大学物理伯努利方程及其应用.ppt
2.3 2.3 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 伯努利方程给出了作伯努利方程给出了作定常流动定常流动的的理想流体理想流体中任意两点或中任意两点或截面上截面上 、及高度及高度 之间的关系。之间的关系。一、一、伯努利方程的推导伯努利方程的推导如图，取一细流管，经过短暂时间如图，取一细流管，经过短暂时间 t，截，截面面 S1 从位置从位置 a 移到移到 b，截面，截面 S2 从位置从位置c 移到移到d，S2cS1av1v2ttbd流过两截面的体积分别为流过两截面的体积分别为由连续性原理得由连续性原理得在在b到到一段中运动状态未变，流体经过一段中运动状态未变，流体经过t 时间动能变化量：时间动能变化量：流体经过流体经过流体经过流体经过t t 时间势能变化量：时间势能变化量：时间势能变化量：时间势能变化量：t t 时间内外力对该段流体做功：时间内外力对该段流体做功：时间内外力对该段流体做功：时间内外力对该段流体做功：由功能原理由功能原理：或或即即上式即为上式即为伯努利方程伯努利方程的数学表达式。的数学表达式。S1S2ttP1P2h1h2二、伯努利方程的意义二、伯努利方程的意义（1 1 1 1）伯努利方程的实质是）伯努利方程的实质是）伯努利方程的实质是）伯努利方程的实质是功能原理功能原理在流体力学中的应用在流体力学中的应用在流体力学中的应用在流体力学中的应用 表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管 外压力所做的功；外压力所做的功；外压力所做的功；外压力所做的功；表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管 重力所做的功；重力所做的功；重力所做的功；重力所做的功；表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管表示单位体积流体流过细流管 后动能的变化量；后动能的变化量；后动能的变化量；后动能的变化量；（2 2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：（3 3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。（4 4）P P、h h、v v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。均为可测量，他们是对同一流管而言的。均为可测量，他们是对同一流管而言的。均为可测量，他们是对同一流管而言的。（5 5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P P、h h、v v之间的关系。之间的关系。之间的关系。之间的关系。如图所示，且如图所示，且SBSA，以，以 A、B 两点为参考点，两点为参考点，由由由由选取选取hB处为参考点，其处为参考点，其 hB=0,hA=h 得得三、伯努利方程的应用三、伯努利方程的应用 小孔流速小孔流速由伯努利方程：由伯努利方程：0=BABAvSSv可知，可知，因因PA=P 0 P B=P 0 所以所以 即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。到小孔处的流速大小相等。SASB-托里拆利公托里拆利公式式左图是利用左图是利用虹吸管虹吸管从水库引水的示意图。从水库引水的示意图。虹吸管粗细均匀，选取虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点。作为参考点。虹吸管虹吸管水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理可知可知 ，所以此例，所以此例实质为小孔流速问题实质为小孔流速问题如果如果hAhB0 ，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。喷雾原理喷雾原理 因因SA很小，很小，vA增大使增大使PA小于大气小于大气压，容器内流体上升到压，容器内流体上升到A处，被高速处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。现象。ACBhAhBhc由伯努利方程由伯努利方程从从U形管中左右两边液面高度差可知形管中左右两边液面高度差可知为为 U 形管中液体密度，形管中液体密度，为流体密度。为流体密度。皮托管皮托管 由上两式得由上两式得较适合于测定气体的流速。较适合于测定气体的流速。常用如图示形式的皮托管测液体的流速常用如图示形式的皮托管测液体的流速hhABAB（测量管道中液体体积流量）（测量管道中液体体积流量）如左图所示。当理想流体在管道中作如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程定常流动时，由伯努利方程文丘里流量计文丘里流量计 由由连续性原理连续性原理又又 管道中的流速管道中的流速hSASBd1d2=21 S1S2=41 且且v 1=1ms-1 例例求求解解.一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2 1，已知粗，已知粗管内水的流速为管内水的流速为1ms-1,细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。得得 v2=4v1=4 ms-1又由又由由由 S1v1=S2v2 得得 水从图示的水平管道水从图示的水平管道1中流入，并通过支管中流入，并通过支管2和和3流入管流入管4。如管如管1中的流量为中的流量为900cm3s-1.管管1、2、3的截面积均为的截面积均为15cm2,管管4的截面积为的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，假设水在管内作稳恒流动，例例求求解解（1）管）管2、3、4的流量的流量;（2）管）管2、3、4的流速的流速;（3）管）管1、4中的压强差中的压强差.1234v1v2v3v4(1)由连续性原理知由连续性原理知 Q4=Q1=900cm3s-1(3)v1=Q1S1=90015=60cms-1 由伯努利方程由伯努利方程 S2=S3 Q2+Q3=Q1 Q2=Q3=450cm3s-1(2)v2=v3=Q2S2=45015=30cms-1v4=Q4S4=90010=90 cms-1得得水管里的水在压强水管里的水在压强 P=4.010105 5P Pa 作用下流入室内，水管的作用下流入室内，水管的内直径为内直径为 2.0 cm，管内水的流速为管内水的流速为4.0ms-1。引入引入 5.0 m 高高处二层楼浴室的水管，内直径为处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm。当水龙头关闭时，当水龙头关闭时，由伯努利方程，由伯努利方程即即=3.5105Pa S1v1s2v2h2例例求求解解浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。当水龙头完全打开后，当水龙头完全打开后，=2.3105Pa 即即由伯努利方程：由伯努利方程：打开水龙头，管口处的压强打开水龙头，管口处的压强打开水龙头，管口处的压强打开水龙头，管口处的压强减小减小减小减小，这是水的流动导致的结果。，这是水的流动导致的结果。，这是水的流动导致的结果。，这是水的流动导致的结果。由连续性方程：由连续性方程：S1v1=S2v2例例求求解解a、b、c、d 各处压强及流速。各处压强及流速。h1h2abcd 如图所示为一虹吸装置，如图所示为一虹吸装置，h1 和和h2 及流体密度及流体密度 已知，已知，由题意可知，由题意可知，va =0,=0,p pa =p pd=p p0 0选选d 点所在平面为参考平面，对点所在平面为参考平面，对a、d 两点应用伯努力方程，有两点应用伯努力方程，有解得解得因因b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以各点处于截面积相同的同一流管中，所以由由连续连续性原理，有：性原理，有：对于对于a、b 两点，有两点，有对于对于a、c 两点，有两点，有得：得：，马格努斯效应马格努斯效应v机翼的升力机翼的升力伯努利人物简介丹尼尔丹尼尔丹尼尔丹尼尔 伯努利伯努利伯努利伯努利（1700178217001782），），），），17001700年年年年1 1月月月月2929日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，学习堡大学，学习堡大学，学习堡大学，学习逻辑逻辑逻辑逻辑、哲学哲学哲学哲学、医学医学医学医学和和和和数学数学数学数学。17241724年，年，年，年，丹尼尔获得有关丹尼尔获得有关丹尼尔获得有关丹尼尔获得有关微积分方程微积分方程微积分方程微积分方程的重要成果，从而轰的重要成果，从而轰的重要成果，从而轰的重要成果，从而轰动欧洲科学界。动欧洲科学界。动欧洲科学界。动欧洲科学界。伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的流体力学流体力学流体力学流体力学一书影响深远。他同时是一书影响深远。他同时是一书影响深远。他同时是一书影响深远。他同时是气体动力学气体动力学气体动力学气体动力学专家。专家。专家。专家。17821782年年年年3 3月月月月1717日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。
