线性代数第四章线性方程组.ppt

第四章线性方程组学习要点及目标 v掌握线性方程组有解和无解的判定方法；理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；理解非齐次线性方程组的通解的结构，掌握非齐次线性方程组的解与齐次线性方程组的解之间的关系，会用齐次线性方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。4.1 线性方程组的概念线性方程组的概念v内容要点：内容要点：v 线性方程v 线性方程组v 线性方程组解的特殊情况 线性方程线性方程 v 定义定义 方程 称为n 元线性方程元线性方程，其中，为变量，为常数。满足方程 的一个n元有序数组称为n元元方程 的一个解。一个解。v 定义定义4.1.2 设非零方程 的首非零项系数是 对 的任一组数可以得到方程的一个特解特解，其中变量 为自由变量自由变量。方程的所有解的集合称为方程 的通通解解或一般解一般解。v例如 是一个二元方程，不同时为零时，方程有无穷多解，如 为二元方程 的一个特解，为二元方程的通解；当 同时为零,若时，方程无解；当 同时为零,若 时，方程有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。例例4.1.1 求三元方程 的两个特解和通解。v解解：这里 为首非零元，为自由变量，给 取任意值，就可求出 不妨设 代入方程，就可得到 故 或 为三元方程 的一个特解；再设 代入方程，就可得到 故 或 为三元方程 的又一个特解；要求方程 的通解，需要给自由变量 ,取任意值，不妨设 代入方程就可得到 ，故 或 为三元方程 的通解4.1.2 n元线性方程组元线性方程组 v定义定义线性方程组称为n元线性方程组。元线性方程组。v其矩阵形式为 (2)其中 为第 个方程第 个变量的系数，为第个方程的常数项，这里 。v矩阵 分别称为线性方程组(1)的系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵。v矩阵 称为线性方程组(1)的增广矩阵增广矩阵。v当常数项不全为零时，称为非齐次线性方程非齐次线性方程组组;当常数项全为零，即 时,线性方程组(1)称为齐次线性方程组，齐次线性方程组，也称为非非齐次线性方程组的导出组齐次线性方程组的导出组。v当线性方程组有无穷多解时，其所有解的集合称为方程组的通解通解或一般解一般解。4.1.3 三角形方程组与阶梯形方程组三角形方程组与阶梯形方程组 v定义定义4.1.4 线性方程组称为 元三角形线性方程组。元三角形线性方程组。v三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且第 个方程第 个变量 的系数 而v三角形线性方程组是一类特殊的情形，解法也简单，由克莱姆法则可以判断，其解惟一，一般只需要从最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程组的全部解 v定义定义4.1.6 线性方程组 中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少，这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方元阶梯形线性方程组。程组。v当方程组所含方程的个数等于未知量的个数时，阶梯形线性方程组即为三角形线性方程组，因此说三角形线性方程组是阶梯形线性方程组的特殊情况。v线性方程组（6）与下列方程组同解v因此，阶梯形线性方程组解法可仿照三角形线性方程组的解法，从最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程组的全部解。4.2 消元法消元法v内容要点内容要点 线性方程组的初等变换 非齐次线性方程组的消元解法 齐次线性方程组的消元解法线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换 v定义定义4.2.1 将线性方程组(1)交换某两个方程的位置;(2)用一个非零数乘某一个方程的两边;(3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去。以上这三种变换称为线性方程组的初等变换初等变换。v 用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种初等变换：交换两个方程；用非零数乘某方程；将一个方程（行）的倍数加到另一个方程的过程。v线性方程组经一次或数次初等变换后，方程组的解不变。即初等变换总是把线性方程组变成同解方程组,经过初等变换后得到的方程组与原方程组等价。v消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组,由于这个阶梯形方程组与原线性方程组同解,解这个阶梯形方程组得到的解就是原方程组的解。v注意：注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是惟一的,所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。vn元线性方程组的一般形式为 当常数项 ，至少有一个不为零时，线性方程组为非齐次线性方程组；v当常数项全为零时，即 =0线性方程组为齐次线性方程组，这时方程组的一般形式为 4.2.2 非齐次线性方程组的消元解法非齐次线性方程组的消元解法v一般来说，对元非齐次线性方程组v反复应用初等变换，可化为阶梯形方程组 v不妨设为v结论结论：1.如果 ，则线性方程组无解；v2.如果 ，则线性方程组有解：(1)如果 ，则线性方程组可化为v其中 ,则线性方程组有唯一解。v(2)当 时，方程组可以化为v其中 ,将其改写成 其中未知量 称为自由未知量。任取一组数就可以得到一组解。所以方程组有无穷多组解。例例 用消元法解线性方程组 解解：原线性方程组化成齐次线性方程组的消元解法齐次线性方程组的消元解法 v齐次线性方程组的一般形式为 若反复应用初等变换，则可化为 v不妨设为v结论结论：1.如果 ，则齐次线性方程组肯定有解，至少有零解。v2.（1）如果 ，则线性方程组可化为v其中 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。v(2)当 时，方程组可以化为v其中 将其改写成v其中未知量 称为自由未知量。任取一组数就可以得到一组解。所以方程组有无穷多组解。例例 解齐次线性方程组v解解：原线性方程组化成 例例 解齐次线性方程组求 （1）当取何值时仅有零解；（2）当取何值时有无穷组解。解:所以当 时仅有零解；当 时有无穷组解。4.3 高斯消元法高斯消元法 内容要点内容要点v线性方程组的矩阵v齐次线性方程组的消元解法v非齐次线性方程组的消元解法v线性方程组解的存在性v如果用矩阵表示其系数及常数项,则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。v用消元法解线性方程组的过程,相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵(消元过程)再出阶梯形矩阵继续进行初等行变换(回代过程)，就求得方程组的解回代过程的最后一个矩阵恰为简化的阶梯简化的阶梯形矩阵形矩阵。例例 用矩阵消元法求解下列线性方程组:v解对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：v最后的阶梯形矩阵对应的阶梯形方程 由0=4可知，这是一个矛盾方程组，无解所以原方程组也无解。例例解下列线性方程组:v解解：对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为即 方程组有无穷多个解。v由上面的阶梯形矩阵继续进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵，完成回代过程(接上面的最后一个矩阵)：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为 与原方程已同解。v取自由未知量 就可以确定对应的 值，从而得到方程组的全部解(或一般解)：v因此原方程组有无穷多组解。这时，变量为自由未知量。解的情况v对一般的线性方程组对于增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵 或v1.当 时,方程组无解；v2.当 时,方程组与三角形方程组同解，且解惟一。3.当 时,方程组与阶梯形方程组同解，且解有无穷多组.4.3.2 线性方程组解的存在性线性方程组解的存在性v定理定理 n元齐次线性方程组 有非零解的充要条充要条件件是系数矩阵 的秩 。v推论推论 齐次线性方程组 有惟一解的充分必要条件是 。即：v推论推论 线性方程组 有无穷多组解的充分必要条件是 。即：。v推论推论4.3.3 若方程组 中有 ，即方程个数小于末知量个数时，方程组 必有非零解。v推论推论4.3.4 若方程组 中有 ，即方程个数等于末知量个数时，方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。v定理定理 n元非齐次线性方程组 有解的充要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵 的秩,即 。v推论推论4.3.5 n元非齐次线性方程组 无解。4.4齐次线性方程组齐次线性方程组 内容要点内容要点v 解向量的概念v 齐次线性方程组解的性质v 基础解系的定义v 基础解系的求法 v解空间及其维数解向量的概念解向量的概念v设有齐次线性方程 (1)若记系数矩阵为未知数向量为 则方程组(1)可记为：(2)称方程(2)的解 为方程组(1)的解向量。解向量。4.4.2 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质:v性质性质1 若 为方程组(2)的解,则 也是该方程组的解。v性质性质2 若 为方程组(2)的解,k为实数,则 也是(2)的解。v性质性质3 若 为方程组(2)的解，为任意实数，则有：也是该方程组的解。4.4.3 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系v定义定义 齐次线性方程组 的有限个解 满足:(1)线性无关;(2)的任意一个解均可由 线性表示。则称解向量组 是齐次线性方程组 的一个基础解系基础解系。v定义定义设A为 矩阵,则n元齐次线性方程组 的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此线性方程组 的全体解构成的集合V是一个向量空间,称此向量空间为齐次线性方程组 的解解空间空间。v当 时,方程组 只有零解,此时，解空间V只含有一个零向量,解空间V的维数为0，当一个齐次线性方程组只有零解时,该方程组没有基础解系;v当系数矩阵的秩 时,解空间V的维数 齐次线性方程组有非零解时,一定有基础解系v定理定理 对于齐次线性方程组 若 ,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于 ,其中n是方程组所含未知量的个数。例例 求解方程组 v解解：对系数矩阵A施行初等行变换：得与原方程组同解的方程组由此得 取 代入上式，解得 从而得到一个基础解系 故方程组的通解为 即 4.5 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 内容要点：内容要点：非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组的通解 方程组有解的几个等价命题非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质v性质性质1 设 是非齐次线性方程组 的解,为对应的齐次线性方程组 的解，则 是非齐次线性方程组 的解。v性质性质2 设 是非齐次线性方程组 的解,则 是对应的齐次线性方程组 的解。4.5.2 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构v定理定理 设 是非齐次线性方程组 的一个解,是其导出组（对应齐次线性方程组）的通解,则 是非齐次线性方程组 的通解。4.5.3 线性方程组解的等价命题线性方程组解的等价命题v定理定理4.5.2 设有非齐次线性方程组 ，而 是系数矩阵 的列向量组，则下列四个命题等价：v (1)非齐次线性方程组 有解；v (2)向量 能由向量组 线性表示；v (3)向量组 与向量组 ，等价；v (4)。例例4.5.2 求解线性方程组 v解：解：对增广矩阵作初等行变换 故方程组有无穷多解，原方程组同解于与方程组 所以方程组的通解为