数列极限的定义.ppt

引例引例:截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”2、数列、数列数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列,可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取注意注意:a1a5a4a3a2an例如例如数列的极限数列的极限当n无限增大时,an无限接近于a.当n无限增大时,|an-a|无限接近于0.当n无限增大时,|an-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|an-a|能小于事先给定的任意小的正数.当n无限增大时,如果数列an的一般项an无限接近于常数a,则数列an收敛a.因此,如果 n 增大到一定程度以后,|an-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,an无限接近于常数a.问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.通过观察通过观察:我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的距离距离来刻化两个数来刻化两个数的的接近程度接近程度.随着随着n的增加，的增加，1/n会越来越小会越来越小.随着随着n的增加，的增加，1/n会越来越小会越来越小.例如例如x为取整函数为取整函数只要只要n无限增大，无限增大，an 就会与就会与1无限靠近无限靠近,引入符号引入符号 和和N来刻化无限靠近和无限增大来刻化无限靠近和无限增大.注意注意:aa-ea+e()几何解释几何解释:例1，数列 ，都没有极限.如果当 无限增大时，数列 不能接近于一个确定的常数，则称数列 没有极限，或称数列 发散，记作 不存在.当 无限增大时，如果 无限增大，则数列没有极限.这时，习惯上也称数列 的极限是无穷大，记作 例例2 2证证用定义证明用定义证明 an=a，就是证明对，就是证明对 0，N存在存在.证明的步骤：证明的步骤：(1)对于任意给定的正数对于任意给定的正数 ,令令|an a|();(3)取取N=(),再用再用 N语言顺述结论语言顺述结论.注注意意:(1)由由于于N 不不唯唯一一,不不要要求求最最小小的的N,故故可可把把|an a|适当放大适当放大,得到一个新的不等式得到一个新的不等式,再寻找再寻找 N.(2)从从|an a|找找 N 与解不等式与解不等式|an a|意义不同意义不同.例例3 3证证只要只要n无限增大，无限增大，an 无法与始终和无法与始终和1无限靠近无限靠近,也无法和始终和也无法和始终和1无限靠近。无限靠近。