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第第19讲相似三角形讲相似三角形 1.成比例的项：叫做成比例的项。那么或若,:cbaddcbadcba=,其中：a、b、c、d 叫做组成比例的项，线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项，若 四条线段 a、b、c、d 中，如果 （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.a cb d=比例的性质：bcaddcba=;1.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=62、下列各组线段的长度成比例的是（）A.2 ,3,4,1 B.1.5 ,2.5 ,6.5 ,4.5 C.1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D.1 ,2 ,2 ,4 mn m=n56已知 ,求 的值.解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn 65=方法(2)因为 ,所以5m=6n m6 n5=6mn=所以53、4、已知 1)x：(x+1)=(1x)：3，求x。(2)若 ，求 。(3)若 ，求 ，.=-2x3y+yx12yxa+bb=65aba-bb2.比例中项：当两个比例内项相等时，即a bb c=，(或 a：b=b：c)，那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.2acb=即：3.黄金分割：ACB4第第1919讲讲相似三角形相似三角形 核心考点一相似三角形的定义和性质核心考点一相似三角形的定义和性质 考点梳理与跟踪练习考点梳理与跟踪练习 相关知识相关知识相似三角相似三角形的定形的定义义对应对应角相等，角相等，对应边对应边成比例的三角形叫做相似三角形成比例的三角形叫做相似三角形当相似比当相似比k k_时时，两个三角形全等，两个三角形全等相似比相似比 1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。ABCA/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么A/B/C/与 ABC的相似比为_.第第1919讲讲相似三角形相似三角形 相似三角相似三角形的性形的性质质(1)(1)相似三角形周相似三角形周长长的比等于的比等于_(2)(2)相似三角形面相似三角形面积积的比等于的比等于_(3)(3)相似三角形相似三角形对应对应高、高、对应对应角平分角平分线线、对应对应中中线线的比等于的比等于_相似多相似多边边形的性形的性质质(1)(1)相似多相似多边边形周形周长长的比等于的比等于_(2)(2)相似多相似多边边形面形面积积的比等于的比等于_相似比的平方相似比的平方 相似比相似比 相似比相似比 相似比相似比 相似比的平方相似比的平方 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 经典示例经典示例C C第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 【方法指【方法指导导】在求三角形的面在求三角形的面积积比比时时，常用的解常用的解题题途径有：途径有：(1)1)相似三角形面相似三角形面积积的比等于相似比的平方；的比等于相似比的平方；(2)(2)同底同底(或等底或等底)三角形面三角形面积积之比等于高之比；之比等于高之比；(3)(3)同高同高(或等高或等高)三角形面三角形面积积之比等于底之比等于底边长边长之比之比第第1919讲讲相似三角形相似三角形 核心练习核心练习C C第第1919讲讲相似三角形相似三角形 B B第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 1818第第1919讲讲相似三角形相似三角形 核心考点二相似三角形的判定核心考点二相似三角形的判定 相关知识相关知识一般一般三角三角形相形相似的似的判定判定1.1.平行于三角形一平行于三角形一边边的直的直线线和其他两和其他两边边(或两或两边边的延的延长线长线)相交，相交，所构成的三角形与原三角形所构成的三角形与原三角形_2.2.如果一个三角形的三条如果一个三角形的三条边边与另一个三角形的三条与另一个三角形的三条边对应边对应_，那么，那么这这两个三角形相似两个三角形相似3.3.如果一个三角形的两条如果一个三角形的两条边边与另一个三角形的两条与另一个三角形的两条边对应边对应_，并且，并且_相等，那么相等，那么这这两个三角形相似两个三角形相似4.4.如果一个三角形的两个角分如果一个三角形的两个角分别别与另一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角_，那么，那么这这两个三角形相似两个三角形相似相似相似 成比例成比例 成比例成比例 夹角夹角 对应相等对应相等 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 直角直角三角三角形相形相似的似的判定判定如果一个直角三角形的斜如果一个直角三角形的斜边边和一条直角和一条直角边边与另一个直角三角形的与另一个直角三角形的斜斜边边和一条直角和一条直角边边_，那么，那么这这两个直角三角形相似两个直角三角形相似1.1.一般三角形相似的判定方法一般三角形相似的判定方法对对于直角三角形完全适用于直角三角形完全适用2 2直角三角形被斜直角三角形被斜边边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似形相似对应成比例对应成比例 相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：现在给你一个锐角三形现在给你一个锐角三形ABC和一条直线和一条直线MN 问题：问题：请同学们利用直线请同学们利用直线MN 在在ABC上或在边的延上或在边的延 长线作出一个三角形与长线作出一个三角形与 ABC相似，并请同学相似，并请同学 们说明理由们说明理由ABCMN第一种作法：第一种作法：理由：理由：（1）DE BC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第二种作法：第二种作法：理由：理由：（1）ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：AC AEBCDADEBCM 第三种作法：第三种作法：理由：理由：（1）DE BC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第四种作法：第四种作法：理由：理由：（1）ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：ACABCEDABCEDMNMN第五种作法：第五种作法：理由：理由：（1）DE BC （2）ADE=ABC 或或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC 第六种作法：第六种作法：理由：理由：（1）ADE=ACB 或或AED=ABC （2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN 第七种作法第七种作法第七种作法第七种作法：（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：ABABD CMNADEBACBABCDADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB相似三角形基本图形的回顾：证明：证明：CD AB，E为为AC的中点的中点 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB=Rt A=FCD FDB=FCD FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例1 如图，CD是RtABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F。CEADFB这个图形中有几个相似三角形的基本图形求证：BDCF=CDDF2.画一画:如图,在ABC和DEF中,A=D=700,B=500,E=300,画直线a,把ABC分成两个三角形,画直线b,把DEF分成两个三角形,使ABC分成的两个三角形和DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据)300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200 (3).如图,P是ABC中AB边上的一点,要使ACP和ABC相似,则需添加一个条件:_ 。AB CPACP=B;或APC=ACB;或AP:AC=AC:AB即AC2=APAB3.在平面直角坐标系，B（1，0）,A（3，3）,C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与ABC相似，则点P的坐标是_.yABCxOP1.已知：如图，已知：如图，ABC中，中，P是是AB边上的一点，连边上的一点，连结结CP满足什么条件时满足什么条件时 ACPABC 解解:A=A，当当1=ACB（或（或2=B）时，时，ACPABC A=A，当当AC:APAB:AC时，时，ACPABC A=A，当当4ACB180时，时，ACPABC答：当答：当1=ACB 或或2=B 或或AC:APAB:AC或或4ACB180时时,ACPABC.APBC1241、条件探索型、条件探索型三、探索题三、探索题2.如图：已知如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当，当BD与与a、b之间满足怎样的关系式时，之间满足怎样的关系式时，两三角形相似两三角形相似DABCab解解:1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC CDB,1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC BDC，答：略答：略.1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来一写出来.C解：有相似三角形，它们是：解：有相似三角形，它们是：ADE BAE,BAE CDA，ADE CDA（ADE BAE CDA）2、结论探索型、结论探索型ABDEGF22.在在ABC中，中，ABAC，过，过AB上一点上一点D作直线作直线DE交另一边于交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论这些条件下可能出现的结论解题思路是：解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明多种解法和结论，再进行证明.3、存在探索型、存在探索型 如图如图,DE是是ABC的中位线，在射线的中位线，在射线AF上是否存上是否存在点在点M，使，使MEC与与ADE相似相似,若存在若存在,请先确定点请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.ADBCEF证明：连结证明：连结MC，DE是是ABC的中位线，的中位线，DEBC，AEEC，又又MEAC,AMCM，1=2，B=90，4 B=90，AF BC，AM DE,1=2，3=2,ADE MEC=90 ，ADE MECADBCEF123M解解:存在存在.过点过点E作作AC的垂线的垂线,与与AF交于一点交于一点,即即M点点(或作或作MCA=AED).4所谓存在性问题，一般是要求所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题没有的问题解题思路是：先假定所需探索的对解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明结论，否则给出肯定的证明 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 经典示例经典示例第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 【教你【教你读题读题】1 1读题时读题时要要结结合合图图形形，常在常在图图中中对对已知条件作相已知条件作相应应的的标标注注2 2明明确确非非图图形形条条件件有有三三个个：ABDABDCC；ABAB6 6；ADAD4.4.3 3明确本明确本题题的解的解题题目目标标：求：求线线段段CDCD的的长长【方法指【方法指导导】1 1求求线线段段长长度的常用途径：度的常用途径：利利用用勾勾股股定定理理；利利用用公公式式(如如面面积积公公式式、周周长长公公式式等等)；利用三角函数；利用三角函数；利用相似三角形利用相似三角形2 2获获得得比比例例式式的的常常用用途途径径有有两两个个：一一是是平平行行线线分分线线段段成成比比例例；二是相似三角形二是相似三角形对应边对应边成比例成比例第第1919讲讲相似三角形相似三角形 核心练习核心练习B B 解解析析 根根据据勾勾股股定定理理先先计计算算出出每每个个格格点点三三角角形形的的边边长长，再根据相似三角形的判定定理得出结论，应选再根据相似三角形的判定定理得出结论，应选B B.第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 经典示例经典示例第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 例例4 4 20142014陕西西 某某一一天天，小小明明和和小小亮亮来来到到一一河河边边，想想用用遮遮阳阳帽帽和和皮皮尺尺测测量量这这条条河河的的大大致致宽宽度度，两两人人在在确确保保无无安安全全隐隐患患的的情情况况下下，先先在在河河岸岸边边选选择择了了一一点点B(B(点点B B与与河河对对岸岸岸岸边边上上的的一一棵棵树树的的底底部点部点D D所确定的直所确定的直线线垂直于河岸垂直于河岸)小小明明在在点点B B面面向向树树的的方方向向站站好好，调调整整帽帽檐檐，使使视视线线通通过过帽帽檐檐正正好好落落在在树树的的底底部部点点D D处处，如如图图19191111所所示示，这这时时小小亮亮测测得得小小明明眼眼睛睛距距离离地地面面的的距距离离ABAB1.71.7米米；小小明明站站在在原原地地转转动动180180后后蹲蹲下下，并并保保持持原原来来的的观观察察姿姿态态(除除身身体体重重心心下下移移外外，其其他他姿姿态态均均不不变变)，这这时时视视线线通通过过帽帽檐檐落落在在了了DBDB延延长长线线上上的的点点E E处处，此此时时小小亮亮测测得得BEBE9.69.6米，小明的眼睛距地面的距离米，小明的眼睛距地面的距离CBCB1.21.2米米根据以上根据以上测测量量过过程及程及测测量数据，量数据，请请你求出河你求出河宽宽BDBD是多少米？是多少米？第第1919讲讲相似三角形相似三角形 图图19191111第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 【教你【教你读题读题】1 1初初读题读题，可以知道可以知道这这是一道是一道测测量量问题问题2 2读读懂懂题题意意，知道知道测测量工具和量工具和测测量方法量方法3 3除除了了关关注注数数据据条条件件，还还要要注注意意某某些些关关键键词词句句中中的的隐隐含含条条件件如如本本题题中中“调调整整帽帽檐檐，使使视视线线通通过过帽帽檐檐”“”“并并保保持持原原来来的的观观察察姿姿态态(除除身身体体重重心心下下移移外外，其其他他姿姿态态均均不不变变)，这这时视线时视线通通过过帽檐帽檐”蕴蕴含了含了BADBADBCE.BCE.4 4读读几几何何应应用用题题时时，要要善善于于把把物物体体抽抽象象成成几几何何图图形形，建建立立数数学学模模型型如如“树树的的底底部部”是是点点，由由“眼眼睛睛距距离离地地面面的的距距离离”想到了想到了线线段的段的长长度度，且且隐隐含着直角等含着直角等第第1919讲讲相似三角形相似三角形 【方法指【方法指导导】利利用用相相似似三三角角形形的的性性质质解解决决实实际际问问题题，通通常常寻寻找找相相似似三三角形角形，或添加平行或添加平行线线构造相似三角形构造相似三角形第第1919讲讲相似三角形相似三角形 核心练习核心练习A A第第1919讲讲相似三角形相似三角形 D D第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 1 14 4 第第1919讲讲相似三角形相似三角形 1.81.8或或2.5 2.5 第第1919讲讲相似三角形相似三角形