药学高数11泰勒公式.ppt

第七节第七节 泰勒公式泰勒公式 一、泰勒公式一、泰勒公式 二、函数的麦克劳林公式二、函数的麦克劳林公式 在讨论函数的微分时，在讨论函数的微分时，f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)，当当 xx0 时，其误差是比时，其误差是比 x-x0 高阶无穷小。高阶无穷小。令令 R1(x)=f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)，并假设，并假设 f(x)在在 x=x0 的某个邻域内具有二阶导数，易得的某个邻域内具有二阶导数，易得 R1(x0)=0,R 1(x0)=0,R 1(x)=f (x)。当。当 xx0 时，将时，将无穷小无穷小R1(x)与与(x-x0)2 相比较，利用柯西中值定理，有相比较，利用柯西中值定理，有 (1 在在 x 与与 x0 之间之间)其中其中 在在 x0 与与 1 之间，从而也在之间，从而也在 x0 与与 x 之间。之间。于是于是故故 此式称为函数此式称为函数 f(x)的的一阶泰勒公式一阶泰勒公式,R1(x)称为称为一阶一阶泰勒公式的余项泰勒公式的余项，当，当 xx0 时，它是比时，它是比 x-x0高阶无穷小高阶无穷小 如果在一阶泰勒公式中，如果在一阶泰勒公式中，将（在将（在 x0 与与 x 之间）用之间）用 x0代替，则有近似公式代替，则有近似公式 令令可用上述类似推理，得出可用上述类似推理，得出 （在在 x0 与与 x之间）之间）此式称为函数此式称为函数 f(x)的的二阶泰勒公式二阶泰勒公式，R2(x)称为二称为二阶阶泰勒公式的余项，当泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比时，它是比(x-x0)2 高阶的高阶的无无穷小。穷小。定理定理2-9 泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在含有含有 x0 的某个区间的某个区间(a,b)内具有直到内具有直到(n+1)阶的导阶的导数，则对任意数，则对任意 x(a,b)，有，有其中其中 （在在 x0 与与 x之间）之间）此式称为函数此式称为函数 f(x)在点在点 x0 处的处的 n 阶泰勒公式，或阶泰勒公式，或按按（x-x0）的幂展开的泰勒公式，简称）的幂展开的泰勒公式，简称 n 阶泰勒公式。阶泰勒公式。Rn(x)称为称为 n 阶泰勒公式的余项，当阶泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比时，它是比(x-x0)n 高阶的无穷小。高阶的无穷小。二、函数的麦克劳林公式二、函数的麦克劳林公式 在泰勒公式中，如果取在泰勒公式中，如果取 x0=0 时，则时，则 在在 0与与 x 之之间，因此可令间，因此可令 =x(0 0）如果取如果取 x=1，则得无理数，则得无理数 e 的近似式为的近似式为其误差为其误差为当当 n=10 时，可算出时，可算出 e 2.718281，其误差不超过，其误差不超过10-6。例例2-62 求求 f(x)=sin x 的的 n 阶麦克劳林公式。阶麦克劳林公式。解解 因为因为 又又 f(0)=0，知它们顺次循环地取四个数，知它们顺次循环地取四个数:0,1,0,-1,于是按麦克劳林公式得（令于是按麦克劳林公式得（令n=2m）其中其中如果取如果取 m=1，则得近似公式，则得近似公式 sin x x这时误差为这时误差为作业作业:习题二习题二 62-69