大学文科数学1-1 极限ppt.ppt
微小的知识使人骄傲，丰富的知识微小的知识使人骄傲，丰富的知识是人谦虚，所以空心的禾穗高傲地仰头是人谦虚，所以空心的禾穗高傲地仰头向天，而充实的禾穗则低头向着大地，向天，而充实的禾穗则低头向着大地，向着他的母亲。向着他的母亲。欢 迎 同 学 们学学习习大大 学学 文文科科数数学学 课课程程主讲主讲:陈美蓉陈美蓉 理理A314，13912040137学会学习学会学习；学会生存；学会生存；学会做事学会做事；学会合作。学会合作。联合国教科文组织联合国教科文组织引引 言言一、为什么文科生也要学习数学一、为什么文科生也要学习数学?二、大学文科数学的主要内容二、大学文科数学的主要内容?三、如何学习大学文科数学三、如何学习大学文科数学?一、一、为什么文科生也要学习数学为什么文科生也要学习数学?数学是一种语言，一切科学的共同语言数学是一种语言，一切科学的共同语言 严密性、精确性严密性、精确性数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙 科学素养科学素养数学是一种工具，一种思维的工具数学是一种工具，一种思维的工具 理性思维理性思维数学是一门艺术，一门创造性艺术数学是一门艺术，一门创造性艺术 美的熏陶美的熏陶 数学的应用性数学的应用性(事例事例)数学与音乐数学与音乐：任何周期性声音：任何周期性声音(乐音乐音)都可表示为都可表示为形如形如 asinbx 的简单正弦函数之和。的简单正弦函数之和。小提琴奏出的声乐小提琴奏出的声乐 数学的应用性数学的应用性(事例事例)数学与绘画数学与绘画：观念体系、光学体系。：观念体系、光学体系。达达芬奇：欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家芬奇：欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家.数学与语言数学与语言：数理语言学。：数理语言学。数学与历史数学与历史：计量史学。：计量史学。二、二、大学文科数学的主要内容大学文科数学的主要内容?任务、目的任务、目的理解数学的基本思想；理解数学的基本思想；加强数学思维的训练；加强数学思维的训练；数学素养数学素养 具体内容具体内容 微积分微积分 线性代数线性代数 随机数学随机数学(概率论概率论)应用数学应用数学(数学规划、对策论、最优控制数学规划、对策论、最优控制)数学史、数学家及数学分支介绍数学史、数学家及数学分支介绍1.微积分微积分：近似逼近精确的思想近似逼近精确的思想 分而治之，化大为小，化难为易，各个分而治之，化大为小，化难为易，各个击破的精神击破的精神由多到少，逐步降级的思想，以及在由多到少，逐步降级的思想，以及在大规模问题中的规律程序化的重要性大规模问题中的规律程序化的重要性2.线性代数线性代数：3.随机数学随机数学：4.应用举例应用举例研究与揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 在相同条件下，重复同样的试验，所得结果不确定，以至于在实验之前无法预料哪个结果会出现。但是在大量重复实验中其结果又具有统计规律性。三、如何学习大学文科数学三、如何学习大学文科数学?目标明确目标明确 基本思想基本思想 数学思维数学思维理性精神理性精神认识其重要性认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣培养浓厚的学习兴趣.与直观不符的一个悖论与直观不符的一个悖论 经验和直觉尽管对数学十分重要，从某种方面来经验和直觉尽管对数学十分重要，从某种方面来说，它甚至可以说是数学思想的重要来源，但是，说，它甚至可以说是数学思想的重要来源，但是，直观也可能不正确；因此理论的建立必须要抛开直直观也可能不正确；因此理论的建立必须要抛开直观，用一种逻辑的，理性的讨论把问题说清楚。观，用一种逻辑的，理性的讨论把问题说清楚。学数学最好的方式是学数学最好的方式是“做做”数数学学 学习一些具体内容；学习一些具体内容；（做习题是最好的学习方法之一）（做习题是最好的学习方法之一）思考、分析思考、分析.参参 考考 书书数学的思想、方法和应用数学的思想、方法和应用修订版，修订版，张顺燕主编，北京大学出版社张顺燕主编，北京大学出版社文科高等数学文科高等数学，华宣积等编，复旦大学出版社华宣积等编，复旦大学出版社教教材材大学文科数学大学文科数学，张饴慈等编著，科学出版社张饴慈等编著，科学出版社.1 极极 限限第一章第一章 微积分大意微积分大意2 积积 分分4 无穷级数无穷级数3 导导 数数基本初等函数图形教学演示实验 补充内容补充内容1、区间、区间定义：定义：介于某两个定数（点）之间的一切实数（点）介于某两个定数（点）之间的一切实数（点）称为称为区间区间。而那而那两个定数（点）称为这个两个定数（点）称为这个区间的区间的端点端点。开区间开区间闭区间闭区间以以 a,b 为端点的区间：为端点的区间：半开区间半开区间无限区间无限区间2、绝对值、绝对值数轴上点数轴上点 x 到点到点 a 的距离为的距离为3、邻域、邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:用微积分讨论问题时，往往要在 x=a 点处研究某个性质。但是又不能孤立地从 a 点着手，必须从 a 点附近全面地看才能收效。邻域邻域：以 a 为中心中心，（0)为半径半径的一个开区间，称为点 a 的的 邻域邻域。记为 函数的两要素函数的两要素:4、函数、函数定义域定义域自变量自变量因变量因变量 定义域定义域 对应规律对应规律5、函数的几种特性、函数的几种特性定义：设函数(1)有界性有界性恒有则称 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界 在 a,b 内为有界函数.任意给定总是存在否则称在 a,b 内为无界函数.有界函数必介于直线与之间。则称则称 f(x)则称则称 上的单调增函数上的单调增函数;上的单调减函数上的单调减函数.(2)单调性单调性定义：定义：设函数设函数且且在在在在单增和单减单增和单减函数统称为函数统称为单调函数单调函数。(3)奇偶性奇偶性若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.说明说明:若若在在 x=0 有定义有定义,为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有定义：定义：设设函数函数在对称区间在对称区间上有定义。上有定义。且且满足满足其其图形对称于图形对称于 y 轴。轴。其其图形对称于原点。图形对称于原点。(4)周期性周期性且且则称则称为为周期函数周期函数,若若称称 l 为为周期周期(一般指一般指最小正周期最小正周期).周期为周期为 周期为周期为6、基本初等函数、基本初等函数(1)幂函数幂函数此此函数的定义域要由函数的定义域要由来来确定。确定。基本初等函数图形教学演示实验(2)指数函数指数函数它的定义域是整个实数它的定义域是整个实数(3)对数函数对数函数(4)三角函数三角函数正割余割从现在开始角度用 x 表示机动 目录 上页 下页 返回 结束 正割函数正割函数余割函数余割函数常用的三角函数的公式常用的三角函数的公式(5)反三角函数反三角函数反余弦函数反余弦函数反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数7、复合函数复合函数可定义复合函数可定义复合函数二、函数的极限二、函数的极限三、极限的性质与运算三、极限的性质与运算 一、数列的极限一、数列的极限1.1 1.1 极极 限限第一章第一章 微积分大意微积分大意 极限极限概念是由于求某些实际问题的概念是由于求某些实际问题的精确解答精确解答而而产生的。产生的。我国数学家我国数学家刘徽刘徽（公元（公元3世纪）利用圆内接正多世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法：边形来推算圆面积的方法：割圆术割圆术，就是极限思，就是极限思想在几何学上的应用。想在几何学上的应用。割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。则与圆周合体而无所失矣。刘徽刘徽1.割圆术割圆术一、数列的极限一、数列的极限1 极极 限限 第一章第一章 正正六边形的面积六边形的面积 A1正正十二边形的面积十二边形的面积 A2用正多边形的面积逼近圆面积的几何演示用正多边形的面积逼近圆面积的几何演示刘徽割圆术教学演示实验刘徽割圆术教学演示实验一尺之棰，日截其半，万世不竭。一尺之棰，日截其半，万世不竭。n 天后截丈总长天后截丈总长2.截丈问题截丈问题 注意：注意：在解决实际问题中逐渐形成的这种极限在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已经成为微积分中的基本方法。方法，已经成为微积分中的基本方法。3.观察下列数列的变化趋势观察下列数列的变化趋势趋势不定趋势不定观察可见观察可见：的的变化趋势只有变化趋势只有两种两种：不是无限地接近不是无限地接近某个确定的常数，某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。就是不接近于任何确定的常数。由此，由此，得到数列极限的初步定义如下：得到数列极限的初步定义如下：数列极限教学演示实验数列极限教学演示实验若若当当 时，一般项时，一般项无限地接近于无限地接近于则称则称 A 为数列为数列的的极限极限，或或 称有极限的数列为称有极限的数列为收敛数列收敛数列，无极限的数列为，无极限的数列为发发散数列散数列。若若当当 时，时，不接近于任何确定常数不接近于任何确定常数 A,某个确定的常数某个确定的常数 A,数列数列没有极限没有极限。数列极限的描述性定义数列极限的描述性定义 定义定义1记作：记作：则称则称例如：例如：而而无极限无极限数列极限的数学定义（数列极限的数学定义（“”语言）语言）若数列若数列及常数及常数 A 具有下列关系具有下列关系:正整数正整数 N,当当 n N 时时,总有总有即即则称该数列则称该数列 的的极限极限为为 A,注意：注意：1不等式不等式刻画了刻画了与与 A 的的无限接近无限接近；2N 与任意给定的正数与任意给定的正数有关有关.举例说明举例说明数列，数列，当当 n 无限增大时无限增大时 xn 与与 2的距离的距离.当当 n N 时时,总有总有欲使欲使几何解释几何解释:由由取取只要只要即从即从10001 项起以后的所有点项起以后的所有点与与 2 的距离小于的距离小于即有即有取取只要只要即从即从101 项起以后的所有点项起以后的所有点与与 2 的距离小于的距离小于即有即有若若 则称则称 A 是函数是函数的的极限极限，记作，记作或或（函数极限的描述性定义）（函数极限的描述性定义）二、函数的极限二、函数的极限类似数列的极限，也可以考虑函数类似数列的极限，也可以考虑函数的极限。的极限。时，函数时，函数与某个常数与某个常数 A无限接近无限接近,在在若若 函数函数没有极限，没有极限，则称函数是则称函数是 定义定义2发散发散的。的。函数极限教学演示实验函数极限教学演示实验1 1、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义1.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y=A 为曲线的水平渐近线A 为函数直线直线 y=A 仍是曲线仍是曲线 y=f(x)的渐近线的渐近线.两种特殊情况两种特殊情况 :当当时时,有有当当时时,有有几何意义几何意义:都有水平渐近线都有水平渐近线如，如，（单（单边边极限）极限）例如：例如：2 2、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限定义定义2.设函数设函数在点在点的某去心的某去心邻域内有定义邻域内有定义,当当时时,有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的时的极限极限,或或若若记作记作几何解释几何解释:左极限与右极限左极限与右极限当当时时,有有右极限右极限:当当时时,有有结论结论:左左极限极限:.设函数设函数讨论讨论 时时的的极限是否存在极限是否存在.解解:利用结论利用结论.因为因为显然显然所以所以不不存在存在.例例1三、极限的性质与运算三、极限的性质与运算 考虑下列极限问题：考虑下列极限问题：不只是计算和逻辑推理，直觉与经验也很重要不只是计算和逻辑推理，直觉与经验也很重要.可以推测：可以推测：但是，仅有直觉与猜测也是不行的，需要证明但是，仅有直觉与猜测也是不行的，需要证明.（单调有界准则）（单调有界准则）性质性质1递增（减）有上（下）界的数列是收敛的。递增（减）有上（下）界的数列是收敛的。(证明略证明略)证明证明极限极限证明：证明：利用二项式公式，有利用二项式公式，有设设 例例2存在。存在。两个重要极限教学演示实验两个重要极限教学演示实验大大 大大 正正又又比较可知比较可知记此极限为记此极限为 e,e 为为自然无理数自然无理数，其值为，其值为即即有极限。有极限。又又根据根据性质性质1可知数列可知数列若数列满足若数列满足且且对于函数也有类似的结论：对于函数也有类似的结论：（夹逼准则）（夹逼准则）性质性质2圆扇形圆扇形AOB的面积的面积证明：证明：当当即即时，时，所以所以AOB 的面积的面积AOD的面积的面积故故证明证明实验演示实验演示 例例3则有则有若若注意：注意：对于函数上述运算性质仍然成立。对于函数上述运算性质仍然成立。（极限的四则运算法则）（极限的四则运算法则）性质性质3求下列函数的极限 例例4练习练习求下列函数的极限作业作业 P11极限的性质与运算：2(奇奇)
