直线与平面平面与平面的相对位置.ppt

同学们好！大家好 第五章 直线与平面、平面与平面的相对位置第一节 直线与平面平行、平面与平面平行第二节 直线与平面、平面与平面相交ffe ed de ed df fcaacbbmnmnrrss第一节 直线与平面平行 平面与平面平行一、直线与平面平行二、平面与平面平行返回第一节第一节 直线与平面平行、平面与平面平行直线与平面平行、平面与平面平行 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括定理：定理：若一直线平行于平面上的任一直若一直线平行于平面上的任一直线，则该直线与此平面必相互平行。线，则该直线与此平面必相互平行。一、直线与平面平行PCDBA 若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行返回n a c b m abcmn例例1 1：过：过MM点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？11例题2 试判断直线AB是否平行于定平面 bcc返回bgfdaaedexo根据直线与平面的平行条件可以判断abfg，直线直线AB不平行于定平面不平行于定平面 作法：1.作f g a b 2.求f g判断：fgMN是正平线是正平线例例3 3：过：过MM点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 1 1分析：由题意，所求直线由题意，所求直线MNV面（是正平线），所以面（是正平线），所以mn ox；又因为又因为MN平行于平面平行于平面ABC,所以平面内的直线所以平面内的直线A也是正平线，也是正平线，则则MN A(mn a1,m n a 1 )作法：作法：1.作作a1 ox;2.求作求作a 1 3.作作mn a1,4.m n a 1 由题意可知由题意可知MN的的长度不限长度不限ox二、平面与平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行PSEFDACB返回 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef例例3 3 试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行由作图结果可知BNER,AMDS所以有OX例例4 4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrkk例例5 5 试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行nlmmlnbaccabfkfk三、直线与特殊位置平面相交四、特殊位置平面与一般位置平面相交一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线返回第二节 直线与平面相交、平面与平面相交一、直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平 面的共有点。比如图中点KBAK返回xb ba acc m mnn 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPoABCacbkNKMkk 二、直线与平面相交的特殊情况返回可由水平投影直接判断直线正面投影的可见性可由水平投影直接判断直线正面投影的可见性abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例例1：求直线：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影点的水平投影k。求交点求交点K（k k）判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)作作 图图k21返回km(n)bm n c b a ac例例2 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也与该的水平投影也与该点重合。点重合。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 为不可见。为不可见。1(2)k 21作图作图用面上取点法用面上取点法返回33 同学们好！大家好MBCA三、平面与平面相交FKNL 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有返回VHMmnlPABCacPHkfFKNL四、特殊位置平面与一般位置平面相交nlml n bacc a b fkf k 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。返回m bacc a b b bacnlmc m a l n fkVHMmnlPABCacPHkfFKNL判断平面的可见性f k 返回ox可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。求交线求交线（两平面正面投影的交点（两平面正面投影的交点即为交线的正面投影）即为交线的正面投影）判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。返回b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m ，b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有点的即为两个共有点的正面投影，故正面投影，故m n 即交线即交线MN的正面投影的正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可可见，见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 求平面间的交线求平面间的交线返回C五、一般位置直线与一般位置平面相交五、一般位置直线与一般位置平面相交返回ABNM例题例题1例题例题2判别可见性判别可见性PQ交线求法（辅助平面法）：1.包含已知直线（MN)作辅助平面（Q)；2.求辅助平面已知平面（Q ABC=)；3.因为MN，线均属于平面Q；又属于ABC）所以 MN=K4.可见性判别（利用重影点）12Kapbpcpmn扩展f e efba acb c 1 2 例例1 1 求直线求直线EFEF与一般位置平面与一般位置平面ABCABC的交点的交点K K。QV21kk 作图步骤作图步骤：1.过过EF作正垂面作正垂面Q。2.求求Q平面与平面与ABC的的交线交线。3.求交线求交线与与EF的交的交点点K。4.可见性判别可见性判别1）水平投影的可见性）水平投影的可见性 AC,EF;在上水平投影可见，故K段不段不可见可见2）同理可判断正面投影的）同理可判断正面投影的可见性可见性见示意图返回f e efba acb c 3 4 3（4）12例例2 求直线求直线EF与一般位置平面与一般位置平面ABC的交点的交点K。f e efbc a acb PH2k步骤步骤：1.过过EF作铅作铅垂面垂面P。2.求求P平面与平面与ABC的交的交线线。3.求交线求交线 与与EF的交点的交点K。见示意图返回1 k 两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法五、两一般位置平面相交五、两一般位置平面相交返回扩展知识两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。MBCAFKNL返回bacc b a ll nmmn PVQV1 2 21kee k 两一般位置平两一般位置平面相交，求交面相交，求交线的方法步骤线的方法步骤：1.用直线与用直线与平面求交点的平面求交点的方法求两平面方法求两平面的两个共有点。的两个共有点。2.用线段连用线段连接俩已知点接俩已知点 3.判别可见判别可见性性例例1 求两平面的交线求两平面的交线判别可见性返回oxaca ll nm n 判别可见性的原判别可见性的原理是利用重影点。理是利用重影点。判别可见性判别可见性返回bc b m21(2 )3 4 )ke(4 e k 1 1.判别正面投影的可见性：1）在正面投影中找到a b m n=1 2(AB与MN对正面的一对重影点）找到的水平投影1、2；2）MN,AB；由水平投影看出点在前点在后。因此，对正面投影而言k 1可见，k往左下不可见；同理可判别ML的可见性；3）用同样的方法可判别水平投影的可见性。ox（2 ）3例例1：平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面的法线。作平面的法线。h 返回ha cac kf d b dbfk ox作法：1.作平面内的正平线和水平线DC(dc,d c)和AB（ab,a b)2.作KGDC(k d c)、KGAB(khab)3.任作直线KH（kh，k h)为所求。例例2 如图已知等腰三角形DEF的顶点D和一腰DE在水平线DG上，另一腰DF/ABC，点F在直线MN上，完成三角形DEF的两面投影。解解 1.DF一定在过D点而平行于ABC的平面上，先作出这个平面2.求所作平面与MN的交F3.连接DF（df，df )4.用直角三角形法求DF的实长5.截取de=DF6.求出e 7.连接EF（e f，e f)DEF(edf，d e f)为所求。PVff DF的实长实长n cb0bcm g d nmgdX返回aaeefh h例例3 试过定点试过定点K作特殊位置平面的法线。作特殊位置平面的法线。h hh h(k)k SVk kPVk kQHXXX返回例例4 平面由两平行线平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。e f em nmn c a ad b cdbf返回MN不垂直于平面内的水平线（EF）MN不垂直于给定平面二、两平面垂直二、两平面垂直 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。垂直于该平面。AD返回扩展 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。AD两平面垂直两平面不垂直AD返回g 例例1 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面的垂面。作平面的垂面。hacach kkf dbdbfg返回ox1.作平面内的正平线和水平线DC（dc，d c)和AB(ab,a b )2.作KHDC(k h d c)3.作KHAB(k hab)4.任作直线KG(kg，kg）则KH与KG所定平面为所求例例2 试判断试判断 ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的平面是否垂直。所给定的平面是否垂直。g h a chac kk b bgf fd d返回 2.由上述作图过程可知：直线AD不属于 ABC所示平面所示平面 故故 ABC不垂直于不垂直于KG和和KH所给定的平面所给定的平面 1.由题意KHV,GF H;且两直线都属于KG和KH所定平面；例3 过点A作平行于直线BC且垂直于 DEF的面。kkmmhnnhbccbdf edfeXOaa返回设所作平面为两条相交直线AK和AH表示。那么，使AKBC,AH DEF（此二问题前面已经解决）则题得解例例4 4 如图所示，过点A向BCDE作垂线AF，并作出垂足F以及点A与BCDE的真实距离。解解 过一点向一个平面只能作一条垂线由于BCDE是正垂面，按直线与投影面垂直面相垂直以及直线与投影面垂直面相交的投影特性可知：AF是正是正平线。平线。f fa f 即是AF的真实距离真实距离返回 一般情况如图已知DG DEF。在DEF上取正平线DM和水平线DN，则DG DM，DG DN。直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的正面投影，垂直于这个平面上的正平线的正面投影；直线的水平投影，垂直干这个平面上的水平线的水平投影；直线的侧面投影，垂直干这个平面上的侧平线的侧面投影。nnmm根据一边平行于投影面的直角的投影特性可知：g d d m dgdn返回 例例5 如图所示，判断ABCD与 EFG是否互相垂直?解解只要检验是否能在 ABCD上作出一条直线垂直于 EFG。mmnnkk作bk 垂直于em检验bk垂直于en返回则ABCD与 EFG垂直例例6 6 如图，过点A作平行于 直线CJ且垂直于 DEF的面。解解 只要过点A作直线平行于CJ，作直线垂直于 DEF，则相交两 直线所确定的平面即为所求。bbmmknnk返回 小小 结结 重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。返回要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。返回二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。于另一个平面上的一对相交直线。返回相交问题相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面投影的积聚性直接求解。交点的共有性和平面投影的积聚性直接求解。投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线投影的积聚性，采取平交点的共有性和直线投影的积聚性，采取平面上取点的方法求解。面上取点的方法求解。返回（3）一般位置直线与一般位置平面求交点，利用）一般位置直线与一般位置平面求交点，利用辅助平面法；利用重影点判别可见性。辅助平面法；利用重影点判别可见性。求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个有时可找出两平面的一个 共有点，根据交线的共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。投影特性画出交线的投影。一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面投影的积聚性找出两平面的两特殊位置平面投影的积聚性找出两平面的两 个共个共 有点，求出交线。有点，求出交线。（3）一般位置平面与一般位置平面相交，可利用一般位置平面与一般位置平面相交，可利用 一般位置直线与一般位置平面求交点的方法求一般位置直线与一般位置平面求交点的方法求 两个共有点，然后用直线连接两个共有点便求得两个共有点，然后用直线连接两个共有点便求得交线；利用一交线；利用一 般位置直线与一般位置平面相交可般位置直线与一般位置平面相交可见性判别的方法判断平面的可见性。见性判别的方法判断平面的可见性。第五章 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置结束结束