质点的运动微分方程.ppt

理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程第十章第十章 质点的运动微分方程质点的运动微分方程10101 1 动力学基本问题动力学基本问题10102 2 质点运动微分方程质点运动微分方程10103 3 质点动力学两类基本问题质点动力学两类基本问题理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程 出自牛顿名著自然哲学之数学原理，总结了伽利略和惠更斯的研究成果。使用条件：使用条件：动力学基本定律是动力学的基础，但它们只能直接应用于质点，对于质点系和刚体，应将它们分别应用于每一质点，然后推导出刚体和质点系的运动规律。主要内容：主要内容：牛顿三定律 第一定律第一定律：（又称惯性定律）10101 1 动力学基本定律动力学基本定律理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程质点如不受其它物体（力）作用，则将保持质点如不受其它物体（力）作用，则将保持静止或匀速直线运动的状态。静止或匀速直线运动的状态。任何质点保持其运动状态不变的特性，称为惯性惯性。而质点的匀速直线运动又称为惯性运动惯性运动。惯性运动的现象惯性运动的现象：站在匀速直线运动汽车上的人，在汽车突然刹车时向前倾倒，即为惯性的缘故。第二定律第二定律：（力与加速度之间关系的定律）质点受到力作用时所获得的加速度，其大小与质点受到力作用时所获得的加速度，其大小与力的大小成正比，而与质点的质量称正比；加力的大小成正比，而与质点的质量称正比；加速度的方向与力的方向相同速度的方向与力的方向相同。理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程 式为质点的加速度，m为质点的质量。F为作用于质点上之外力。若同时受到几个力作用，则（101）由式（1）知：以同样的力作用在质点上，当质量m愈大，则加速度a愈小，质点愈不容易改变它的运动状态。因此，质点的质量是其惯性的度量质点的质量是其惯性的度量。对于质量而言，当质点的速度只有在v远小于cm情况，m才认为是常量，因为存在 理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程存在的关另重量和质量系：其中g为重力加速度，一般取为g=9.81m/s2。在国际单位指中，长度、质量和时间是基本单位，它们分别为m、kg和s，离地单位是导出单位，即事质量为1kg的物体产生1m/s2的加速度时，作用于改质量的力称为1N。1N=1kg 1m/s2=1m.kg/s2理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程第三定律第三定律：（作用力与反作用力定律）两个物体相互作用的力，总是大小相等、方两个物体相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，且同时分别作用在两向相反、沿同一直线，且同时分别作用在两个物体上。个物体上。此定律既适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程 由动力学第二定律，建立了质点加速度与它的受力（合外力）之间的关系式：（102）由代入上式有，（103）矢量形式的质点运动方程。1010 2 2 质点运动微分方程质点运动微分方程 理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程1.1.直角坐标系的投影式直角坐标系的投影式 将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上：（104）上述即为直角坐标形式的质点运动微分方程。zxyMry xz o理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程2.2.自然坐标系的投影式自然坐标系的投影式 切线轴，主法线轴n，副法线轴b，考虑到，（105）上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程 用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。包括两类问题包括两类问题 已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅用到微分运算，故又称为微分问题。已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。10103 3 质点动力学两类基本问题质点动力学两类基本问题 理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程【典型题精解典型题精解】例例10-1 如图所示为在倾斜轨道上运动的加料子车，其速度 的变化规律如图（b）所示，求下列三段时间内钢绳的拉力 FT：（1）t=03s；（2）t=315s；（3）t=1520s。已知车重P=200N。设轨道frition不计。【解解】已知运动求力属第一类问题。取加料子车为研究对象，画出受力图。理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程 由于加料子车在提升过程中，在各段内加速度不同，故钢丝绳拉力也不同。（1）当t=03s时，小车做匀加速运动，故其加速度为 X方向：又 故（1）将此式代入（1）式，有 理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程 例例10-2.炮弹以初速度发射，与水平线的夹角为，如图所示。假设不计空气阻力合地球自转的影响，求炮弹在重力作用下的运动方程和轨迹。（2）t=315s，匀速，故（3）t=1520s，匀减速，故【解解】以炮弹为研究对象，并视为质点。因不考虑地球自转影响，故炮弹的运动轨迹为一平面曲线。取质点的原始位置为坐标原点，坐标轴如图所示。理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程已知力求运动轨迹属第二类问题。由直角坐标形式的质点运动微分方程(1)(2)积分式（1），得：t=0时，得 于是有，（3）再积分式（2），有 理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程当t=0时，代入上式得：于是有（4）式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。将（3）、（4）式中的t消去，得炮弹得轨迹为由解析几何知，这是位于铅直面内得一条抛物线。理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程 例例1010-3 3 重量为P25kN的物块，从静止开始以匀加速度a提升，如图所示。经过0.25s，速度达到0.6m/s，试求绳子的拉力FT。【解解】该问题属于质点动力学的第一类问题。有即 由于a为常量，故 c为积分常数，由运动的始、末条件确定。带入（1）式，得由质点运动微分方程 理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程有则 例例1010-4 4 如图所示得摆动输送机，由曲柄带动货架AB输送木箱M，两曲柄等长，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，设在45处由静止开始启动，已知曲柄O1A的初角加速度0=5rad/s2。如启动瞬时木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系数是多少？（a)(b)【解解】以木箱为研究对象，作受力分析如图所示。理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB杆作平面曲线运动。设木箱与货架无相对滑动，木箱的加速度应与A点的加速度相同，由于启动瞬时货架各点的速度为零，故 建立图示坐标系，有 根据静滑动摩擦力的性质有：(b)理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程解方程组：可得：为保证木箱与货架在启动瞬时不相对滑动，所需最小的静滑动摩擦系数为：【思考题思考题】1 1选择题选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程()Aa、b都正确。Ba、b都不正确。Ca正确，b不正确。Da不正确，b正确。A A (2)重量为P的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路面最低点时，对路面的压力如何?（）A.压力大小等于P。B.压力大小大于P。C.压力大小小于P。D.已知条件没给够，无法判断。B B理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程 （3）质量为m的质点，自A点以初速度v0 向上斜抛。试问质点在落地前，其加速度大小、方向是否发生变化？（空气阻力不计）（）A.加速度大小不变、而方向在变化。B.加速度大小在变化、而方向不变。C.加速度大小、方向都在变化。D.加速度大小、方向都不变化。D D2 2判断题判断题 （1）质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相.（）错错（2）已知质点的运动方程就可确定作用于质点上的力；已知作用于质点上的力也可确定质点的运动方程。（）错错理论力学电子教程理论力学电子教程第十章第十章 质点运动微分方程质点运动微分方程3 3如图所示，重为P的小球用两绳悬挂。若将绳AB突然剪断，则小球开始运动。求小球刚开始运动瞬时绳AC的拉力及AC在铅垂位置时的拉力。答案：答案：