类对坐标的曲面积分.ppt
10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分1小结小结 思考题思考题 作业作业概念的引入概念的引入概念与性质概念与性质对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的的曲面积分曲面积分surface integral第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分2观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧1.有向曲面有向曲面 通常光滑曲面都有两侧通常光滑曲面都有两侧.流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等.(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)一、一、概念的引入概念的引入如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分3有两侧的曲面有两侧的曲面.规定规定(1)双侧曲面双侧曲面2.曲面的分类曲面的分类法向量法向量的指向来规定曲面的两的指向来规定曲面的两侧侧.这两侧一般称为这两侧一般称为分别记作分别记作规定了正、负侧的双侧曲面称为规定了正、负侧的双侧曲面称为正侧和负侧正侧和负侧,有向曲面有向曲面.10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分4对于封闭曲面对于封闭曲面,通常规定其通常规定其外侧外侧(即外法线方向所指的一侧即外法线方向所指的一侧)为为正侧正侧,而规定内侧而规定内侧(即内法线方即内法线方向所指的一侧向所指的一侧)为为负侧负侧.对于非封闭曲面对于非封闭曲面,通常规定其上侧为通常规定其上侧为当曲面分为当曲面分为上、下两侧时上、下两侧时,正侧正侧,下侧为下侧为负侧负侧.当曲面方程由当曲面方程由z=z(x,y)给出时给出时,规定其法向量规定其法向量与与z轴正向的夹角为锐角的一侧为正侧轴正向的夹角为锐角的一侧为正侧,其法向量是其法向量是而负侧的法向量是而负侧的法向量是 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分5对于非封闭曲面对于非封闭曲面,通常规定其右侧为通常规定其右侧为当曲面分为当曲面分为左、右两侧时左、右两侧时,正侧正侧,左侧为左侧为负侧负侧.通常规定其前侧为通常规定其前侧为当曲面分为前、后两侧时当曲面分为前、后两侧时,正侧正侧,后侧为后侧为负侧负侧.10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分6(2)单侧曲面单侧曲面莫比乌斯莫比乌斯(Mobius)带带.B、C 粘在一起形成的环行带粘在一起形成的环行带.不通过边界可以爬到任不通过边界可以爬到任这在这在双侧曲面双侧曲面上是上是它是由一张长方形纸条它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下扭转一下,将将A、D粘在一起粘在一起,小毛虫在小毛虫在莫比乌斯带上莫比乌斯带上,何一点去何一点去.Mobius(1790-1868)19世纪德国数学家世纪德国数学家不能实现的不能实现的.10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分7设有一稳定流体设有一稳定流体,以速度以速度流量流量实例实例(为平面为平面A的的单位单位法向量法向量)(斜柱体体积斜柱体体积)(1)流速为流速为常向量常向量有向有向平面平面区域区域 A,求单位时间流过求单位时间流过A的流量的流量(假定密度为假定密度为1).有向曲面有向曲面(从负侧流向正侧从负侧流向正侧),求求流量流量.流过流过 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分当当不是常量不是常量,8(2)采用元素法采用元素法求求流量流量.把大范围的曲面把大范围的曲面问题化为小范围的平面的问题问题化为小范围的平面的问题,并在并在小范围内小范围内,把流量近似地看成常向量把流量近似地看成常向量.是有向是有向曲面曲面.分割分割法向量为法向量为把曲面把曲面分成分成n小块小块(Si同时也代表第同时也代表第i小块小块Si 曲面的面积曲面的面积),点点Mi,则该点流速为则该点流速为 在在Si上任取一上任取一常常向量向量,有向有向平面平面,流量为流量为取近似取近似 流体流过小块流体流过小块Si的流量的流量i为为 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分9求和求和 流过有向曲面流过有向曲面(从负侧流向正侧从负侧流向正侧)的总的总流量流量的近似值为的近似值为取极限取极限 当各小块当各小块Si的最大直径的最大直径取极限得到流量取极限得到流量的精确值为的精确值为 除了流量以外除了流量以外,电流强度电流强度通过有向曲面通过有向曲面 的电通量的电通量也可表示同一类型的极限也可表示同一类型的极限 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分101.定义定义二、概念与性质二、概念与性质定义定义10.4 设有分片光滑的双侧曲面设有分片光滑的双侧曲面,取定其取定其一侧一侧,记这一侧的单位法向量为记这一侧的单位法向量为为定义在为定义在上的向量函数上的向量函数.任意分任意分S1,S2,Sn,割割为为n小块小块,小块及其面积都记作小块及其面积都记作在每一小块在每一小块Si上上,任取一点任取一点作和式作和式 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分11 令各小块令各小块Si的最大直径的最大直径若上和式有若上和式有极限极限,则称此极限值为向量函数则称此极限值为向量函数在有向曲面在有向曲面上沿指定一侧的上沿指定一侧的第二类第二类(对坐标对坐标)的曲的曲面积分面积分,记作记作简记作简记作 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分12如曲面如曲面为为封闭曲面封闭曲面:在前面的实例中在前面的实例中,流量流量为为流速流速上的上的第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分,即即电通量电通量为电流强度为电流强度在曲面在曲面上的上的第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分,即即在曲面在曲面 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分132.性质性质(1)线性性质线性性质(k1,k2为常数为常数)(2)可加性可加性 若若由由1和和2组成组成,则则(3)有向性有向性 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分14三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系设设(其中其中处的处的单位单位法向量法向量,为有向曲面为有向曲面在指定一侧的点在指定一侧的点(x,y,z)的方向角的方向角,一般来说一般来说,它们都是它们都是x,y,z的函数的函数),则则第二类曲面积分第二类曲面积分两类曲面积分的转化公式两类曲面积分的转化公式 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分15四、四、第二类曲面积分的计算法第二类曲面积分的计算法若光滑有向曲面若光滑有向曲面在在xOy面上的投影区面上的投影区域为域为Dxy,函数函数 z(x,y)在在导数导数,由方程由方程 z=z(x,y)给出给出,Dxy上具有上具有一阶连续偏一阶连续偏则由则由 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分16上侧为正上侧为正,下侧为负下侧为负化为二重积分化为二重积分一投一投二代二代三定号三定号向量的点积法向量的点积法(合一投影法合一投影法)10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分17例例外侧外侧.其中其中解解 在在xOy面上的投影区域为面上的投影区域为Dxy:法向量法向量:10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分18一投一投二代二代三定号三定号化化为为二二重重积积分分 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分19前侧为正前侧为正,后侧为负后侧为负若光滑有向曲面若光滑有向曲面由方程由方程 x=x(y,z)给出给出,在在yOz面上的投影区域为面上的投影区域为Dyz,函数函数x(y,z)在在Dyz上上具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则化化为为二二重重积积分分 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分20若光滑有向曲面若光滑有向曲面由方程由方程 y=y(x,z)给出给出,在在xOz面上的投影区域为面上的投影区域为Dxz,函数函数y(x,z)在在Dxz上上具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则化化为为二二重重积积分分右侧为正右侧为正,左侧为负左侧为负 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分21第二类曲面积分第二类曲面积分往往用坐标形式来表示往往用坐标形式来表示.常用记号常用记号dydz,分别表示面积元素分别表示面积元素dxdydzdx,dS在在yOz平面平面,上的有向投影上的有向投影,即即(它们的值或正或负它们的值或正或负,其符号取决于方向角其符号取决于方向角,是是锐角还是钝角锐角还是钝角)因此第二类曲面积分可表示为因此第二类曲面积分可表示为第二类曲面积分的坐标形式第二类曲面积分的坐标形式zOx平面平面,xOy平面平面 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分22(1)认定对哪两个坐标的积分认定对哪两个坐标的积分,(2)将将 的方程代入被积函数的方程代入被积函数,(3)根据根据的侧的侧(法向量的方向法向量的方向)确定二重积确定二重积为这两个变量的函数为这两个变量的函数,将曲面将曲面表表并确定并确定的投影域的投影域.上的二重积分上的二重积分.化为投影域化为投影域分前的正负号分前的正负号.第二类曲面积分第二类曲面积分的计算时的计算时:10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分23解解投影域投影域 例例 计算计算其中其中是球面是球面外侧外侧在在的部分的部分.把把分成分成1和和2两部分两部分化为二重积分化为二重积分 一投一投二代二代三定号三定号 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分24极坐标极坐标 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分25解解利用利用两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系计算计算.取取上侧上侧,例例在第一卦限部分的在第一卦限部分的 上侧上侧.法向量为法向量为 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分26化化为为二二重重积积分分 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分27若分片光滑的闭曲面若分片光滑的闭曲面0其中其中注注补充补充x的偶函数的偶函数,x的奇函数的奇函数曲面曲面不封闭也可以不封闭也可以.取取外侧外侧(内侧仍成立内侧仍成立),那末那末关于关于yOz平面对称平面对称,若若P(x,y,z)是是若若P(x,y,z)是是 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分28例例 计算曲面积分计算曲面积分解解 对称性质对称性质 关于关于yOz面对称面对称,被积函数关于被积函数关于则则所以所以极极坐坐标标x为偶函数为偶函数,一投一投二代二代三定号三定号化化为为二二重重积积分分 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分29关于曲面侧的性质关于曲面侧的性质五、小结五、小结第二类的曲面积分的计算第二类的曲面积分的计算 第二类的曲面积分的概念第二类的曲面积分的概念四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:化为化为二重积分计算二重积分计算;注意注意:“一投一投,二代二代,三定号三定号”第二类的曲面积分的性质第二类的曲面积分的性质两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系方法方法:10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分30思考题思考题是非题是非题由于由于是以原点为中心的球面是以原点为中心的球面.由对称性知由对称性知 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分31思考题解答思考题解答 非非因为因为上半球面上半球面下半球面下半球面故故上侧为正上侧为正下侧为负下侧为负 10.5 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲面积分的曲面积分32作作 业业习题习题10.5(45210.5(452页页)
