衍射的基本原理.ppt

第第4章章 光的衍射光的衍射(Diffraction)在在基尔霍夫标量衍射理论基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最的基础上，研究两种最基本的衍射现象和应用：基本的衍射现象和应用：菲涅耳衍射菲涅耳衍射(近场衍射近场衍射)夫琅和费衍射夫琅和费衍射(远场衍射远场衍射)光光的衍射现象的衍射现象(Diffraction phenomena)定义定义:光的衍射是指光波相传播过程中遇到障碍物光的衍射是指光波相传播过程中遇到障碍物时，所发生的时，所发生的偏离直线传播的现象偏离直线传播的现象。1)光可统过障碍物光可统过障碍物;2)在障碍物后呈现出光强的不均匀分布。在障碍物后呈现出光强的不均匀分布。圆孔衍射圆孔衍射单缝衍射单缝衍射*光光的衍射现象的衍射现象(Phenomena of diffraction)光光的衍射现象的衍射现象(Phenomena of diffraction)变小变小模糊模糊同心圆环同心圆环圆环增大圆环增大当使用单色光源时，这是一组明暗相间的当使用单色光源时，这是一组明暗相间的同心环带同心环带，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带彩色环带。光的衍射现象与光的干涉现象就其实质来讲，都是光的衍射现象与光的干涉现象就其实质来讲，都是相干相干光波叠加引起的光强的更新分布光波叠加引起的光强的更新分布，所不同之处，所不同之处在于在于:(1)干涉现象是干涉现象是有限个相干光波的叠加有限个相干光波的叠加;(2)衍射现象则是衍射现象则是无限多个相干光波的叠加无限多个相干光波的叠加结果。结果。光光的衍射现象的衍射现象(Phenomena of diffraction)衍射现象约特殊性，在衍射现象约特殊性，在数学上遇到数学上遇到了很大的困难，了很大的困难，以至许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而，以至许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而，实际的衍射理论都是一些实际的衍射理论都是一些近似解法近似解法。光光的衍射现象的衍射现象(Phenomena of diffraction)下面介绍的下面介绍的基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论就是一种适用于就是一种适用于标量标量波波的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。光光的衍射现象的衍射现象(Phenomena of diffraction)惠更斯惠更斯次波波源次波波源菲涅耳菲涅耳相干相干叠加叠加基尔霍夫基尔霍夫数学表达式数学表达式平面波平面波球面波球面波 S4.1.2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle)惠更斯原理惠更斯原理:根据惠更斯根据惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理:可以看作是可以看作是 S 和和 P 之间之间任一波面任一波面上各点发出的上各点发出的次波在次波在 P 点相干叠加的结点相干叠加的结果果。4.1.2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle)RrPSzzQ则则 d 面元上的次波源对面元上的次波源对 P 点光场的贡献为点光场的贡献为4.1.2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle)C 是是比例系数比例系数，K()称为称为倾斜因子倾斜因子，它是与，它是与元波面法线和元波面法线和的夹角的夹角(称为称为衍射角衍射角)有关的量有关的量按照菲涅耳的假设：当按照菲涅耳的假设：当0 时，时，K 有最大值；随着有最大值；随着 的增大，的增大，K 迅速减小，当迅速减小，当 /2 时，时，K0。4.1.2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle)RrPSzzQ所以所以 P 点的光场复振幅为点的光场复振幅为这就是惠更斯这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为菲涅耳原理的数学表达式，称为惠惠更斯更斯菲涅耳公式菲涅耳公式。4.1.2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle)当当S 是点光源时，是点光源时，Q 点的光场复振幅为点的光场复振幅为4.1.2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle)RrPSzzQ由于由于 K()的具体形式未知的具体形式未知，不可能由，不可能由(1)式确切地式确切地确定确定值。因此，从理论上来讲，这个原理是不值。因此，从理论上来讲，这个原理是不够完善的。够完善的。4.1.2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle)4.1.3 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula)基尔霍夫从微分波动方程出发基尔霍夫从微分波动方程出发,利用利用格林定理格林定理,给出了惠给出了惠更斯更斯菲涅耳原理菲涅耳原理较完善的数学较完善的数学表达式。表达式。1构成封闭曲面；构成封闭曲面；1 围成空间区域围成空间区域；4.1.3 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula)他将空间他将空间 P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点点光场建立起了联系，得到了光场建立起了联系，得到了倾斜因子倾斜因子K()的具体的具体表达式，建立起了光的衍射理论。表达式，建立起了光的衍射理论。4.1.3 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula)这个理论将光场当作这个理论将光场当作标量标量来处理，只考虑电场或磁来处理，只考虑电场或磁场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它有关分场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它有关分量也可以用同样方法独立处理，量也可以用同样方法独立处理，完全忽略了电磁场完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，矢量分量间的耦合特性，因此称为标量衍射理论。因此称为标量衍射理论。1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理假设有一个单色光波通过闭合曲面假设有一个单色光波通过闭合曲面 传播，在传播，在 t 时时刻、刻、空间空间 P 点处的光电场为点处的光电场为VnnP1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理若若P 是无源点，该光场应满足如下的是无源点，该光场应满足如下的标量波动方标量波动方程程：VnnP1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理将将(3)式代入，可得式代入，可得式中，式中，k=/c，该式即为，该式即为亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程。1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理现在假设有另一个现在假设有另一个任意复函数任意复函数，它也满足亥姆霍，它也满足亥姆霍兹方程兹方程且在且在 面内和面内和 面上有连续的一、二阶偏微商面上有连续的一、二阶偏微商(个别个别点除外点除外)。1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理如果作积分如果作积分表示表示在在 上每一点沿向外法线方向的偏微商。上每一点沿向外法线方向的偏微商。VnnP1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理则由则由格林定理格林定理，有，有式中，式中，V 是是 面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被积函数在左边的被积函数在 V 内处处为零内处处为零。1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理这个函数除了在这个函数除了在 r=0 点外点外，处处解析处处解析。因而因而根据根据 所满足的条件，可以选取所满足的条件，可以选取 为为球面波的波函球面波的波函数数：1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理VnnP(6)式中的式中的 应选取图所示的应选取图所示的复合曲面复合曲面+，其中，其中 是包围是包围 P 点、半径为小量点、半径为小量的球面。该积分为的球面。该积分为1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理由由(7)式，有式，有VnnP1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理对于对于 面上的点，面上的点，cos(n,r)1，r，所以，所以，1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理因此因此 的球面积为的球面积为时时1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理这就是这就是亥姆霍兹亥姆霍兹基尔霍夫积分定理基尔霍夫积分定理。故有故有1.基尔基尔霍霍夫积分定理夫积分定理它将它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面点的光场与周围任一闭合曲面 上的光场上的光场联联系了起来系了起来：2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某在某些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。形式。2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式如图所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一如图所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔开孔，用点光源，用点光源 S 照明，照明，并设并设 的线度的线度 满足满足SPR21r(n,r)lnQ(n,l)2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式围绕围绕 P 点作一闭合曲面。点作一闭合曲面。该闭合曲面由该闭合曲面由三部分组成三部分组成：开孔开孔，不透明屏的部分背照面，不透明屏的部分背照面1，以，以 P 点为中心、点为中心、R 为半径的大球的部分球而为半径的大球的部分球而2。SPR21r(n,r)lnQ(n,l)2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式在这种情况下，在这种情况下，P 点的光场复振幅点的光场复振幅为为SPR21r(n,r)lnQ(n,l)下面确定这下面确定这三个面上三个面上的的和和。2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式在上在上，和和的值由入射波决定，的值由入射波决定，与不存在与不存在屏时的值完全相同屏时的值完全相同。因此。因此A 是离点光源单位距离处的振幅，是离点光源单位距离处的振幅，cos(n,l)表示外向表示外向法线法线 n 与从与从 S 到到 上某点上某点Q 的矢量的矢量 l 之间夹角的之间夹角的余弦。余弦。2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式在不透明屏的背照面在不透明屏的背照面l 上，上，。通常称这两个假定为通常称这两个假定为基尔霍夫边界条件基尔霍夫边界条件。应当指出，这两个假应当指出，这两个假定都是定都是近似近似的，因为的，因为屏的存在必然会干扰屏的存在必然会干扰 处的场，处的场，特别是开特别是开孔边缘附近的场孔边缘附近的场。SPR21r(n,r)lnQ(n,l)2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式对于对于2 面，面，rR，cos(n,R)1，且有，且有SPR21r(n,R)lnQ(n,l)n2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式因此，因此，在在2 上的积分上的积分为为 是是2 对对 P 点所张的立体角，点所张的立体角，d 是立体角元。是立体角元。2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式SPR21r(n,r)lnQ(n,l)扇形面积的计算公式：扇形面积的计算公式：2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式(索末菲辐射条件索末菲辐射条件)，而当，而当 R时，时，(eikR/R)R 是有是有界的，所以上面的积分在界的，所以上面的积分在 R时时(球面半径球面半径 R 取得取得足够大足够大)为零。为零。索末菲索末菲指出，在辐射场中指出，在辐射场中2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式通过上述讨论可知，在通过上述讨论可知，在(11)式中，式中，只需要考虑对孔径只需要考虑对孔径面面 的积分的积分，即即2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式将将(12)式代入上式，式代入上式，略去法线微商中的略去法线微商中的 l/r 和和 1/l(它它们比们比 k 要小得多要小得多)项项，得到，得到此式称为此式称为菲涅耳菲涅耳基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式。2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式与与(1)式进行比较，可得式进行比较，可得2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 P 点的光场是点的光场是 上无穷多次波源产生的，上无穷多次波源产生的，次波次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅源的复振幅与入射波在该点的复振幅 成正成正 比，与波长比，与波长 成反比。成反比。2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 因子因子(-i)表明，次波源的振动相位超前于入射波表明，次波源的振动相位超前于入射波 /2；SPR21r(n,r)lnQ(n,l)2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式倾斜因子倾斜因子 K()表示了表示了次波的振幅在各个方向上是次波的振幅在各个方向上是不同的不同的，其值在，其值在 0 与与 1 之间。之间。SPR21r(n,r)lnQ(n,l)2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式如果一平行光垂直入射到如果一平行光垂直入射到 上，则上，则 cos(n,l)=1，cos(n,r)=cos，因而，因而SPR21r(n,r)lnQ(n,l)2.基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式当当0 时，时，K()1，这表明在波面法线方向上的次这表明在波面法线方向上的次波贡献最大波贡献最大；当；当 时，时，K()0。这一结论说明，。这一结论说明，菲涅耳在关于次波贡献的研究菲涅耳在关于次波贡献的研究中假设中假设 K(/2)0 是不是不正确的正确的。3.基尔霍夫衍射公式的近似基尔霍夫衍射公式的近似菲涅耳菲涅耳基尔霍夫衍射公式，因被积函数形式复杂基尔霍夫衍射公式，因被积函数形式复杂而得不到解析形式的积分结果。为此，而得不到解析形式的积分结果。为此，必须根据实必须根据实际条件进一步作近似处理。际条件进一步作近似处理。1)傍轴近似傍轴近似对于对于傍轴光线傍轴光线，如图所示的开孔，如图所示的开孔 的线度和观察屏的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离。上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离。y1x1yxrz1QPP0OK 的线度的线度 Z11)傍轴近似傍轴近似 cos(n,r)1，于是于是 K()1；r z1。因此因此,下面的两个近似条件通常都成立：下面的两个近似条件通常都成立：y1x1yxrz1QPP0OKSPR21r(n,r)lnQ(n,l)1)傍轴近似傍轴近似在这里，指数中的在这里，指数中的 r 未用未用 z1 代替代替。这样，这样，(14)可以简化为可以简化为2)距离近似距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似菲涅耳近似和夫朗和费近似若在离若在离 很近的很近的 K1 处观察透过的光，可以看作是圆处观察透过的光，可以看作是圆孔的投影孔的投影,这时光的传播大致可以看作是这时光的传播大致可以看作是直线传播直线传播。几何投影区几何投影区菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区夫朗禾费夫朗禾费衍射区衍射区MK1K2K3K42)距离近似距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似菲涅耳近似和夫朗和费近似若距离再远些，如在若距离再远些，如在 K2 面上观察时，随着观察平面上观察时，随着观察平面距离的增大，面距离的增大，环纹中心表现出从亮到暗，又从暗到环纹中心表现出从亮到暗，又从暗到亮的变化。亮的变化。几何投影区几何投影区菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区夫朗禾费夫朗禾费衍射区衍射区MK1K2K3K42)距离近似距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似菲涅耳近似和夫朗和费近似当观察平面距离很远时，如在当观察平面距离很远时，如在 K4 位置，位置，观察距离观察距离再增大，只是光斑扩大，但光斑形状不变。再增大，只是光斑扩大，但光斑形状不变。几何投影区几何投影区菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区夫朗禾费夫朗禾费衍射区衍射区MK1K2K3K42)距离近似距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似菲涅耳近似和夫朗和费近似在在 K2、K3 及其前后的范围内的衍射现象及其前后的范围内的衍射现象称为菲涅耳衍称为菲涅耳衍射射，而在很远处，而在很远处(如如 K4 面上面上)的衍射现象的衍射现象称为夫朗和费称为夫朗和费衍射。衍射。几何投影区几何投影区菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区夫朗禾费夫朗禾费衍射区衍射区MK1K2K3K42)距离近似距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似菲涅耳近似和夫朗和费近似用基尔霍夫衍射公式计算近场和远场衍射时，可以用基尔霍夫衍射公式计算近场和远场衍射时，可以按照离衍射孔的距离将衍射公式进行简化按照离衍射孔的距离将衍射公式进行简化。当然，近场、远场的划分是相对的，对一定波长当然，近场、远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，的光来说，衍射孔径愈大，相应的近场与远场的距衍射孔径愈大，相应的近场与远场的距离也愈远离也愈远。(1)菲涅耳近似菲涅耳近似y1x1yxrz1QPP0OK如图所示，设如图所示，设 ，则由几何关系有，则由几何关系有(1)菲涅耳近似菲涅耳近似(1)菲涅耳近似菲涅耳近似当当 z1 大到满足大到满足时，时，上式第三项及以后的各项都可略去，上式第三项及以后的各项都可略去，(1)菲涅耳近似菲涅耳近似这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫射现象叫菲涅耳衍射菲涅耳衍射。简化为简化为(1)菲涅耳近似菲涅耳近似在菲涅耳近似下，在菲涅耳近似下，P 点的光场复振幅为点的光场复振幅为当观察屏离孔的距离很大，满足当观察屏离孔的距离很大，满足时，时，(2)夫朗相费近似夫朗相费近似可将可将 r 进一步简化为进一步简化为(2)夫朗相费近似夫朗相费近似这一近似称为夫朗和费近似，在这个区域内观察到的这一近似称为夫朗和费近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫衍射现象叫夫朗和费衍射夫朗和费衍射。(2)夫朗相费近似夫朗相费近似在夫朗和费近似下，在夫朗和费近似下，P 点的光场复振幅为点的光场复振幅为菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射情况，情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离 z1 与与衍射孔的线度衍射孔的线度(x1，y1)之间的之间的相对大小。相对大小。2)距离近似距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似菲涅耳近似和夫朗和费近似