线性代数-矩阵的运算.ppt

上页上页下页下页返回返回第二节第二节 矩阵的计算矩阵的计算 一、一、矩阵的加法矩阵的加法 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘 四、四、矩阵转置矩阵转置 五、方阵的行列式五、方阵的行列式 六、六、共轭矩阵共轭矩阵 七、矩阵的应用七、矩阵的应用上页上页下页下页返回返回、定义、定义一、矩阵的加法一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为上页上页下页下页返回返回说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如例如上页上页下页下页返回返回2 2、矩阵加法的运算规律、矩阵加法的运算规律二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘1 1、定义、定义上页上页下页下页返回返回2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）上页上页下页下页返回返回矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算.三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回、定义、定义设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中上页上页下页下页返回返回并把此乘积记作并把此乘积记作例例设设例例2 2上页上页下页下页返回返回故故解解上页上页下页下页返回返回注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;注意注意矩阵乘积一般不满足交换律例例 设设上页上页下页下页返回返回则则方阵的幂上页上页下页下页返回返回例3上页上页下页下页返回返回例4 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回四、矩阵转置四、矩阵转置定义上页上页下页下页返回返回转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质上页上页下页下页返回返回证明：由矩阵乘法定义有：上页上页下页下页返回返回设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 称为称为对称阵对称阵.说明说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.上页上页下页下页返回返回例例5 5 设列矩阵设列矩阵 满足满足 证明证明上页上页下页下页返回返回五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质上页上页下页下页返回返回证明：(1)由行列式性质即得（2）多次利用行列式性质3，有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回最后得到最后得到上页上页下页下页返回返回定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵性质性质证明证明则则称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.上页上页下页下页返回返回六、共轭矩阵六、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵.故故同理可得同理可得上页上页下页下页返回返回运算性质运算性质（设设 为复矩阵，为复矩阵，为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:上页上页下页下页返回返回七七矩阵的应用矩阵的应用上页上页下页下页返回返回方程组可以表示为矩阵形式方程组可以表示为矩阵形式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回八、小结八、小结矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵（对称矩阵）（对称矩阵）方阵的行列式方阵的行列式（伴随矩阵）（伴随矩阵）共轭矩阵共轭矩阵上页上页下页下页返回返回（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同不同.上页上页下页下页返回返回思考题思考题成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答答答故故 成立的充要条件为成立的充要条件为