大一高数上_PPT课件_第三章.ppt

第第 三三 章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理定理定理(Rolle)若若函数函数f(x)满足满足（1）在闭区间）在闭区间a,b上连续上连续（2）在开区间）在开区间(a,b)内可导内可导（3）在区间端点处的函数值相等）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)例如例如,3.1 微分中值定理几何解释几何解释:若连续曲线弧的两个若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的处有不垂直于横轴的切线，切线，注注 Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等；区间端点处的函数值相等；这这三个条件只是充分条件，而非必要条件三个条件只是充分条件，而非必要条件如：如：y=x2在在-1,2上满足上满足(1),(2)，不满足，不满足(3)却在却在(-1,2)内有一点内有一点 x=0 使使但但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。三个条件缺一不可。例如例如,又例如又例如,在在0,1上除去上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的不连续外，满足罗尔定理的一切条件一切条件,再再例如例如在在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件定理的一切条件,罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；的点。有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点的具体函数，点也也不一定能指出是哪一点，不一定能指出是哪一点，如如在在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而上满足罗尔定理的全部条件，而但却但却不易找到使不易找到使但但根据定理，这样的点是存在的根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.例例1不不求求函函数数f(x)(x 1)(x 2)(x 3)的的导导数数,判判断断方方程程f (x)00有几个实根，以及其所在范围。有几个实根，以及其所在范围。解解：f(1)f(2)f(3)0，f(x)在在1,2，2,3上上满满足足罗尔定理的三个条件。罗尔定理的三个条件。在在(1,2)内至少存在一点内至少存在一点 x x1，使使 f (x x1)0，x x1是是 f (x)=0的一个实根。的一个实根。在在(2,3)内至少存在一点内至少存在一点 x x2，使使f (x x2)0，x x2也是也是f (x)=0的一个实根。的一个实根。f (x)=0是二次方程，只能有两个实根，分别在是二次方程，只能有两个实根，分别在区间区间(1,2)及及(2,3)内。内。二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:推推论论 如如果果函函数数f(x)在在区区间间I上上的的导导数数恒恒为为零零，那那么么f(x)在区间在区间I上是一个常数。上是一个常数。证证明明：在在区区间间I上上任任取取两两点点x1，x2(x1x2)，应应用用拉拉格朗日中值定理，就得格朗日中值定理，就得 f(x2)f(x1)f (x x)(x2 x1)(x1x x x2)。由假定，由假定，f (x x)0，所以所以f(x2)f(x1)0，即即 f(x2)f(x1)。因此因此 f(x)在区间在区间I上是一个常数。上是一个常数。证明：证明：设设f(x)ln(1 x)，显然显然f(x)在区间在区间0,x上满上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有 f(x)f(0)f (x x)(x 0)，0 x xx。又由又由0 x x0)。0.lim0 nxnx 解解：xxnxlnlim0+nxxx 0 lnlim10 1lim nxnxx 例例8 8解解步骤步骤:步骤步骤:例例9 9解解 1洛洛必必达达法法则则是是求求未未定定式式的的一一种种有有效效方方法法，但但最最好好能能与与其其它它求求极极限限的的方方法法结结合合使使用用。例例如如能能化化简简时时应应尽尽可可能能先先化化简简，可可以以应应用用等等价价无无穷穷小小替替代代或或重重要要极极限限时时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应注意的问题：应注意的问题：2本本节节定定理理给给出出的的是是求求未未定定式式的的一一种种方方法法。当当定定理理条条件件满满足足时时，所所求求的的极极限限当当然然存存在在(或或为为)，但但定定理理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。条件不满足时，所求极限却不一定不存在。所以不能用洛必达法则。所以不能用洛必达法则。但其极限是存在的：但其极限是存在的：第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式 多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，这是其从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，这是其它函数所不具备的优点它函数所不具备的优点。用多项式近似地表示给定函。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一、问题的提出一、问题的提出不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.二、泰勒二、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理-拉格朗日型余项拉格朗日型余项-佩亚诺型余项佩亚诺型余项麦克劳林麦克劳林(MaclaurinMaclaurin)公式公式三、简单的应用三、简单的应用解解代入公式代入公式,得得 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式解解第四节第四节 函数单调性与曲线凹凸性函数单调性与曲线凹凸性 导数符号与单调性导数符号与单调性 单调性的判定步骤单调性的判定步骤 凹凸与拐点的定义凹凸与拐点的定义 二阶导数符号与凹凸性二阶导数符号与凹凸性 凹凸与拐点的判定步骤凹凸与拐点的判定步骤一、单调性的判别法一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。定函数的单调性却是很不方便的。从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），曲线就是上升（下降）的线斜率都为正（负），曲线就是上升（下降）的 这这就就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性性？回答是肯定的。？回答是肯定的。定理定理例例1 1解解例例2 2解解单调减区间为单调减区间为单调增区间为单调增区间为二、单调区间求法二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点导数等于零的点(驻点驻点)和不可导点，可能是单调和不可导点，可能是单调区间的分界点区间的分界点单调区间求法单调区间求法:1.在在 f 的定义域上求的定义域上求 f 的零点及的零点及 f 不存在的点；不存在的点；2.2.用用 f 的零点及的零点及 f 不存在的点将不存在的点将 f 的定义区的定义区间划分为子区间；间划分为子区间；3.3.根据根据 f 在各子区间内的符号确定在各子区间内的符号确定 f 的单调性。的单调性。4.4.二、三两步可借助于表格方式完成。二、三两步可借助于表格方式完成。例例3 3解解xf (x)f(x)(,1)(1,2)(2,)xyO11y=x3说明说明:一般地，如果一般地，如果f (x)在某区间内在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处的有限个点处为零，在其余各点处均为正均为正(或负或负)时，那么时，那么f(x)在该区间在该区间上仍旧是单调增加上仍旧是单调增加(或单调减少或单调减少)的。的。例例4讨论函数讨论函数y x3的单调性。的单调性。解：解：函数的定义域为函数的定义域为(,)。y 3x2，当当x 0时，时，y 0。因因 为为 当当 x 0时时，y 0。所所 以以 函函 数数 y x3在在 区区 间间(,0及及0,)内都是单调增加的。内都是单调增加的。因此函数在整个定义域因此函数在整个定义域(,)内是单调增加的。内是单调增加的。注注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。一些不等式。因因为为当当x1时时，f (x)0，所所以以f(x)在在1,)上上f(x)单单调增加。因此当调增加。因此当x1时，时，f(x)f(1)0，即即 例例5证明：当证明：当x1时，时，xx132 。证证明明：令令)13(2)(xxxf ，则，则 三、曲线的凹凸性与拐点三、曲线的凹凸性与拐点定义定义:若曲线段向上（下）弯曲，若曲线段向上（下）弯曲，则称之为则称之为凹（凸）的。凹（凸）的。图形上任意弧段（图形上任意弧段（）位于所张弦的上方。位于所张弦的上方。图形上任意弧段（图形上任意弧段（）位于所张弦的下方。位于所张弦的下方。问题问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?的中点的中点的中点的中点 定义定义四、曲线凹凸的判定四、曲线凹凸的判定定理定理1 1例例6 6解解注意到注意到,xyO11y=x3五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义2.2.拐点的求法拐点的求法例例8 8解解凹凸与拐点的判定步骤凹凸与拐点的判定步骤例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点第五节第五节 函数的极值与函数的极值与 最大值最小值最大值最小值 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成曲线在升、降转折点处形成“峰峰”、“谷谷”，函，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。值得我们作一般性的讨论。一、函数极值的定义一、函数极值的定义 设设函函数数f(x)在在区区间间(a,b)内内有有定定义义，x0(a,b)x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x)f(a)和和 f(b)是否为极值？是否为极值？x U(x0)，有有f(x)f(x0)，则称则称f(x0)是函数是函数f(x)的一的一。如果如果 U(x0)，个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点取得极值的点称为极值点极值的定义：极值的定义：二二二二、函数的极值函数的极值函数的极值函数的极值取得极值的必要条件：取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的xyOabx1x2x3x4x5x6x7 y=f(x)定理定理1（必要条件）（必要条件）设函数设函数f(x)在点在点x0处可导，且在处可导，且在x0处取得处取得极值，那么极值，那么f (x0)0驻点：驻点：使导数为零的点使导数为零的点(即方程即方程f (x)0的实根的实根)叫函数叫函数f(x)的驻点的驻点应注意的问题：应注意的问题：可导函数可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但反过来，函数的极值点必定是函数的驻点但反过来，函数f(x)的驻点却不一定是极值点的驻点却不一定是极值点观察函数观察函数f(x)x在在x 0 0处的导数与极值情况处的导数与极值情况xyOy=x3在在 x=0处，处，f (0)0.但函数在但函数在x=0无极值无极值 定理定理2（第一充分条件）（第一充分条件）设函数设函数f(x)在点在点x0的一个邻域内连的一个邻域内连续，在续，在x0的左右邻域内可导的左右邻域内可导 (1)如果在如果在x0的某一左邻域内的某一左邻域内f (x)0，在在x0的某一右邻域内的某一右邻域内 f (x)0，那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极大值；处取得极大值；(2)如果在如果在x0的某一左邻域内的某一左邻域内f (x)0，那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极小值；处取得极小值；(3)如果在如果在x0的左右邻域内的左右邻域内f (x)不改变符号，那么函数不改变符号，那么函数f(x)在在 x0处没有极值处没有极值取得极值的第一充分条件：取得极值的第一充分条件：取得极值的第一充分条件的几何意义：取得极值的第一充分条件的几何意义：x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x)f (x)0 f (x)0 f (x)0在极小值点附近在极小值点附近在极大值点附近在极大值点附近例例1 1 求函数求函数f(x)1(x 2)2/3的极值的极值解解 (1)当当x 2时，时，(2)函数无驻点，函数无驻点，x 2是不可导点；是不可导点；(3)列表判断：列表判断：x f (x)f(x)(，2)2)2 2(2(2，)不存在不存在1极大值极大值函数函数f(x)在在x 2取得极大值，极大值为取得极大值，极大值为f(2)1确定极值点和极值的步骤：确定极值点和极值的步骤：(1)求出导数求出导数f (x)；(2)求出求出f(x)的全部驻点和不可导点；的全部驻点和不可导点；(3)列表判断（考察列表判断（考察f (x)的符号在每个驻点和不的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理值点，如果是极值点，还要按定理 2 确定对应的函确定对应的函数值是极大值还是极小值）；数值是极大值还是极小值）；(4)确定出函数的所有极值点和极值确定出函数的所有极值点和极值 函数函数f(x)的极大值为的极大值为f(1)10，极小值为极小值为f(3)22 例例2 2 求函数求函数f(x)x 3 3x 2 9x 5的极值的极值 解解 (1)f (x)3x 2 6x 9 3(x 1)(x 3)(2)令令3(x 1)(x 3)0，得驻点得驻点x 11，x 2 3 (3)列表判断：列表判断：(3,)22(,1)1(1,3)3 f (x)00 f(x)10极大极大极小极小x应注意的问题：应注意的问题：如果函数如果函数f(x)在驻点在驻点x 0处的二阶导数处的二阶导数f (x 0)0，那么点那么点x 0一定是极值点，并且可以按二阶导数一定是极值点，并且可以按二阶导数f (x 0)的符来判定的符来判定f(x 0)是是极大值还是极小值但如果极大值还是极小值但如果f (x 0)0，定理定理3就不能应用就不能应用 定理定理2(第二充分条件第二充分条件)设函数设函数f(x)在点在点x 0处具有二阶导数处具有二阶导数且且f (x 0)0，f (x 0)0，那么那么 (1)当当f (x 0)0时，函数时，函数f(x)在在x 0处取得极小值处取得极小值讨论讨论：函数：函数 f 1(x)x 4，f 2(x)x 3在点在点x 0是否有极值是否有极值？f 1(x)4x 3，f 1(0)0，f 1(x)12x 2，f 1(0)0当当x0时，时，f 1(x)0时，时，f 1(x)0 f 1(0)为极小值为极小值 f 2(x)3x 2，f 2(0)0，f 2(x)6x，f 2(0)0 f 2(x)0，f 2(0)不是极值不是极值 1012112xy101x1234y (2)令令f (x)0，求得驻点求得驻点x 11，x 2 0，x 3 1 (3)f (x)6(x 2 1)(5x 2 1)(4)因因f (0)60，所以所以x 0为为极小值点，极小值为极小值点，极小值为 f(0)0 (5)因因f (1)f (1)0，用定用定理理 3 无法判别无法判别 例例3 3 求函数求函数f(x)(x 2 1)3 1的极值的极值 解法一解法一(1)f (x)6x(x 2 1)2同理，同理，f(x)在在1处也没有极值处也没有极值 因为在因为在 1的左右邻域内的左右邻域内f (x)0，所以所以f(x)在在 1处没有极值；处没有极值；2101x12y f(x)(x 2 1)3 1 f (x)f(x)(1)f (x)6x(x 2 1)2 (2)令令f (x)0，求得驻点求得驻点x 11，x 2 0，x 3 1 (3)列表判断：列表判断：x(，1)1)11(1(1，0)0)0 0(0(0，1)1)1 1(1(1，)0 0+00无极值无极值无极值无极值极小值极小值 f(x)在在x 0处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为 f(0)0 解法二解法二极值与最值的关系：极值与最值的关系：x1x2x3x4x5xyOab y=f(x)最大值：最大值：f(b)，最小值：最小值：f(x3)观察：观察：三、函数的最大值、最小值三、函数的最大值、最小值三、函数的最大值、最小值三、函数的最大值、最小值x1x2x3x4x5xyOab y=f(x)最大值：最大值：f(x4)，最小值：最小值：f(x3)观察：观察：设设函函数数f(x)在在闭闭区区间间a，b上上连连续续，则则函函数数的的最最大大值值和和最最小小值值一一定定存存在在函函数数的的最最大大值值和和最最小小值值有有可可能能在在区区间间的的端端点点取取得得，如如果果最最大大值值不不在在区区间间的的端端点点取取得得，则则必必在在开开区区间间(a，b)内内取取得得，在在这这种种情情况况下下，最最大大值值一一定定是是函函数数的的极极大大值值因因此此，函函数数在在闭闭区区间间a，b上上的的最最大大值值一一定定是是函函数数的的所所有有极极大大值值和和函函数数在在区区间间端端点点的的函函数数值值中中最最大大者者同同理理，函函数数在在闭闭区区间间a，b上上的的最最小小值值一一定定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者极值与最值的关系：极值与最值的关系：设设f(x)在在(a，b)内内的的驻驻点点和和不不可可导导点点(它它们们是是可可能能的的极极值值点点)为为x1，x2，xn，则比较则比较f(a)，f(x 1)，f(x 2)，f(x n)，f(b)的的大大小小，其其中中最最大大的的便便是是函函数数f(x)在在a，b上上的的最最大大值值，最最小小的的便是函数便是函数f(x)在在a，b上的最小值上的最小值 求最大值和最小值的步骤：求最大值和最小值的步骤：(1)求出求出f(x)在在(a，b)内的所有驻点和不可导点；内的所有驻点和不可导点；(2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；(3)比较上述函数值，找出最大的和最小的比较上述函数值，找出最大的和最小的最大值和最小值的求法：最大值和最小值的求法：例例4 求函数求函数y 2x3 3x2 12x 14在在 3,4上的最大值与最小值上的最大值与最小值 解解 f(x)2x 3 3x 2 12x 14，f (x)6x 2 6x 12 6(x 2)(x 1)，解方程解方程f (x)0，得得 x12，x2 1，由于由于 f(3)2(3)3 3(3)2 12(3)14 23；f(2)2(2)3 3(2)2 12(2)14 34；f(1)2 3 12 14 7；f(4)24 3 34 2 124 14 142，比较可得比较可得f(x)在在 x 4取得它在取得它在 3，4上的最大值上的最大值f(4)142,在在x 1取得它在取得它在 3，4上的最小值上的最小值f(1)7 例例5 铁铁路路线线上上AB段段的的距距离离为为100km工工厂厂C距距A处处为为20km，AC垂垂直直于于AB为为了了运运输输需需要要，要要在在AB线线上上选选定定一一点点D向向工工厂厂修修筑筑一一条条公公路路已已知知铁铁路路每每公公里里货货运运的的运运费费与与公公路路上上每每公公里里货货运运的的运运费费之之比比3:5为为了了使使货货物物从从供供应应站站B运运到到工工厂厂C的的运运费费最最省，问省，问D点应选在何处？点应选在何处？100kmDABC20km最大值和最小值的应用：最大值和最小值的应用：解解 设设AD x(km)，则则 DB 100 x，100kmDABC20km 设从设从B点到点到C点需要的总运费为点需要的总运费为y，那么那么y 5kCD 3kDB(k是正数是正数)，即即先求先求y对对x的导数：的导数：，解方程解方程y 0，得得x 15其中以其中以y|x 15 380k为最小，因此当为最小，因此当AD x 15km时，总运费为最省时，总运费为最省 解解 设设AD x(km)，则则 DB 100 x，设从设从B点到点到C点需要的总运费为点需要的总运费为y，那么那么y 5kCD 3kDB(k是某个正数是某个正数)，即即 如如果果f(x)在在一一个个区区间间(有有限限或或无无限限，开开或或闭闭)内内可可导导且且只只有有一一个个驻驻点点x0，并并且且这这个个驻驻点点x0是是函函数数f(x)的的极极值值点点，那那么么，当当f(x0)是是极极大大值值时时，f(x0)就就是是f(x)在在该该区区间间上上的的最最大大值值；当当f(x0)是是极极小小值值时时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最小值在该区间上的最小值特殊情况下的最大值与最小值：特殊情况下的最大值与最小值：f(x0)Oa x0 b x y f(x)y f(x0)Oa x0 b x y f(x)y 应应当当指指出出，实实际际问问题题中中，往往往往根根据据问问题题的的性性质质就就可可以以断断定定函函数数f(x)确有最大值或最小值，这时如果确有最大值或最小值，这时如果f(x)在定义区间内部只有一在定义区间内部只有一个驻点个驻点x0，那么不必讨论那么不必讨论f(x0)是否是极值，就可以断定是否是极值，就可以断定 f(x0)是最是最大值或最小值大值或最小值 把一根直径为把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁问矩的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高形截面的高h和宽和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W 最大最大?其中其中d hb 解解 b 与与h 有下面的关系：有下面的关系：h 2 d 2 b 2，例例6 由于梁的最大抗弯截面模量在由于梁的最大抗弯截面模量在(0，d)内一定存在，而函数内一定存在，而函数W在在(0，d)内只有一个驻点，内只有一个驻点，W的值最大这时，的值最大这时，于是有于是有 f (x)0，f (x)0，abxyO y=f(x)ab函数单调增加函数单调增加 f (x)0，复习：复习：3.6 与函数图像的描绘与函数图像的描绘xyO函数单调减少函数单调减少曲线是曲线是凹的凹的 y=f(x)f (x)0，abxyO y=f(x)ab函数单调减少函数单调减少曲线是曲线是凸的凸的 f (x)0，f (x)0，相反时相反时s0 xyOM0 x0Mxs0 显然弧显然弧 s 是是 x 的函数：的函数：s s(x)，而且而且s(x)是是x的单调增加函的单调增加函数数一、弧微分一、弧微分 设设x,x+D Dx 为为(a，b)内内 两两 个个 邻邻 近近 的的 点点，它它 们们 在在 曲曲 线线 y f(x)上上的的对对应应点点为为M，M，并并设设对对应应于于x的的增增量量D Dx，弧弧 s 的的增增量为量为D Ds，于是于是 下面来求下面来求s(x)的导数及微分的导数及微分M0MM x0 x x+D DxD DxD DyxyOD Ds 1，因为因为因此因此由于由于s s(x)是单调增加函数，从而是单调增加函数，从而于是于是ds M0MM x0 x x+D DxD DxD DyxyOD Ds弧微分公式弧微分公式二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义)j jM1M2N1N2 设设曲曲线线C是是光光滑滑的的，曲曲线线 线线C上上 从从 点点M 到到 点点M 的的 弧弧为为D Ds，切切线线的的转转角角为为D Da a 平均曲率：平均曲率：曲率：曲率：M0MM D DsDaDa xyOa a+DaDa)a a)sC)曲率的计算公式：曲率的计算公式：设曲线的直角坐标方程是设曲线的直角坐标方程是y f(x)，且且f(x)具有二阶导数具有二阶导数于是于是从而，有从而，有因为因为tan a a y ，所以所以注意注意(1)直线的曲率直线的曲率(2)圆上各点处的曲率圆上各点处的曲率 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数.圆的半径越小曲率越大圆的半径越小曲率越大.)yxo 例例1 1 计算等边双曲线计算等边双曲线x y 1在点在点(1(1，1)1)处的曲率处的曲率解解因此，因此，y|x 11，y|x 1 2曲线曲线x y 1在点在点(1，1)处的曲率为处的曲率为 例例2 2 抛物线抛物线y ax2 bx c上哪一点处的曲率上哪一点处的曲率最大？最大？解解 由由y ax2 bx c，得得 y 2ax b，y2a，代入曲率公式，得代入曲率公式，得要使要使K 最大，只须最大，只须2ax b 0，抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为K|2a|对应的点为对应的点为 曲线在点曲线在点M处的曲率处的曲率K(K 0)与曲线在点与曲线在点M处的曲率半径处的曲率半径 r r 有如下关系：有如下关系：曲线在曲线在M点的曲率中心点的曲率中心三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径M y=f(x)xyOD r r曲线在曲线在M点的曲率半径点的曲率半径曲线在曲线在M点的曲率圆点的曲率圆定义定义 例例3 3 设工件表面的截线为抛物线设工件表面的截线为抛物线y 0.4x 2现在要用砂轮磨削其内表面现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？问用直径多大的砂轮才比较合适？42O2xy y=0.4 x2 解解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径y 0.8x，y0.8，y|x 0 0，y|x 0 0.8抛物线顶点处的曲率半径为抛物线顶点处的曲率半径为所以选用砂轮的半径不得超过所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过单位长，即直径不得超过2.50单位长单位长 0.8把它们代入曲率公式，得把它们代入曲率公式，得y 0.4x 2,r=K1=1.25