只要确平面，此位置只要确平面，此位置只要确定，刚体的位置就确定了，除定，刚体的位置就确定了，除定，刚体的位置就确定了，除定，刚体的位置就确定了，除O O点外，再选一个点外，再选一个点外，再选一个点外，再选一个A A点，此图形的位置可由矢量来确定，而点，此图形的位置可由矢量来确定，而点，此图形的位置可由矢量来确定，而点，此图形的位置可由矢量来确定，而 矢量的大小矢量的大小矢量的大小矢量的大小是是是是不不不不变变变变的的的的，方方方方向向向向只只只只需需需需由由由由 矢矢矢矢量量量量与与与与x x轴轴轴轴的的的的夹夹夹夹角角角角 来来来来确确确确定定定定，此此此此 角角角角称称称称为为为为：绕绕绕绕定定定定轴轴轴轴转转转转动刚体的动刚体的动刚体的动刚体的角坐标角坐标角坐标角坐标。角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z z 轴成右手螺旋时，轴成右手螺旋时，轴成右手螺旋时，轴成右手螺旋时，角为正，否则角为正，否则角为正，否则角为正，否则 角为负。角为负。角为负。角为负。34 4、定轴转动刚体运动的描述、定轴转动刚体运动的描述、定轴转动刚体运动的描述、定轴转动刚体运动的描述 运动学方程：运动学方程：运动学方程：运动学方程：，即：角坐标随时间的变化规律。即：角坐标随时间的变化规律。即：角坐标随时间的变化规律。即：角坐标随时间的变化规律。描述刚体整体运动的物理量描述刚体整体运动的物理量描述刚体整体运动的物理量描述刚体整体运动的物理量角量角量角量角量，包括：，包括：，包括：，包括：角位移角位移角位移角位移，角速度角速度角速度角速度，角加速角加速角加速角加速度度度度。角位移角位移角位移角位移：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量。任意质元的角位移是相同的任意质元的角位移是相同的任意质元的角位移是相同的任意质元的角位移是相同的是一整体运动的量。是一整体运动的量。是一整体运动的量。是一整体运动的量。面对面对面对面对z z 轴观察：逆时针转动，轴观察：逆时针转动，轴观察：逆时针转动，轴观察：逆时针转动，；反之，；反之，；反之，；反之，。角速度角速度角速度角速度：在这一过程中，：在这一过程中，：在这一过程中，：在这一过程中，即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。面对面对面对面对z z轴观察逆时针转动时：轴观察逆时针转动时：轴观察逆时针转动时：轴观察逆时针转动时：；反之，；反之，；反之，；反之，。4角加速度角加速度角加速度角加速度：即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。加速转动，加速转动，加速转动，加速转动，与与与与 同号；，反之，同号；，反之，同号；，反之，同号；，反之，。5线量线量线量线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：线位移线位移线位移线位移，线速度线速度线速度线速度，线加速度线加速度线加速度线加速度。如图示：如图示：如图示：如图示：A A质元的线速度不同于质元的线速度不同于质元的线速度不同于质元的线速度不同于B B质元的线速度，质元的线速度，质元的线速度，质元的线速度，以刚体上质元以刚体上质元以刚体上质元以刚体上质元A A为例：为例：为例：为例：线位移：线位移：线位移：线位移：线速度：线速度：线速度：线速度：线加速度：线加速度：线加速度：线加速度：即：即：即：即：6由定轴转动刚体角量和线量关系可知：由定轴转动刚体角量和线量关系可知：由定轴转动刚体角量和线量关系可知：由定轴转动刚体角量和线量关系可知：角量：角量：角量：角量：描描描描述述述述刚刚刚刚体体体体整整整整体体体体运运运运动动动动的的的的物物物物理理理理量量量量；角角角角量量量量充分描述了刚体的定轴转动状态充分描述了刚体的定轴转动状态充分描述了刚体的定轴转动状态充分描述了刚体的定轴转动状态线量：线量：线量：线量：描描描描述述述述刚刚刚刚体体体体任任任任一一一一质质质质元元元元运运运运动动动动的的的的物物物物理理理理量量量量，由角量可得线量由角量可得线量由角量可得线量由角量可得线量物理量物理量物理量物理量单位单位单位单位量纲量纲量纲量纲物理量物理量物理量物理量单位单位单位单位量纲量纲量纲量纲角位移角位移角位移角位移 radrad1 1线位移线位移线位移线位移 mmMM角速度角速度角速度角速度rad/srad/sT T-1-1线速度线速度线速度线速度m/sm/sMTMT-1-1角加速度角加速度角加速度角加速度rad/srad/sT T-2-2线加速度线加速度线加速度线加速度m/sm/s-2-2MTMT-2-27三、角速度矢量三、角速度矢量三、角速度矢量三、角速度矢量 1 1、角速度矢量定义、角速度矢量定义、角速度矢量定义、角速度矢量定义方向规定右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指方向规定右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指方向规定右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指方向规定右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指的指向就是的指向就是的指向就是的指向就是 的方向，沿转轴，如图示：的方向，沿转轴，如图示：的方向，沿转轴，如图示：的方向，沿转轴，如图示：必须满足平行四边形法则：必须满足平行四边形法则：必须满足平行四边形法则：必须满足平行四边形法则：因此：刚体上任意质元的线速度因此：刚体上任意质元的线速度因此：刚体上任意质元的线速度因此：刚体上任意质元的线速度 表示质元相对于转动任意点的位矢，组表示质元相对于转动任意点的位矢，组表示质元相对于转动任意点的位矢，组表示质元相对于转动任意点的位矢，组成右手螺旋。成右手螺旋。成右手螺旋。成右手螺旋。82 2、角加速度矢量定义、角加速度矢量定义、角加速度矢量定义、角加速度矢量定义分量形式：分量形式：分量形式：分量形式：如果取如果取如果取如果取z z 轴与转轴重合，则轴与转轴重合，则轴与转轴重合，则轴与转轴重合，则 说明：以后带脚标的量为投影量。说明：以后带脚标的量为投影量。说明：以后带脚标的量为投影量。说明：以后带脚标的量为投影量。如：如：如：如：93 3、线加速度、线加速度、线加速度、线加速度 4 4、角位移、角位移、角位移、角位移 不是矢量，无限小角位移是矢量。不是矢量，无限小角位移是矢量。不是矢量，无限小角位移是矢量。不是矢量，无限小角位移是矢量。10四、刚体平面运动（刚体的平面平行运动）四、刚体平面运动（刚体的平面平行运动）四、刚体平面运动（刚体的平面平行运动）四、刚体平面运动（刚体的平面平行运动）刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。1 1、定义：、定义：、定义：、定义：2 2、平面运动的特点、平面运动的特点、平面运动的特点、平面运动的特点 刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。3 3、自由度：、自由度：、自由度：、自由度：3 3个。个。个。个。因因因因为为为为：由由由由平平平平面面面面运运运运动动动动的的的的特特特特点点点点，可可可可用用用用与与与与固固固固定定定定平平平平面面面面平平平平行行行行的的的的刚刚刚刚体体体体的的的的任任任任一一一一剖剖剖剖面面面面（截截截截面面面面）来来来来研研研研究究究究，此此此此截截截截面面面面位位位位置置置置一一一一经经经经确确确确定定定定，刚刚刚刚体体体体的的的的位位位位置置置置便便便便确确确确定定定定了了了了。通通通通常常常常选选选选择择择择此此此此平平平平面面面面内内内内刚刚刚刚体体体体上上上上某某某某点点点点的的的的位位位位置置置置坐坐坐坐标标标标和和和和绕绕绕绕过过过过该该该该点点点点轴轴轴轴旋旋旋旋转转转转的的的的角角角角度度度度 来来来来描述刚体的位置。描述刚体的位置。描述刚体的位置。描述刚体的位置。114 4、平面运动的描述、平面运动的描述、平面运动的描述、平面运动的描述运动学方程：运动学方程：运动学方程：运动学方程：或或或或B B点是任意选取的，称作点是任意选取的，称作点是任意选取的，称作点是任意选取的，称作基点基点基点基点。即：即：即：即：反映任意选定基点的运动，反映任意选定基点的运动，反映任意选定基点的运动，反映任意选定基点的运动，反映刚体绕过基点轴的转动。反映刚体绕过基点轴的转动。反映刚体绕过基点轴的转动。反映刚体绕过基点轴的转动。因此：因此：因此：因此：平面运动平面运动平面运动平面运动可分解为随基点的可分解为随基点的可分解为随基点的可分解为随基点的平动平动平动平动和绕过基点轴的和绕过基点轴的和绕过基点轴的和绕过基点轴的转动转动转动转动。注意注意注意注意：平动位移和基点的选取有关，而转动位移与基点选取无关。：平动位移和基点的选取有关，而转动位移与基点选取无关。：平动位移和基点的选取有关，而转动位移与基点选取无关。：平动位移和基点的选取有关，而转动位移与基点选取无关。12平面运动刚体上任一点的速度平面运动刚体上任一点的速度平面运动刚体上任一点的速度平面运动刚体上任一点的速度 如图：以如图：以如图：以如图：以B B点为基点，建立如图示的坐标系，则：点为基点，建立如图示的坐标系，则：点为基点，建立如图示的坐标系，则：点为基点，建立如图示的坐标系，则：因此，因此，因此，因此，（为为为为刚体绕过基点轴的角速度刚体绕过基点轴的角速度刚体绕过基点轴的角速度刚体绕过基点轴的角速度）而而而而A A点相对于基点点相对于基点点相对于基点点相对于基点B B的速度矢量：的速度矢量：的速度矢量：的速度矢量：即：平面运动刚体上任一点的速度公式，任一点的速度等于随基点即：平面运动刚体上任一点的速度公式，任一点的速度等于随基点即：平面运动刚体上任一点的速度公式，任一点的速度等于随基点即：平面运动刚体上任一点的速度公式，任一点的速度等于随基点B B的平动速度的平动速度的平动速度的平动速度 与绕过基点与绕过基点与绕过基点与绕过基点B B轴转动的速度的矢量和。轴转动的速度的矢量和。轴转动的速度的矢量和。轴转动的速度的矢量和。注：注：注：注：平动速度与基点的选取有关，转动的角速度与基点的选取无关。平动速度与基点的选取有关，转动的角速度与基点的选取无关。平动速度与基点的选取有关，转动的角速度与基点的选取无关。平动速度与基点的选取有关，转动的角速度与基点的选取无关。13圆圆圆圆柱柱柱柱体体体体作作作作无无无无滑滑滑滑滚滚滚滚动动动动的的的的条条条条件件件件：滚滚滚滚动动动动圆圆圆圆柱柱柱柱体体体体边边边边缘缘缘缘上上上上各各各各点点点点与与与与支支支支承承承承面面面面接接接接触触触触的的的的瞬瞬瞬瞬时时时时，与与与与支支支支承承承承面面面面无无无无相相相相对对对对滑滑滑滑动动动动，称称称称圆圆圆圆柱体作无滑滚动。如右图：以中心柱体作无滑滚动。如右图：以中心柱体作无滑滚动。如右图：以中心柱体作无滑滚动。如右图：以中心C C点为基点，则：点为基点，则：点为基点，则：点为基点，则：例：例：例：例：此即为此即为此即为此即为纯滚动的条件纯滚动的条件纯滚动的条件纯滚动的条件。D D点常称为点常称为点常称为点常称为瞬心瞬心瞬心瞬心（瞬时转动中心）。（瞬时转动中心）。（瞬时转动中心）。（瞬时转动中心）。14注：注：注：注：与基点选取无关；与基点选取无关；与基点选取无关；与基点选取无关；不不不不要要要要和和和和定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动混混混混淆淆淆淆，D D点点点点只只只只是是是是瞬瞬瞬瞬时时时时中中中中心心心心，虽虽虽虽然然然然该该该该时时时时刻刻刻刻的的的的速速速速度度度度为为为为零零零零，但加速度不为零，不是不动的轴线；但加速度不为零，不是不动的轴线；但加速度不为零，不是不动的轴线；但加速度不为零，不是不动的轴线；瞬心不一定在刚体上，可以在刚体之外的某一点。瞬心不一定在刚体上，可以在刚体之外的某一点。瞬心不一定在刚体上，可以在刚体之外的某一点。瞬心不一定在刚体上，可以在刚体之外的某一点。寻找瞬心的方法：寻找瞬心的方法：寻找瞬心的方法：寻找瞬心的方法：过过过过P P点与垂直的线与过点与垂直的线与过点与垂直的线与过点与垂直的线与过QQ点与点与点与点与 垂直的线的交点就是瞬心垂直的线的交点就是瞬心垂直的线的交点就是瞬心垂直的线的交点就是瞬心C C点。点。点。点。(若与若与若与若与 平行，不一定有平行，不一定有平行，不一定有平行，不一定有瞬心，如平动）瞬心，如平动）瞬心，如平动）瞬心，如平动）157.27.2刚体的动量和质心运动定理刚体的动量和质心运动定理 一、刚体的质心一、刚体的质心一、刚体的质心一、刚体的质心刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样，刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样，刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样，刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样，刚体的质心在刚体上是一固定点，刚体的质心在刚体上是一固定点，刚体的质心在刚体上是一固定点，刚体的质心在刚体上是一固定点，作为质量连续分布的不变质点系，质心作为质量连续分布的不变质点系，质心作为质量连续分布的不变质点系，质心作为质量连续分布的不变质点系，质心的计算公式为：的计算公式为：的计算公式为：的计算公式为：分量形式为：分量形式为：分量形式为：分量形式为：16例例例例1 1：求半径为：求半径为：求半径为：求半径为a a的均质半圆球的质心。的均质半圆球的质心。的均质半圆球的质心。的均质半圆球的质心。解：常用的方法是对称法，质点在对称面，解：常用的方法是对称法，质点在对称面，解：常用的方法是对称法，质点在对称面，解：常用的方法是对称法，质点在对称面，对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系o-xyzo-xyz，则则则则C C在在在在z z轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为dzdz，由于，由于，由于，由于，则：，则：，则：，则：总结：质心的求法总结：质心的求法总结：质心的求法总结：质心的求法1 1、对称法对称法对称法对称法；2 2、分割法分割法分割法分割法；3 3、负质量法负质量法负质量法负质量法(如图所示如图所示如图所示如图所示)17二、刚体的动量与质心运动定理二、刚体的动量与质心运动定理二、刚体的动量与质心运动定理二、刚体的动量与质心运动定理 刚体的动量：刚体的动量：刚体的动量：刚体的动量：质心运动定理：质心运动定理：质心运动定理：质心运动定理：注意：为外力的矢量和而不是合外力。注意：为外力的矢量和而不是合外力。注意：为外力的矢量和而不是合外力。注意：为外力的矢量和而不是合外力。刚刚刚刚体体体体平平平平动动动动时时时时，刚刚刚刚体体体体上上上上任任任任意意意意一一一一点点点点的的的的运运运运动动动动状状状状况况况况都都都都是是是是相相相相同同同同的的的的，故故故故可可可可以以以以选选选选择择择择质质质质心心心心的的的的运运运运动动动动来来来来描描描描述述述述刚刚刚刚体体体体的的的的运运运运动动动动状状状状态态态态，所所所所以以以以，刚刚刚刚体体体体平动时的动力学方程就是质心运动定理。平动时的动力学方程就是质心运动定理。平动时的动力学方程就是质心运动定理。平动时的动力学方程就是质心运动定理。18例题：例题：例题：例题：质质质质量量量量为为为为mm长长长长为为为为l l的的的的均均均均质质质质杆杆杆杆，其其其其B B端端端端放放放放在在在在桌桌桌桌上上上上，A A端端端端用用用用手手手手支支支支住住住住，使使使使杆杆杆杆成成成成水水水水平平平平。突突突突然然然然释释释释放放放放A A端端端端，在在在在 此此此此 瞬瞬瞬瞬 时时时时，求求求求：（1 1）杆杆杆杆质质质质心心心心的的的的加加加加速速速速度度度度；（2 2）杆杆杆杆B B端所受的力。端所受的力。端所受的力。端所受的力。197.37.3刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 转动惯量转动惯量 一、刚体对一转轴的转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量 1 1、转动惯量定义：、转动惯量定义：、转动惯量定义：、转动惯量定义：说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。2 2、转动惯量的计算：、转动惯量的计算：、转动惯量的计算：、转动惯量的计算：质量不连续分布情况：质量不连续分布情况：质量不连续分布情况：质量不连续分布情况：其中：其中：其中：其中：表示质点对转轴的距离。表示质点对转轴的距离。表示质点对转轴的距离。表示质点对转轴的距离。质量连续分布的情况：质量连续分布的情况：质量连续分布的情况：质量连续分布的情况：203 3、平行轴定理、平行轴定理、平行轴定理、平行轴定理 若两轴平行，距离为若两轴平行，距离为若两轴平行，距离为若两轴平行，距离为d d，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为 I Ic c,则刚体对一轴转动惯量为：则刚体对一轴转动惯量为：则刚体对一轴转动惯量为：则刚体对一轴转动惯量为：证明：如右图示，刚体的二轴分别为证明：如右图示，刚体的二轴分别为证明：如右图示，刚体的二轴分别为证明：如右图示，刚体的二轴分别为z z z z 和和和和 z z z z 轴，轴，轴，轴，由此可知：由此可知：由此可知：由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。214 4、垂直轴定理、垂直轴定理、垂直轴定理、垂直轴定理（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度）即：即：即：即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。证明：如图所示，有：证明：如图所示，有：证明：如图所示，有：证明：如图所示，有：因此，因此，因此，因此，注意：注意：注意：注意：垂直轴定理适用条件：垂直轴定理适用条件：垂直轴定理适用条件：垂直轴定理适用条件：x x、y y、z z轴过同一点，且互相垂直，轴过同一点，且互相垂直，轴过同一点，且互相垂直，轴过同一点，且互相垂直，z z轴垂直于轴垂直于轴垂直于轴垂直于板面板面板面板面x x、y y轴在板面内轴在板面内轴在板面内轴在板面内。22例例例例1 1均质杆长均质杆长均质杆长均质杆长l l，质量为，质量为，质量为，质量为mm，求对过杆一端点的转动惯量。，求对过杆一端点的转动惯量。，求对过杆一端点的转动惯量。，求对过杆一端点的转动惯量。解：由平行轴定理：解：由平行轴定理：解：由平行轴定理：解：由平行轴定理：例例例例2 2求一质量为求一质量为求一质量为求一质量为mm、半径为、半径为、半径为、半径为R R、密度均匀的薄板圆盘，它对过圆心且、密度均匀的薄板圆盘，它对过圆心且、密度均匀的薄板圆盘，它对过圆心且、密度均匀的薄板圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量与盘面垂直的转轴的转动惯量与盘面垂直的转轴的转动惯量与盘面垂直的转轴的转动惯量I I。解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）23解法二：由垂直轴定理：解法二：由垂直轴定理：解法二：由垂直轴定理：解法二：由垂直轴定理：而而而而因此因此因此因此24二、刚体定轴转动的动力学方程二、刚体定轴转动的动力学方程二、刚体定轴转动的动力学方程二、刚体定轴转动的动力学方程对轴的角动量定理对轴的角动量定理对轴的角动量定理对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为刚体对转轴（假定为刚体对转轴（假定为刚体对转轴（假定为z z轴）的角动量：轴）的角动量：轴）的角动量：轴）的角动量：应用质点系对应用质点系对应用质点系对应用质点系对Z Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：其中其中其中其中 为外力对为外力对为外力对为外力对Z Z轴的力矩；轴的力矩；轴的力矩；轴的力矩；为刚体的角加速度在为刚体的角加速度在为刚体的角加速度在为刚体的角加速度在Z Z轴上的投影，可正可负。轴上的投影，可正可负。轴上的投影，可正可负。轴上的投影，可正可负。25三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量 以质量相等的两质点以质量相等的两质点以质量相等的两质点以质量相等的两质点m m m m，中间以一轻连杆组成刚体，绕，中间以一轻连杆组成刚体，绕，中间以一轻连杆组成刚体，绕，中间以一轻连杆组成刚体，绕Z Z Z Z轴转动为例，轴转动为例，轴转动为例，轴转动为例，如图示：设，如图示：设，如图示：设，如图示：设，杆与水平方向杆与水平方向杆与水平方向杆与水平方向成成成成 角，求此刚体对轴上任一点角，求此刚体对轴上任一点角，求此刚体对轴上任一点角，求此刚体对轴上任一点OO的角动量。的角动量。的角动量。的角动量。26若若若若Z Z轴过杆的中点，即：，则有：轴过杆的中点，即：，则有：轴过杆的中点，即：，则有：轴过杆的中点，即：，则有：上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量不一定沿转轴方不一定沿转轴方不一定沿转轴方不一定沿转轴方向向向向（或（或（或（或 方向）。方向）。方向）。方向）。直升机直升机27四、刚体的重心四、刚体的重心四、刚体的重心四、刚体的重心1 1、定义、定义、定义、定义刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作重心重心重心重心。2 2、重心的位置与质心的关系、重心的位置与质心的关系、重心的位置与质心的关系、重心的位置与质心的关系 如果刚体的形状不是特别大，保证各处的如果刚体的形状不是特别大，保证各处的如果刚体的形状不是特别大，保证各处的如果刚体的形状不是特别大，保证各处的是完全相同，则刚体中是完全相同，则刚体中是完全相同，则刚体中是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点各质元的力对任意一参考点各质元的力对任意一参考点各质元的力对任意一参考点O O的力矩：的力矩：的力矩：的力矩：因此，因此，因此，因此，一般有，且与一般有，且与一般有，且与一般有，且与 不平行，故有：不平行，故有：不平行，故有：不平行，故有：即：重心和质心重合。即：重心和质心重合。即：重心和质心重合。即：重心和质心重合。28注意：注意：该结论该结论成立的条件成立的条件是：刚体不是特别是：刚体不是特别大，各处的重力加速度相同。大，各处的重力加速度相同。重重心心仅仅在在重重力力场场中中存存在在，若若物物体体失失重重，则则无无重重心心；但但质质心心仍仍存存在在，故故质质心心比比重重心心更更常常用到。用到。29例例例例1 1竖直杆可绕点竖直杆可绕点竖直杆可绕点竖直杆可绕点OO转动，质量为转动，质量为转动，质量为转动，质量为m m，长为，长为，长为，长为l l，水平打击力作用点，水平打击力作用点，水平打击力作用点，水平打击力作用点A A 距距距距OO为为为为a a，求，求，求，求“打击中心打击中心打击中心打击中心”（使点（使点（使点（使点O O 对杆的力不发生变化），如图示：对杆的力不发生变化），如图示：对杆的力不发生变化），如图示：对杆的力不发生变化），如图示：解：由质心运动定理：解：由质心运动定理：解：由质心运动定理：解：由质心运动定理：对质心对质心对质心对质心OO轴的转动定理：轴的转动定理：轴的转动定理：轴的转动定理：若：若：若：若：30例例例例2 2阿特武德机的一端悬重物阿特武德机的一端悬重物阿特武德机的一端悬重物阿特武德机的一端悬重物mm1 1=0.5=0.5kgkg，另一端悬重物，另一端悬重物，另一端悬重物，另一端悬重物mm2 2=0.46=0.46kgkg，可视做均质圆盘的半径为，可视做均质圆盘的半径为，可视做均质圆盘的半径为，可视做均质圆盘的半径为0.050.05mm 的滑轮绕水平光滑轴转动，的滑轮绕水平光滑轴转动，的滑轮绕水平光滑轴转动，的滑轮绕水平光滑轴转动，自静止开始释放重物并测得自静止开始释放重物并测得自静止开始释放重物并测得自静止开始释放重物并测得5.0s5.0s内内内内mm1 1下降下降下降下降0.750.75mm，由这些数值确定，由这些数值确定，由这些数值确定，由这些数值确定滑轮的转动惯量。不计绳质量及其伸长，不计轴承的摩擦。滑轮的转动惯量。不计绳质量及其伸长，不计轴承的摩擦。滑轮的转动惯量。不计绳质量及其伸长，不计轴承的摩擦。滑轮的转动惯量。不计绳质量及其伸长，不计轴承的摩擦。317.47.4刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 一、力矩的功一、力矩的功一、力矩的功一、力矩的功 下面我们来研究定轴转动刚体在外力作用下转动情况下，下面我们来研究定轴转动刚体在外力作用下转动情况下，下面我们来研究定轴转动刚体在外力作用下转动情况下，下面我们来研究定轴转动刚体在外力作用下转动情况下，对刚对刚对刚对刚体所做的功。体所做的功。体所做的功。体所做的功。如右图所示，建立直角坐标系如右图所示，建立直角坐标系如右图所示，建立直角坐标系如右图所示，建立直角坐标系o-xyzo-xyz，z z 轴垂直纸面轴垂直纸面轴垂直纸面轴垂直纸面向外，设刚体上任一点向外，设刚体上任一点向外，设刚体上任一点向外，设刚体上任一点 P P，初始时位于力轴上，经，初始时位于力轴上，经，初始时位于力轴上，经，初始时位于力轴上，经 t t 时间绕时间绕时间绕时间绕 z z 轴逆时针转动至如图中实线所示位置，下面我们轴逆时针转动至如图中实线所示位置，下面我们轴逆时针转动至如图中实线所示位置，下面我们轴逆时针转动至如图中实线所示位置，下面我们来求力来求力来求力来求力所作的功：所作的功：所作的功：所作的功：将将将将分解为：分解为：分解为：分解为：所以，所以，所以，所以，32上式中上式中上式中上式中 表示力表示力表示力表示力 对对对对 轴的力矩，该式表明：当刚体定轴转动时，力轴的力矩，该式表明：当刚体定轴转动时，力轴的力矩，该式表明：当刚体定轴转动时，力轴的力矩，该式表明：当刚体定轴转动时，力所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分。该式也称作力矩做的功。所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分。该式也称作力矩做的功。所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分。该式也称作力矩做的功。所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分。该式也称作力矩做的功。讨论：若上式中力矩为恒量，力矩做的功为：讨论：若上式中力矩为恒量，力矩做的功为：讨论：若上式中力矩为恒量，力矩做的功为：讨论：若上式中力矩为恒量，力矩做的功为：；即；即；即；即恒力矩恒力矩恒力矩恒力矩做的功等于力矩与角位移的乘积做的功等于力矩与角位移的乘积做的功等于力矩与角位移的乘积做的功等于力矩与角位移的乘积。33二、定轴转动刚体的动能定理二、定轴转动刚体的动能定理二、定轴转动刚体的动能定理二、定轴转动刚体的动能定理 由质点系动能定理知：由质点系动能定理知：由质点系动能定理知：由质点系动能定理知：应用于定轴转动刚体：应用于定轴转动刚体：应用于定轴转动刚体：应用于定轴转动刚体：而而而而因此，因此，因此，因此，这这这这就就就就是是是是定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动刚刚刚刚体体体体的的的的动动动动能能能能定定定定理理理理，即即即即刚刚刚刚体体体体绕绕绕绕定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动时时时时，转转转转动动动动动动动动能能能能的的的的增增增增量量量量等等等等于于于于刚刚刚刚体体体体所所所所受受受受外外外外力力力力矩矩矩矩做做做做功功功功的的的的代代代代数数数数和和和和。其其其其中中中中为为为为定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动刚刚刚刚体体体体的的的的动动动动能，能，能，能，为外力矩对刚体所作的功的代数和。为外力矩对刚体所作的功的代数和。为外力矩对刚体所作的功的代数和。为外力矩对刚体所作的功的代数和。注意：注意：注意：注意：刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。34三、刚体的重力势能三、刚体的重力势能三、刚体的重力势能三、刚体的重力势能 刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之和：和：和：和：由上式知：由上式知：由上式知：由上式知：刚体重力势能决定于刚体重心矩势能零点的高度，与刚体刚体重力势能决定于刚体重心矩势能零点的高度，与刚体刚体重力势能决定于刚体重心矩势能零点的高度，与刚体刚体重力势能决定于刚体重心矩势能零点的高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关的方位无关，与刚体运动形式无关的方位无关，与刚体运动形式无关的方位无关，与刚体运动形式无关。例例例例1 1：均质杆的质量为：均质杆的质量为：均质杆的质量为：均质杆的质量为mm，长为，长为，长为，长为 l l ，一端为光滑的支，一端为光滑的支，一端为光滑的支，一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求：点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求：点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求：点，最初