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2023年图形的位置关系【2.图形位置关系】 图形位置关系 【专题诠释】 在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形、正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。由于此类题目基本都是上档次解答题的其次道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。从题目本身来看, 一般都是实行很标准的两问式. 第一问证明切线, 考察切线判定定理以及切线性质定理及推论, 其次问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值, 求其他线段长，综合考察圆与三角形的学问点。至于其他图形位置关系, 我们将会在后面的专题中涉及到. 【例题讲解】 【例1】已知：如图，AB 为O 的直径，O 过AC 的中点D ，DE BC 于点E （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若DE =2，tan C = 1 ，求O 的直径 2 A 【思路分析】近年来此类问题特殊爱将中点问题放进去一并考察，考生肯定要对中点以及中位线所引发的平行等关系特别敏感，尤其不要遗忘圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD ，在ABC 中OD 就是中位线，平行于BC 。所以利用垂直传递关系可证OD DE 。至于其次问则重点考察直径所对圆周角是90°这一学问点。利用垂直平分关系得出ABC 是等腰三角形，从而将求AB 转化为求BD ，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】 （1）证明：联结OD D为AC 中点， O为AB 中点， OD为ABC的中位线 ODBC DEBC， DEC=90°. A ODE=DEC=90°. ODDE于点D. DE为O 的切线 （2）解：联结DB AB为O的直径， ADB=90° DBAC CDB=90°. D为AC 中点， AB=AC 在RtDEC中，DE=2 ，tanC=由勾股定理得： DC= 1DE ， EC=4. （三角函数的意义要记牢） 2tan C 在RtDCB 中， BD=DC tan C = BC=5. AB=BC=5. O的直径为5. 【例2】已知：如图， O 为ABC 的外接圆，BC 为 O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ，过点A 作AD BF 于点D . （1）求证：DA 为 O 的切线； （2）若BD =1，tan BAD = F 1 ，求 O 的半径. 2 C 【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分CBF 。看到这种条件，就须要大家意识到应当通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA 之后发觉ABD=ABC ，而OAB 构成一个等腰三角形从而ABO=BAO ，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。其次问依旧是要用角的传递，将已知角BAD 通过等量关系放在ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。 【解析】证明：连接AO . AO =BO ， 2=3. BA 平分CBF ， 1=2. 3=1 . DB AO . （得分点，肯定不能遗忘用内错角相等来证平行） AD DB , BDA =90. DAO =90. AO 是O 半径， DA 为O 的切线. （2） AD DB , BD =1，tan BAD = AD =2. 由勾股定理，得AB sin 4= . （通过三角函数的转换来扩大已知条件） F C 1， 2 BC 是O 直径， BAC =90. C +2=90. 又 4+1=90, 2=1, 4=C . （这一步也可以用三角形相像干脆推出BD/AB=AB/AC=sinBAD ） 在Rt ABC 中，BC = O 的半径为 5. 2 AB AB =5. sin C sin 4 【例3】已知：如图，点D 是O 的直径CA 延长线上一点，点B 在O 上，且OA =AB =AD . （1）求证：BD 是O 的切线； （2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交 于点F ，且BE = 8，tan BFA =求O 的半径长. C 【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪慧的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。那么依据直角三角形斜边中线等于斜边一半这肯定理的逆定理，立刻可以反推出OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上假如看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题其次问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相像，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相像三角形中借助比例来计算，希望大家仔细驾驭。 【解析】（1）证明：连接OB . OA =AB , OA =OB ， OA =AB =OB . ABO 是等边三角形. BAO =1=60. AB =AD ， D =2=30. 1+2=90. DB BO . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又点B 在O 上， DB 是O 的切线 . （2）解：CA 是O 的直径， ABC =90. 在Rt ABF 中，tan BFA = 设AB , AB =BF C 则BF =2x ， AF =3x . BF 2 = . （设元的思想很重要） AF 3 C =E , 3=4, BFE AFC . BE BF 2 = . AC AF 3 BE =8, AC =12 . AO =6. 5分 【例4】如图，等腰三角形ABC 中，AC =BC =6，AB =8以BC 为直径作 O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E （1）求证：直线EF 是 O 的切线； （2）求sin E 的值 【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的详细长度来计算和证明。欲证EF 是切线，则需证OD 垂直于EF ，但是本题中并未给OD 和其他线角之间的关系，所以就须要多做一条协助线连接CD ，利用直径的圆周角是90°，并且ABC 是以AC,CB 为腰的等腰三角形，从而得出D 是中点。胜利转化为前面的中点问题，继而求解。其次问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相像的RT 三角形当中构造代数关系，通过解 A 方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。 【解析】（1）证明：如图，连结CD ，则BDC =90 F CD AB D AC =BC ，AD =BD G D 是AB 的中点 O 是BC 的中点， DO AC E B O C EF AC 于F EF DO EF 是 O 的切线 ( 2 ) 连结BG ，BC 是直径, BGC =90=CFE （直径的圆周角都是90°） BG EF FC CG sin E = = EC BC 设CG =x ，则AG =6-x 在Rt BGA 中，BG 2=BC 2-CG 2 在Rt BGC 中，BG 2=AB 2-AG 2（这一步至关重要，利用两相邻RT 的临边构建等式，事实上也可以干脆用直角三角形斜边高分比例的方法） 222 62-x 2=82-(6-x )解得x =即CG = 33 在Rt BGC 中 2CG 1 = sin E = BC 69 【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E . （1）若ED 与A 相切，试推断GD 与A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的状况下，若GC CD 5，求AD 的长. F A D B C G 【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依旧考察的是如何将全部条件放在最基本的三角形中求解的实力。推断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相像。其次问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来推断直角三角形中的特别角度，从而求解。 【解析】 （1）结论：GD 与 O 相切 证明：连接AG 点G 、E 在圆上， AG =AE 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC 2=3 B =1，AB =AG B =3 1=2 （做多了就会发觉，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要擅长把握已知条件往这个上面引） 在AED 和AGD E E AE =AG 1=2 AD =AD A 12G F 5C D AED AGD AED =AGD ED 与 A 相切 AED =90 AGD =90 AG DG GD 与 A 相切 （2）GC =CD =5，四边形ABCD 是平行四边形 AB =DC ，4=5，AB =AG =5 AD BC 4=6 B 1 5=6=B 2 2=26 （许多同学觉得题中没有给出特别角度，于是无从下手，其好用倍分关系放在RT 三角形中就产生了30°和60°的特别角） 6=30 AD =10 . 【总结】我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做协助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。 第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。 其次种是在题目没有给出交点状况的状况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题， 如图ABC 中，AB=AC，点O 是BC 的中点，与AB 切于点D ，求证：与AC 也相切。 该题中圆0与AC 是否有公共点是未知的，所以只能通过O 做AC 的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。假如考生想当然认为有一个交点，然后干脆连AC 与圆交点这样证明，就误入歧途了。 第三种是比较麻烦的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：如图，中，AB=AC，=，O 、D 将BC 三等分，以OB 为圆心画，求证：与AC 相切。 本题中并未说明肯定过A 点，所以须要证明A 是切点，同时还要证明O 到AC 垂线的垂足和A 是重合的，这样一来就特别麻烦。但是换个角度想，假如连接AO 之后再证明AO=OB，AO AC ，那么就特别严密了。 （提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO ，BO 都用AB 表示出来即可证明相等，而AOC 中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。 至于本类题型中其次问的计算就比较简洁了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT 当中就可以特别便利的求解。 总之，此类题目难度不会太大，所以须要大家做题速度快，精确率高，为后面的代几综合体留出空间 【过手训练】 1如图，已知AB 为O 的弦，C 为O 上一点，C =BAD ，且BD AB 于B . （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. 证明: 如图, 连接AO 并延长交O 于点E , 连接BE , 则ABE =90°. EAB +E =90°. E =C , C =BAD ， EAB +BAD =90°. AD 是O 的切线. （2）解：由（1）可知ABE =90°. AE =2AO =6, AB =4, BE =AE 2-AB 2=25. E=C =BAD , BD AB , cos BAD =cos E . AB BE =. AD AE 即 42=. AD 6 12 AD =. 5 2已知：如图，AB 为O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交 O 于点C ，直线OC 上一点D 满意D =ACB . （1）推断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若O 的半径等于4，tan ACB =解：（1）直线BD 与O 相切 证明：如图3，连结OB - OCB =CBD +D ，1=D ， 2=CBD AB OC ， 2=A A =CBD OB=OC， BOC +23=180， BOC =2A ， A +3=90 CBD +3=90 OBD =90° 直线BD 与O 相切 4 ，求CD 的长. 3 D （2）解： D =ACB ，tan ACB = tan D = 4 3 4， 3 在Rt OBD 中，OBD =90°，OB = 4，tan D = sin D = 4OB ，OD =5 5sin D 4 ， 3 CD =OD -OC =1 3已知：如图，在ABC 中，AB=AC,AE是角平分线，BM 平分ABC 交AE 于点M, 经过B,M 两点的O 交BC 于点G , 交AB 于点F,FB 恰为O 的直径. （1）求证：AE 与O 相切； 1 时，求O 的半径. 3 1）证明：连结OM ，则OM =OB 1=2 BM 平分ABC 1=3 2=3 OM BC AMO =AEB 在ABC 中，AB =AC ，AE 是角平分线， AE BC AEB =90° AMO =90° OM AE AE 与O 相切 （2）解：在ABC 中，AB =AC ，AE 1 BE =BC ，ABC =C 2 1 cos C =， BC =4， 3 1 cos ABC = BE =1， 3 在ABE 中，AEB =90°， BE =6 AB = cos ABC 设O 的半径为r ，则AO =6-r OM BC ， AOM ABE OM AO = BE AB r 6-r = 26 （2）当BC=4,cosC= B 解得r = 3 2 3 2 O 的半径为 4如图，等腰ABC 中，AC=BC，O 为ABC 的外接圆， 上一点， CE AD 于E . D 为BC 求证：AE= BD +DE 证明：如图3，在AE 上截取AF=BD，连结CF 、CD 在ACF 和BCD 中， AC =BC , CAF =CBD , AF =BD , ACF BCD CF=CD. CE AD 于E ， EF=DE. AE =AF +EF =BD +DE . 5如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D 是AB AE CD 交DC 的延长线于E ，CF AB 于F ，且CE CF （1） 求证：DE 是O 的切线； （2） 若 AB 6，BD 3，求AE 和BC 的长 证明：（1）连接OC, AE CD , CF AB , 又 CE =CF , 1=2. OA =OC , 2=3. 1=3. OC /AE . OC CD . DE 是 O 的切线. A D (2)解： AB =6, OB =OC = 1 AB =3. 2 在Rt OCD 中，OC =3, OD =OB +BD =6, 在Rt ADE 中， AD =AB +BD =9, AE = 19AD =22 在OBC 中， COD=600, OB =OC D =300. COD =600. BC =OB =3. 【拓展训练】 1（2023江苏南京）如图，在Rt ABC 中，ACB =90°，AC =6，BC =8，P 为BC 的 中点动点Q 从点P 动身，沿射线PC 方向以2/s的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆设点Q 运动的时间为t s 当t =1.2时，推断直线AB 与P 的位置关系，并说明理由； 已知O 为ABC 的外接圆，若P 与O 相切，求t 的值 (第26题) 【解题思路】直线与圆的位置关系既是指相交、相切、相离，推断的依据是直线与圆习的距离，所以只要求出当t=. 时圆心P 与直线AB 的距离就可以了；两圆的位置关系有多种，因为点P 在圆内，所以内含、相交、内切就行了，推断的依据是两圆心间的距离，同时要留意存在的多种可能，做到答案的全面性。 【答案】直线AB 与P 相切 如图，过点P 作PD AB , 垂足为D 在Rt A BC 中，ACB 90°，AC =6cm，BC =8cm， AB =10cm P 为BC 的中点，PB =4cm P DB ACB 90°，PBD ABC PBD ABC PD PB PD 4=, 即，PD =2.4(cm) AC AB 610 当t =1.2时，PQ =2t =2.4(cm) PD =PQ ，即圆心P 到直线AB 的距离等于P 的半径 直线AB 与P 相切 ACB 90°，AB 为ABC 的外切圆的直径OB = 连接OP P 为BC 的中点，OP =1AB =5cm 21AC =3cm 2 点P 在O 内部，P 与O 只能内切 5-2t =3或2t -5=3，t =1或4 P 与O 相切时，t 的值为1或4 2如图所示, AC 为O 的直径, 且P A AC , BC 是O 的一条弦, 直线PB 交直线AC 于点D , =. DP DO 3 (1)求证:直线PB 是O 的切线； P (2)求cos BCA 的值. B D A C O 【解题思路】第(1)小题要证切线, 须连半径, 证垂直. 连接OB 、OP , 证明BOP AOP 即可； 第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求POA 的余弦值, 在Rt POA 中, 设出PA =a , 依据已知条件用含a 的代数式表示边OA 、OP 的长, 再利用三角 函数求之. 【答案】(1)证明:连接OB 、OP (1分) = 且D =D DP DO 3 BDC PDO P DBC =DPO B BC OP BCO =POA CBO =BOP D A C O OB =OC OCB =CBO BOP =POA 又OB =OA OP =OP BOP AOP PBO =P AO 又P A AC PBO =90° 直线PB 是O 的切线 (4分) (2)由(1)知BCO =POA 设PB =a , 则BD =2a 又PA =PB =a 11 AD = 又BC OP DC =2 DC =CA = 2 OA OP = cos BCA =cosPOA 家庭作业 （2023湖南永州）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使OEB=ABC 求证：BE 是O 的切线； 若OA=10，BC=16，求BE 的长 B 【解题思路】：（1）要证BE 是O 的切线，须要证OBE=90°. 依据AB 是半圆O 的直径，可得ACB=90°，推出CAB+ABC=90°，再由平行得CAB=EOB, OEB=ABC ，可得BOD+OEB=90°，所以OBE=90°；（2）要求BE 的长，先依据勾股定理求出AB 的长，再利用锐角三角函数或相像求出BE 的长. 【答案】证明：AB 是半圆O 的直径 ACB=90° OD AC ODB=ACB=90° BOD+ABC=90° 又OEB=ABC BOD+OEB=90° OBE=90° AB 是半圆O 的直径 BE 是O 的切线 在Rt ABC 中，AB=2OA=20，BC=16，AC =AB 2-BC 2=202-162=12 tan A = BE = （第25题图） BC 164BE 4= tan BOE = AC 123OB 3441OB =10=13 333 12