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第三章 习题11.原子质量为m，间距为a，恢复力常数为的一维简单晶格，频率为格波un=Acos(t-qna).求(1)该波的总能量，(2)每个原子的时间平均总能量2(1)格波的总能量为各原子能量的总和，其中第n个原子的动能为解答解答而该原子与第n+1个原子之间的势能为若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为3将代入上式得：设为原子振动的周期，利用可得式中为原子总数4（）每个原子的时间平均总能量则为再利用色散关系便得到每个原子的时间平均能量52一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同，分别为1和2，晶格常数为a，求原子的运动方程及色散关系.6此题实际是一双原子分子链设相邻分子间两原子的力常数为2，间距为b；分子内两原子力常数为1；晶格常数为a.第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为un-1,un,un+1,un+2,第n-1与第n+1个原子属于同一种原子，第n与第n+2个原子属于同一种原子.第n和第n+1原子受的力分别为解答解答7其运动方程分别为设格波的解分别为8代入运动方程，得整理得由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即9解上式可得：由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为光学格波的色散关系为105设有一长度为的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为m+和m-，近邻两离子的互作用势为 ，式中e为电子电荷，b和n为参量常数，求(1)参数b与e，n及a的关系；(2)恢复力系数；(3)q=0时光学波的频率0；(4)长声学波的速度vA；(5)假设光学支格波为一常数，且=0，对光学支采用爱因斯坦近似，对声学波采用德拜近似，求晶格热容。11(1)若只计近邻离子的相互作用，平衡时，近邻两离子的互作用势能取极小值，即要求解答解答由此得到(2)恢复力系数12(3)光学波频率的一般表达式参见固体物理教(321)式对于本题，a=2a，1=2=，m=m+，M=m-所以q=0的光学波频率13(4)由固体物理教程(3.25)式可知，长声学波频率对于本题长声学波的速度14光学波对热容的贡献其中E是爱因斯坦温度，其定义为按照德拜模型，声学波的模式密度(5)按照爱因斯坦模型，光学波的热振动能q布里渊区允许的波矢数目等于原胞数目L/2a每个波矢点占据区域：15波矢密度利用 =vAq声学波在dq的模式数目d=vAdqq声学波的模式密度16声学波的热振动能其中D和D分别为德拜频率和德拜温度德拜频率可由下式求得17声学波对热容的贡献在高温情况下，ex=1+x，上式化成先求出高温时的a，再求CVA更容易18在甚低温条件下，其中是一常数晶格的热容199求一维简单晶格的模式密度D()20一维简单晶格的色散关系曲线如图所示由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢区间dq，2/a 区间对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有L/2 个振动模式d范围则包含解答解答个振动模式21单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为由色散关系得将上式代入前式，得到模式密度2212.设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成试由简谐近似求（1）色散关系（2）模式密度D()（3）晶格热容（列出积分表达式）。23(1)根据已知条件，可求原子间的弹性恢复力系数求解求解将上式代入固体物理教程一维简单晶格的（3.7）式得到色散关系其中24（2）根据固体物理教程（3.7）式，一维简单晶格简正振动格波的色散关系式为此式表明为q偶函数。设D()、D(q)分别表示单位频率间隔内和q空间中单位间隔内振动方式数，考虑到振动方式总数为原子总数N，可得25由D(q)为常数得因此再由得又式中26由此得27（3）频率为的格波的热振动能为这个晶格的热振动能则晶格的热容2813.对于一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。29按照德拜模型，格波色散关系为=vq。由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢区间dq。2/a区间对应L/a个振动模式，单位波矢空间对应有L/2个振动模式，d范围则包含求解求解个振动模式。q030单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为再利用 式中N为原子总数，a为晶格常数得 31固体物理教程（3.119）式得其热容量作变量变换得其中32在高温时，x是小量，上式中被积函数因此，晶格的高温热容量在甚低温时，D/T，Cv中的被积函数按二项式定理展开级数则积分由此得到低温时晶格的热容量3317.按德拜近似，证明高温时的晶格热容34求解求解由固体物理教程式（3.132）可知在高温时，TD，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为将上式代入Cv的表达式35代入上式得3621.设某离子晶体中相邻两离子的互作用势能b为待定常数，平衡间距r0=310-10m，求膨胀系数L。37根据固体物理教程（3.148）式，线膨胀系数L可近似表示为求解求解由平衡条件 得 式中于是38将以上结果及下列数据：代入L的表示式，得39
