2023年数列极限.docx

2023年数列极限 §2.1 数列极限概念 第二章数列极限 §1 数列极限概念 .教学目的与要求 1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数. .教学重点与难点: 重点: 数列极限概念. 难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数. .讲授内容 若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称 f:N+®R或f(n), nÎN+ 为数列因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作 a1,a2,L,an,L, 或简单地记为an，其中an，称为该数列的通项 关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子 例1古代哲学家庄周所著的庄子·天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去 把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下111，第二天截下2，第n天截下n，这样就得到一个数列 22 2111ì1ü,2,L,n,L或íný.222î2þ 不难看出，数列11的通项随着n的无限增大而无限地接近于0一般地说，对于数2n2n 列an，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限不具有这种特性的数列就不是收敛数列 收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义 定义1设an为数列，a为定数若对任给的正数e，总存在正整数N，使得当，n>N 时有|an-a|<e则称数列 n®¥ an收敛于a，定数a称为数列an的极限，并记作 liman=a，或an®a(n®¥).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a” 若数列an没有极限，则称an不收敛，或称an为发散数列 定义1常称为数列极限的eN定义下面举例说明如何根据e-N定义来验证数列极限 例2证明lim证由于 | =0，这里a为正数 n®¥na 11-0|=, nana é 1故对任给的e>0，只要取N=ê1 êaëe 这就证明了lim ù ú+1，则当n>N时，便有 úû 111<<e|-0|<e.即naNana =0. n®¥na 例3证明 3n2 =3.lim2 n®¥n- 3分析由于 3n299 |=2£(n³3).(1)|2 n-3n-3n 因此，对任给的e>o，只要 9<e，便有 n 3n2 -3|<e,(2)|2 n-3 即当n> 9 e 时，(2)式成立又由于(1)式是在n3的条件下成立的，故应取 N=max3, 9 e 证任给e>0,取N=max3,据分析，当n>N时有（2）式成立.于是本题得证. 9 e 注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N又(3)式给出的N不一定是正整 数一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可例4证明limq=0，这里|q| n®¥ n 证若q=0，则结果是显然的现设0 |q-0|=|q|= n n -1，则h>0 |q| , n (1+h) 并由(1+h)n³1+nh得到 11 <.(4) 1+nhnh1 ,则当n>N时，由（4）式得|qn-0|<e.这对任给的e>0,只要取N=eh |q|£ n 就证明了limq=0. n®¥ n 注本例还可利用对数函数y=lgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下： 对任给的e>0(不妨设e lge （这里也假定0<|q|<1).lg|q| 于是，只要取N= lge 即可。 lg|q| 例5证明lima=1=1，其中a>0 n®¥ 证()当a=1时，结论显然成立. () 当a>1时，记a=a-1，则a>0.由 a=(1+a)³1+na=1+n(a-1) 1n 1n n 1n 得a-1£ a-1 (5) n. 1n 任给e>0，由(5)式可见，当n> a-1 e =N时，就有a-1<e，即|a-1|<e.所以 1n lima=1. n®¥ () 当0<a<1时，, 1n a =b则b>0.由 æ1ö1 =(1+b)n³1+nb=1+nç-1÷ç÷aèaø a-1-11-a1 得1-a£（6）=<-1 n+a-1.1+n-1a1+n-1a 任给e>0，由（6）式可见，当n>+所以lima=1. n®¥ a-1-1 e =N时，就有1-a<e，即|a-1|<e. 1n1n 关于数列极限的eN定义，应着重注意下面几点： 1e的任意性定义1中正数e的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，e愈小，表示接近得愈好；而正数e可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度然而，尽管e有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又e既时任意小的正数，那么 e ,3e或e2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式 e |an-a|<e中的e可用,3e或e2等来代替同时，正由于e是任意小正数，我们可限定 e小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定e |an-ae也可改写成|an-a|£e. 2N的相应性一般说，N随e的变小而变大，由此常把N写作N(e)，来强调N是依赖于e的；但这并不意味着N是由e所唯一确定的，因为对给定的e，比如当N=100时，能使得当n>N时有|an-a|<e，则N=101或更大时此不等式自然也成立这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小另外，定义1中的，n>N也可改写成n³N3从几何意义上看，“当n>N时有|a-a|<e”意味着：所有下标大于N的项a都落在邻域U(a;e)内；而在U(a;e)之外，数列an中的项至多只有N个(有限个)反之，任给e>0，若在U(a;e)之外数列an中 N， n 则当n>N时有anÎU(a,e)，即当n>N时有|an-a| 定义1任给e>0，若在U(a,e)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an ' 收敛于极限a 由定义1，可知，若存在某e>0，使得数列an中有无穷多个项落在U(a,e0)之外，则an一定不以a为极限 例6证明n2和(-1)n都是发散数列 证对任何aÎR，取e0=1，则数列n中所有满足n>a+1的项(有无穷多个)显然 都落在U(a;e0)之外，故知n2不以任何数a为极限，即n2为发散数列. 至于数列(-1)n，当a=1时取e0=1，则在U(a;e0)之外有(-1)n中的所有奇数项；当a¹1时取e0= |a-1|,则在U（a;e0)之外有(-1)n中的所有偶数项所以2 (-1)n不以任何数a为极限，即(-1)n为发散数列例7设limxn=limyn=a，做数列zn如下： n®¥ n®¥ zn:x1,y1,x2,y2,L,xn,yn,L.证明limzn=a. n®¥ 证， 因limxn=limyn=a,故对任给的e>0，数列xn和yn中落在U(a;e)之外 n®¥ n®¥ 的项都至少只有有限个.所以数列zn中落在U(a;e)之外的项也至多只有有限个故由定义1'，证得limzn=a n®¥ 例8设an为给定的数列，bn为对an增加、减少或改变有限项之后得到的数列证明：数列bn与an同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等 ' 证设an为收敛数列，且liman=a按定义1，对任给的e>0，数列an中落在 n®¥ U(a;e)之外的项至多只有有限个而数列bn是对an增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以bn中落在U(a;e)之bn中的每一项都是an中确定的一项，外的项也至多只有有限个这就证得limbn=a n®¥ 现设an发散倘若bn收敛，则因an可看成是对bn增加、减少或改变有限项之 后得到的数列，故由刚才所证，an收敛，矛盾所以当an发散时，bn也发散在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman=0，则称an为无穷小数列 n®¥ 由无穷小数列的定义，不难证明如下命题： 定理2.1数列an收敛于a的充要条件是：an-a为无穷小数列 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出liman¹a和liman不存在的“eN”定义.n®¥ n®¥ 课外作业: P 2、 3、 4、 6、 7、8. 数列极限 数列极限 数列极限 数列极限1 122 数列极限 1.2 数列极限 数列极限教案 数列极限复习 数列极限例题 数列极限和函数极限（版）