线性代数课件1-5~1-6行列式的性质与计算.ppt

思思 考考解解定义法求解行列式很定义法求解行列式很烦琐烦琐行列式的性质行列式的性质1课件2课件一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记3课件性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证明证明4课件按定义按定义故故说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立.列标为标准排列，行标列标为标准排列，行标是一个是一个 n 级排列的定义级排列的定义5课件性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.例如例如思考思考互换相邻互换相邻互换不相邻互换不相邻6课件推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 设行列式为设行列式为 例如例如7课件性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数元素都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此乘此行列式行列式.推论推论行列式的某一行（列）中所有元素行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面的公因子可以提到行列式符号的外面8课件例：例：9课件性质性质行列式中如果有两行（列）元素行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零成比例，则此行列式为零证明证明10课件例：例：11课件性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和都是两数之和则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：即即12课件 行列式（行列式（2）的两个行列式的第一行对应元素）的两个行列式的第一行对应元素之和等于行列式（之和等于行列式（1）的第一行的三个元素）的第一行的三个元素.13课件性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如14课件15课件性质性质1 1：D=DT,其中其中DT为为 D 的转置行列式的转置行列式总结：总结：性质性质2.2.行列式中交换某两行或两列，行列式行列式中交换某两行或两列，行列式 仅改变符号仅改变符号.性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数元素都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此乘此行列式行列式.16课件性质性质行列式中如果有两行（列）元素行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零成比例，则此行列式为零性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和两数之和.则行列式可表为两个行列式。则行列式可表为两个行列式。性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变17课件二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用基本性质转化计算行列式常用方法：利用基本性质转化为上三角行列式或下三角行列式。为上三角行列式或下三角行列式。标准：标准：1、若、若a11不是不是1，则通过变换变为，则通过变换变为1.常用方法有：行列交换、所有行列相加提常用方法有：行列交换、所有行列相加提取出取出a11.第一行尽量选择最简单的行第一行尽量选择最简单的行。越。越简单越好。简单越好。2、朝着上三角行列式或下三角行列式的、朝着上三角行列式或下三角行列式的方向变化。方向变化。切记不可来回漫无目地的变切记不可来回漫无目地的变。3、每一步的变化方式需要写出。、每一步的变化方式需要写出。18课件例例1.1.计算计算解：解：发现第四行的数字较大，不便计算。发现第四行的数字较大，不便计算。仔细观察后，第二列的元素比较简单，仔细观察后，第二列的元素比较简单，所以考虑交换第一列与第二列所以考虑交换第一列与第二列.19课件例例1.1.计算计算解：解：20课件21课件22课件作业中的问题（习题一）作业中的问题（习题一）23课件24课件25课件26课件27课件28课件29课件30课件31课件回顾回顾计算行列式常用方法：利用基本性质转化计算行列式常用方法：利用基本性质转化为上三角行列式或下三角行列式。为上三角行列式或下三角行列式。标准：标准：1、若、若a11不是不是1，则通过变换变为，则通过变换变为1.常用方法有：行列交换、所有行列相加提常用方法有：行列交换、所有行列相加提取出取出a11.第一行尽量选择最简单的行第一行尽量选择最简单的行。越。越简单越好。简单越好。2、朝着上三角行列式或下三角行列式的、朝着上三角行列式或下三角行列式的方向变化。方向变化。切记不可来回漫无目地的变切记不可来回漫无目地的变。3、每一步的变化方式需要写出。、每一步的变化方式需要写出。32课件复复 习习33课件解解34课件35课件例例2.2.计算计算特点：每一行特点：每一行（列）加起来（列）加起来均为均为6.解：解：36课件练练 习习37课件解解38课件例例3.3.计算计算特点：每行中都含有第一行中对应项特点：每行中都含有第一行中对应项解：解：39课件40课件练练 习习特点：每一列加起来均相等特点：每一列加起来均相等.41课件解：解：42课件43课件例例4 4证明证明分析：将行列式转变成为下三角行列式。行分析：将行列式转变成为下三角行列式。行列式的初等变换不会改变行列式的值。列式的初等变换不会改变行列式的值。19页页 例例1044课件总结：总结：45课件再解再解解解46课件47课件48课件例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式49课件叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行行和第和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式阶行列式叫做元素叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作50课件再如再如2 2(在第二行第一列上，在第二行第一列上，a21)的余子式是：的余子式是：2 2的代数余子式是：的代数余子式是：51课件1 1(在第三行第二列上在第三行第二列上,a32)的余子式是：的余子式是：-1-1的代数余子式是：的代数余子式是：52课件一般的一般的,对于符号，可由右表：对于符号，可由右表：符号符号“+”“+”表示对应位置上表示对应位置上符号符号“”表示对应位置上表示对应位置上规律：规律：对角线上为正，正的对角线上为正，正的“邻居邻居”为负，负为负，负的的 “邻居邻居”为正。为正。53课件引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所行所有元素除有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 例如例如54课件证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而由由19页页 例例1055课件得得下证一般的情形，当下证一般的情形，当56课件得得57课件定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则58课件零多的行或列出现时，用展开法求行列式更零多的行或列出现时，用展开法求行列式更简便简便.（三阶行列式计算对角线法更简单）（三阶行列式计算对角线法更简单）59课件推论推论:的元素与另一行的元素与另一行(列列)对应元素的代数余子对应元素的代数余子式乘积的和等于零式乘积的和等于零n阶行列式阶行列式的某一行的某一行(列列)若求若求26页页60课件例例1 1 计算行列式计算行列式解解61课件例例2解解62课件练练 习习解解63课件64课件例例3 3解解65课件练练 习习解：解：66课件67课件68课件作业中的问题（习题一作业中的问题（习题一 33页）页）解一：解一：69课件70课件解二：解二：71课件证一：证一：最后一行依次与上一行交最后一行依次与上一行交换，直到换至第一行换，直到换至第一行共需交换共需交换n-1次次72课件 最后一行依次与上一行交换，直到换至最后一行依次与上一行交换，直到换至第二行，共需交换第二行，共需交换n-2次次.73课件证二：证二：74课件将将D逆时针旋转逆时针旋转90度度先将先将D2上下翻转上下翻转将将D沿副对角线翻转沿副对角线翻转先将先将D3上下翻转上下翻转先将先将D3左右翻转左右翻转75课件1 1、行列式等于它的任一行（列）的各元素、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即回顾回顾2 2、的元素与另一行的元素与另一行(列列)对应元素的代数余子对应元素的代数余子式乘积的和等于零式乘积的和等于零n阶行列式阶行列式的某一行的某一行(列列)76课件例例4 4n阶行列式的求法阶行列式的求法:利用行列展开定理找利用行列展开定理找到递推式到递推式,从而求得解从而求得解.77课件解：解：78课件79课件练练 习习解解34页页 7(1)80课件81课件 证证 用数学归纳法用数学归纳法例例5 5证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式(大指标大指标-小指标小指标)的连乘积的连乘积82课件83课件84课件85课件86课件87课件88课件89课件沿主对角线翻转沿主对角线翻转90课件沿主对角线翻转沿主对角线翻转91课件补充题补充题 解解92课件 解解93课件 解解94课件 解解95课件作业：作业：习题一习题一 33 33页页 5(4)-(5)5(4)-(5)、7 796课件97课件98课件