勾股定理单元 易错题难题综合模拟测评学能测试.pdf

勾股定理单元勾股定理单元 易错题难题综合模拟测评学能测试易错题难题综合模拟测评学能测试一、选择题一、选择题1如图，在平行四边形ABCD 中，DBC=45，DEBC 于 E，BFCD 于 F，DE，BF 相交于H，BF 与 AD 的延长线相交于点G，下面给出四个结论:BD AB=BH；BCFDCE，其中正确的结论是()2BE；A=BHE；ABCD2如图，长方体的长为15cm，宽为 10cm，高为 20cm，点 B 离点 C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cmA25B20C24D1053“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b，若（ab）221，大正方形的面积为 13，则小正方形的面积为（）A3B4C5D64如图，在长方形纸片ABCD中，AB 8cm，AD6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（）A25cm4B15cm2C7cmD13cm25在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点 A（0，2）、点 B（3m，4m+1）（m1），点 C（6，2），则对角线 BD 的最小值是（）A32A内角和为 360A24B213B对角线互相平分B30C5C对角线相等C40D6D对角线互相垂直D486下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）7已知ABC 的三边分别是 6，8，10，则ABC 的面积是（）8如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A甲、乙都可以C甲不可以、乙可以分AFC 的面积为（）B甲、乙都不可以D甲可以、乙不可以9如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 B处，则重叠部A12C8B10D610如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A7,24,25B111,4,5222C3,4,5D4,711,822二、填空题二、填空题11如图，MON90，ABC 的顶点 A、B 分别在 OM、ON 上，当 A 点从 O 点出发沿着 OM 向右运动时，同时点 B 在 ON 上运动，连接 OC若 AC4，BC3，AB5，则 OC的长度的最大值是_12如图，在点，则中，90，是边的中点，是边上一动的最小值是_13我国古代数学名著九章算术中有云：“今有木长二丈，围之三尺葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？”大意为：有一根木头长2 丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7 周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是_尺(注：l 丈等于 10 尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)14若ABC为直角三角形，B 90，AB6，BC8，点D在斜边AC上，且AC 2BD，则AD的长为_15如图在三角形纸片 ABC 中，已知ABC=90，AC=5，BC=4，过点 A 作直线 l 平行于BC，折叠三角形纸片 ABC，使直角顶点 B 落在直线 l 上的点 P 处，折痕为 MN，当点 P 在直线 l 上移动时，折痕的端点 M、N 也随之移动，若限定端点M、N 分别在 AB、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为_16如图，在ABC 中，C=90，ABC=45，D 是 BC 边上的一点，BD=2，将ACD 沿直线 AD 翻折，点 C 刚好落在 AB 边上的点 E 处.若 P 是直线 AD 上的动点，则PEB 的周长的最小值是_17如图，RtABC中，BCA90，AB5，AC2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是_18如图，在RtABC中，ACB 90，AC BC 2，D为BC边上一动点，作如图所示的AED使得AE AD，且EAD 45，连接EC，则EC的最小值为_19如图，在ABC中，AB AC，点D在ABC内，AD平分BAC，连结CD，把ADC沿CD折叠，AC落在CE处，交AB于F，恰有CE AB.若BC 10，AD7，则EF _.2，高为 1，若一只小虫从 A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路程是_20如图所示，圆柱体底面圆的半径是三、解答题三、解答题21在等腰ABC 与等腰ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点 D、E、C 三点在同一条直线上，连接 BD（1）如图 1，求证：ADBAEC（2）如图 2，当BACDAE90时，试猜想线段 AD，BD，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，当BACDAE120时，请直接写出线段AD，BD，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）22阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法例如，在ABC中，AB AC（如图），怎样证明C B呢？分析：把AC沿A的角平分线AD翻折，因为AB AC，所以，点C落在AB上的点C处，即AC AC，据以上操作，易证明ACDACD，所以ACD C，又因为ACD B，所以C B感悟与应用：（1）如图（a），在ABC中，ACB90，B 30，CD平分ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分BAD，AC 16，AD 8，DC BC 12，求证：BD 180；求AB的长23在等腰 RtABC 中，ABAC，BAC90（1）如图 1，D，E 是等腰 RtABC 斜边 BC 上两动点，且DAE45，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 后，得到AFC，连接 DF求证：AEDAFD；当 BE3，CE7 时，求 DE 的长；（2）如图 2，点 D 是等腰 RtABC 斜边 BC 所在直线上的一动点，连接AD，以点 A 为直角顶点作等腰 RtADE，当 BD3，BC9 时，求 DE 的长24如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 的左侧，连接 AE（1）求证：AEBD；（2）试探究线段 AD、BD 与 CD 之间的数量关系；（3）过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F，若 BD：AF1：22，CD3 6，求线段 AB的长25我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差如图 1，在ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2 BO2的值，可记为ABAC OA2 BO2（1）在ABC中，若ACB90，ABAC 81，求AC的值（2）如图 2，在ABC中，AB AC 12，BAC120，求ABAC，BABC的值（3）如图 3，在ABC中，AO是BC边上的中线，SABC 24，AC 8，ABAC 64，求BC和AB的长26如图，ABD为边长不变的等腰直角三角形，AB AD，BAD 90，在ABD外取一点内部，E，以A为直角顶点作等腰直角AEP，其中P在ABDEAP90，AE AP 2，当 E、P、D 三点共线时，BP 7下列结论：E、P、D 共线时，点B到直线AE的距离为5；E、P、D 共线时，SADPSABP 1 3；5SABD=3；2作点A关于绕点BD的对称点C，在AEPA旋转的过程中，PC的最小值为5+2 3 2；AEP绕点A旋转,当点E落在AB上，当点P落在AD上时，取BP上一点N，使得AN BN，连接ED，则AN ED其中正确结论的序号是_27如图，在ABC中，ACB90，BC 2AC.(1)如图 1，点D在边BC上，CD 1，AD 5，求ABD的面积.(2)如图 2，点F在边AC上，过点B作BE BC，BE BC，连结EF交BC于点M，过点C作CG EF，垂足为G，连结BG.求证：EG 2BGCG.28如图，在ABC 中，C90，把ABC 沿直线 DE 折叠，使ADE 与BDE 重合(1)若A35，则CBD 的度数为_；(2)若 AC8，BC6，求 AD 的长；(3)当 ABm(m0)，ABC 的面积为 m1 时，求BCD 的周长(用含 m 的代数式表示)29如图 1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点 C（a，a），且交 x 轴于点 A（m，0），交 y 轴于点 B（0，n），且 m，n 满足m6（n12）20（1）求直线 AB 的解析式及 C 点坐标；（2）过点 C 作 CDAB 交 x 轴于点 D，请在图 1 中画出图形，并求 D 点的坐标；（3）如图 2，点 E（0，2），点 P 为射线 AB 上一点，且CEP45，求点 P 的坐标30（知识背景）据我国古代周髀算经记载，公元前1120 年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是 4，那么弦就等于 5，后人概括为“勾三、股四、弦五”像 3、4、5 这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数（应用举例）观察 3，4，5；5，12，13；7，24，25；可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3 起就没有间断过，并且勾为 3 时，股4 11(91)，弦5(91)；2211(251)，弦13(251)；22勾为 5 时，股12 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为 7，则股 24弦 25（2）如果勾用n（n3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股，弦（解决问题）观察 4，3，5；6，8，10；8，15，17；根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a 2m（m表示大于 1 的整数），则b，c，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、37【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1A解析：A【分析】先判断DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=2BE，故正确；根据BHE 和C 都是HBE 的余角，可得BHE=C，再由A=C，可得正确；证明BEHDEC，从而可得 BH=CD，再由 AB=CD，可得正确；利用已知条件不能得到，据此即可得到选项.【详解】解：DBC=45，DEBC 于 E，在 RtDBE 中，BE2+DE2=BD2，BE=DE，BD=2BE，故正确；DEBC，BFDC，BHE 和C 都是HBE 的余角，BHE=C，又在 ABCD 中，A=C，A=BHE，故正确；在BEH 和DEC 中，BHE CHEB CED，BE DEBEHDEC，BH=CD，四边形 ABCD 为平行四边形，AB=CD，AB=BH，故正确；利用已知条件不能得到BCFDCE，故错误，故选 A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.2A解析：A【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB；把右侧面展开到正面上，连结AB，；把向上的面展开到正面上，连结AB；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较【详解】把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图 1AB 10 20252925 5 37把右侧面展开到正面上，连结AB，如图 2AB 202105625 252把向上的面展开到正面上，连结AB，如图 3AB 102205725 5 292925 725 6255 37 5 29 25需要爬行的最短距离为25cm故选：A【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题3C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4 个直角三角形的面积，利用已知(ab)2=21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。【详解】由于大正方形的边长为a2b2，又大正方形的面积为 13，即a2b213，而小正方形的面积表达式为a2b213，而小正方形的面积表达式为(ab)2 2(a2b2)(a b)2 21321 5故本题正确答案为 C【点睛】本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键4A解析：A【分析】由已知条件可证CFEAFD，得到DF=EF,利用折叠知 AE=AB=8cm，设 AF=xcm，则 DF=(8-x)cm，在 RtAFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】四边形 ABCD是长方形，B=D=900，BC=AD,由翻折得 AE=AB=8m，E=B=900,CE=BC=AD又CFE=AFDCFEAFDEF=DF设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm在 RtAFD 中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，x2(8 x)262x 25cm4故选择 A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.5D解析：D【分析】先根据 B（3m，4m+1），可知 B 在直线 y=44x+1 上，所以当 BD直线 y=x+1 时，BD 最33小，找一等量关系列关于m 的方程，作辅助线：过B 作 BHx 轴于 H，则 BH=4m+1，利用三角形相似得 BH2=EHFH，列等式求 m 的值，得 BD 的长即可【详解】解：如图,点 B(3m，4m+1)，3m x，令4m1 yy=4x+1，3B 在直线 y=4x+1 上，34x+1 时，BD 最小，3过 B 作 BHx 轴于 H，则 BH=4m+1，当 BD直线 y=BE 在直线 y=E(4x+1 上，且点 E 在 x 轴上，33，0)，G(0，1)4F 是 AC 的中点A(0，2)，点 C(6，2)，F(3，0)在 RtBEF 中，BH2=EHFH，3)(33m)411解得：m1=(舍)，m2=，4539B(，)，55(4m+1)2=(3m+39BD=2BF=2(3)2=6，55则对角线 BD 的最小值是 6；故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点 B 的坐标确定其所在的直线的解析式是关键26C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选 C【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.7A解析：A【解析】已知ABC 的三边分别为 6，10，8，由 6+8=10，即可判定ABC 是直角三角形，两直角边是 6，8，所以ABC 的面积为222168=24，故选 A28A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选 A考点：剪拼，面积不变性，二次方根9B解析：B【分析】已知AD为CF边上的高，要求AFC的面积，求得FC即可，求证AFDCFB，得BF DF，设DF x，则在RtAFD中，根据勾股定理求x，于是得到CF CD DF，即可得到答案【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFDCFB，DF BF，设DF x，则AF CF 8 x，在RtAFD中，AF2 DF2 AD2，即(8 x)x 4，解得：x 3，CF CD FD 83 5，2221SAFC AF BC 102故选：B【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFDCFB是解题的关键10B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案【详解】A、72242 252，能组成直角三角形，故正确；11 1B、45，不能组成直角三角形，故错误；222C、3242 52，能组成直角三角形，故正确；2221 1D、4278，能组成直角三角形，故正确；22故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三角形 ABC 是直角三角形22二、填空题二、填空题115【解析】试题分析：取 AB 中点 E，连接 OE、CE，在直角三角形 AOB 中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得ACB 是直角三角形，所以 CE=AB，利用 OE+CEOC，所以 OC 的最大值为OE+CE，即 OC 的最大值=AB=5考点：勾股定理的逆定理，12于点，延长到点，使，连接，交于点【解析】如图，过点 作，连接，此时45 ，的值最小连接，由对称性可知90 .根 据 勾 股 定 理 可 得13【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20 尺，另一条直角边长 73=21（尺），因此葛藤长202212=29（尺）答：葛藤长 29 尺故答案为：29【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解145【分析】在直角ABC中，依据勾股定理求出AC的长度，再算出BD，过点 B 作BE AC于点E，通过等面积法求出BE，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE、ED，两者相加即为AD的长.【详解】解：如图，过点 B 作BE AC于点 E，则BEA90,BED90,直角ABC中，B 90，AB6，BC8，AC=AB2 BC210,又2SABC ABBC AC BE，AC 2BD6810BE，BD 5,BE=4.8,BEA90,BED90AE=AB2 BE2 3.6,ED=BD2 BE21.4,AD AEED5.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.157 1【分析】分别找到两个极端,当 M 与 A 重合时，AP 取最大值，当点 N 与 C 重合时，AP 取最小，即可求出线段 AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当 M 与 A 重合时，AP 取最大值，此时标记为 P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB 是正方形，在 RtABC 中，AB=AC2BC2=5242=3，AP的最大值为 A P1=AB=3如图所示，当点 N 与 C 重合时，AP 取最小，过 C 点作 CD直线 l 于点 D，可得矩形ABCD，CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有 PC=BC=4，在 RtPCD中，PD=PC2CD2=4232=7，AP 的最小值为ADPD=4 7线段 AP 长度的最大值与最小值之差为AP1AP=3 47=7 1故答案为7 1【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.162 2 2【分析】连接 CE，交 AD 于 M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，此时 BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出 BC 和 BE 长，代入求出即可【详解】如图，连接 CE，交 AD 于 M，沿 AD 折叠 C 和 E 重合，ACD=AED=90，AC=AE，CAD=EAD，AD 垂直平分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称，BD=2，CD=DE=2，当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时 BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，DEA=90，DEB=90，ABC=45，B=45，DE=2，BE=2，即 BC=2+2，PEB 的周长的最小值是 BC+BE=2+2+2=2+22故答案为 2+22【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置172 55【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据 BCA90，DEAC，DFBC，证得四边形 CEDF 是矩形，连接 CD，则 CD=EF，当 CDAB 时，CD 最短，即 EF=CD=2 5.5故答案为2 5.5点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力1822【分析】根据已知条件，添加辅助线可得EACDAM（SAS），进而得出当 MDBC 时，CE的值最小，转化成求 DM的最小值，通过已知值计算即可【详解】解：如图所示，在 AB 上取 AM=AC=2，ACB 90，AC BC 2，CAB=45，又EAD 45，EAC+CAD=DAB+CAD=45，EAC=DAB，在EAC与DAB中AE=AD，EAF=DAB，AC=AM，EACDAM（SAS）CE=MD，当 MDBC时，CE 的值最小，AC=BC=2，由勾股定理可得ABBM 2 2 2，B=45，BDM为等腰直角三角形，DM=BD，由勾股定理可得BD2 DM2=BM2DM=BD=22CE=DM=22故答案为：22AC2BC2 2 2，【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到 CE最小时的状态，化动为静194913【解析】【分析】如图（见解析），延长 AD，交 BC 于点 G，先根据等腰三角形的三线合一性得出AGBC，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出23 45，从而得出CDG是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC、CE、CF 的长，最后根据线段的和差即可得【详解】如图，延长 AD，交 BC 于点 GAD平分BAC，AB AC,BC 10B ACB,AG BC，且 AG 是 BC 边上的中线B 123,CG 1BC 52由折叠的性质得1 2,CE ACB 123 223CE AB，即BFC90B390223390，即23 45CDG是等腰直角三角形，且DG CG 5AG ADDG 7512在RtACG中，AC CG2 AG25212213CE AB AC 13由三角形的面积公式得SABC即11BC AG ABCF22111201012 13CF，解得CF 2213120491313EF CE CF 13故答案为：4913【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键205【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长AB=AC=2，CB=12AB2BC2=2212=5，故答案为：5.【点睛】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决三、解答题三、解答题21（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3AD+BD【分析】（1）由“SAS”可证ADBAEC；（2）由“SAS”可证ADBAEC，可得 BDCE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；（3）由DABEAC，可知 BDCE，由勾股定理可求 DH3AD，由 ADAE，2AHDE，推出 DHHE，由 CDDE+EC2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）BACDAE，BADCAE，又ABAC，ADAE，ADBAEC（SAS）；（2）CD2AD+BD，理由如下：BACDAE，BADCAE，又ABAC，ADAE，ADBAEC（SAS）；BDCE，BAC90，ADAE，DE2AD，CDDE+CE，CD2AD+BD；（3）作 AHCD 于 HBACDAE，BADCAE，又ABAC，ADAE，ADBAEC（SAS）；BDCE，DAE120，ADAE，ADH30，AHDH1AD，2AD2AH23AD，2ADAE，AHDE，DHHE，CDDE+EC2DH+BD3AD+BD，故答案为：CD3AD+BD【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.22（1）BCACAD；理由详见解析；（2）详见解析；AB=14【分析】（1）在 CB上截取 CECA，连接 DE，证ACDECD得 DEDA，ACED60，据此CED2CBA，结合CEDCBABDE得出CBABDE，即可得 DEBE，进而得出答案；（2）在 AB上截取 AMAD，连接 CM，先证ADCAMC，得到DAMC，CDCM，结合 CDBC知 CMCB，据此得BCMB，根据CMBCMA180可得；设 BNa，过点 C作 CNAB于点 N，由 CBCM知 BNMNa，CN2BC2BN2AC2AN2，可得关于 a 的方程，解之可得答案【详解】解：（1）BCACAD理由如下：如图（a），在 CB 上截取 CECA，连接 DE，CD 平分ACB，ACDECD，又 CDCD，ACDECD（SAS），DEDA，ACED60，CED2CBA，CEDCBABDE，CBABDE，DEBE，ADBE，BEBCCEBCAC，BCACAD（2）如图（b），在 AB 上截取 AMAD，连接 CM，AC 平分DAB，DACMAC，ACAC，ADCAMC（SAS），DAMC，CDCM12，CDBC12，CMCB，BCMB，CMBCMA180，BD180；设 BNa，过点 C 作 CNAB 于点 N，CBCM12，BNMNa，在 RtBCN 中，CN2BC2 BN2122a2，在 RtACN 中，CN2AC2 AN2162(8a)2，则122a2162(8a)2，解得：a3，即 BNMN3，则 AB8+3+3=14，AB=14【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果23（1）见解析；DE【分析】（1）先证明DAEDAF，结合 DADA，AEAF，即可证明；如图1 中，设 DEx，则 CD7x在 RtDCF 中，由 DF2CD2+CF2，CFBE3，可得 x2（7x）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：当点E 在线段 BC 上时，如图 2 中，连接 BE由EADADC，推出ABECABC45，EBCD5，推出EBD90，推出 DE2BE2+BD262+3245，即可解决问题；当点D 在 CB 的延长线上时，如图 3 中，同法可得 DE2153【详解】（1）如图 1 中，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90后，得到AFC，BAECAF，AEAF，BAECAF，BAC90，EAD45，CAD+BAECAD+CAF45，DAEDAF，DADA，AEAF，AEDAFD（SAS）；如图 1 中，设 DEx，则 CD7xABAC，BAC90，BACB45，ABEACF45，DCF90，29；（2）DE 的值为 35或 3177AEDAFD（SAS），DEDFx，在 RtDCF 中，DF2CD2+CF2，CFBE3，x2（7x）2+32，x29，729；7DE（2）BD3，BC9，分两种情况如下：当点 E 在线段 BC 上时，如图 2 中，连接 BEBACEAD90，EABDAC，AEAD，ABAC，EABDAC（SAS），ABECABC45，EBCD9-3=6，EBD90，DE2BE2+BD262+3245，DE35；当点 D 在 CB 的延长线上时，如图 3 中，连接 BE同理可证DBE 是直角三角形，EBCD3+9=12，DB3，DE2EB2+BD2144+9153，DE317，综上所述，DE 的值为 35或 317【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键24（1）见解析；（2）BD2+AD22CD2；（3）AB22+4【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明ACEBCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接 EF，设 BDx，利用（1）、（2）求出 EF=3x，再利用勾股定理求出 x，即可得到答案.【详解】（1）证明：ACB 和ECD 都是等腰直角三角形ACBC，ECDC，ACBECD90ACBACDECDACDACEBCD，ACEBCD（SAS），AEBD（2）解：由（1）得ACEBCD，CAECBD，又ABC 是等腰直角三角形，CABCBACAE45，EAD90，在 RtADE 中，AE2+AD2ED2，且 AEBD，BD2+AD2ED2，ED2CD，BD2+AD22CD2，（3）解：连接 EF，设 BDx，BD：AF1：22，则 AF22x，ECD 都是等腰直角三角形，CFDE，DFEF，由（1）、（2）可得，在 RtFAE 中，EF22AF2 AE2(2 2x)x3x，AE2+AD22CD2，x2(2 2x 3x)2 2(3 6)2，解得 x1，AB22+4【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.25(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在 RtAOC中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)先利用含 30的直角三角形的性质求出AO=2,OB=2 3,再用新定义即可得出结论;先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出 BD,最后用新定义即可得出结论;(3)作 BDCD,构造直角三角形 BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形 AOD 是直角三角形,根据中线性质得出 OA 的长度,根据勾股定理求出 OC,从而得出 BC,再根据勾股定理求出 CD,再求出 AD,再运用勾股定理求出 AB.【详解】(1)已知如图:AO 为 BC 上的中线,在 RtAOC中,AO2-OC2=AC2因为ABAC 81所以 AO2-OC2=81所以 AC2=81所以 AC=9.(2)如图 2,取 BC 的中点 D,连接 AO,AB=AC,AOBC,在ABC 中,AB=AC,BAC=120,ABC=30,在 RtAOB 中,AB=12,ABC=30,AO=6,OB=ABAC=AO2BO2=36108=72,AB2 AO2 12262=6 3,1AC=6,过点 B 作 BEAC 交 CA 的延长线于 E,在2RtABE 中,BAE=180BAC=60,ABE=30,取 AC 的中点 D,连接 BD,AD=CD=AB=12,AE=6,BE=DE=AD+AE=12,在 RtBED 中,根据勾股定理得,BD=BE2 DE2BABC=BD2CD2=216;AB2 AE2 122626 3,6 3122 6 72(3)作 BDCD,因为SABC 24,AC 8,所以 BD=2SABC AC 6,因为ABAC 64,AO是BC边上的中线,所以 AO2-OC2=-64,所以 OC2-AO2=64,由因为 AC2=82=64,所以 OC2-AO2=AC2所以OAC=90所以 OA=2所以 OC=SABC24 AC 28 322AC2OA2823273所以 BC=2OC=273,在 RtBCD 中,CD=BC2BD22 7326216所以 AD=CD-AC=16-8=8所以 AB=AD2BD2826210【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含 30直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.26【分析】先证得ABE ADP，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得PEB90，利用勾股定理求出BE，即可求得点B到直线AE的距离；根据的结论，利用S在RtAPD SABP SABE SAPB SAEP SBEP即可求得结论；AHB中，利用勾股定理求得AB2，再利用三角形面积公式即可求得SABD；当A、P、C共线时，PC最小，利用对称的性质，AB BC的长，再求得AC的长，即可求得结论；ABPADE，得到ABP ADE，根据条件得到ABPNAB，利用互余的关系即可证得结论【详解】ABD与AEP都是等腰直角三角形，BAD90，EAP90，AB AD，AE AP，APE AEP 45，EAB PAD，先证得ABEADPSAS，AEBAPD180 APE180 45135，PEBAEBAEP135 4590，PE2 BE2 PB2，AE AP PE 2，EAP90，2AE 2，22 BE272，解得：BE 3，作 BHAE 交 AE 的延长线于点 H，AEP45，PEB90，HEB180 PEBAEP180 90 45 45，HB BEsin45 3点B到直线AE的距离为由知：26，226，故错误；2ABE ADP，EP 2，BE 3，SAPD SABP SABE SAPB SAEP SBEP11 AE APPEEB221122 2 32213，故正确；在RtAHB中，由知：EH HB 2 6，226，2AH AE EH 66AB2 AH2 BH22 52 3，222115ABAD AB23，故正确；222因为AC是定值，所以当A、P、C共线时，PC最小，如图，连接BC，SABDA、C关于BD的对称，AB BC 52 3，AC 2BC 252 3 104 3，PCmin AC AP，104 3 2，故错误；ABD与AEP都是等腰直角三角形，BAD90，EAP90，AB AD，AE AP，在ABP和AB ADADE中，BAP DAE，AP AEABPADESAS，ABP ADE，AN BN，ABPNAB，EAN ADE，EANDAN 90，ADEDAN 90，AN DE，故正确；综上，正确，故答案为：【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键27（1）3；（2）见解析【分析】（1）根据勾股定理可得 AC，进而可得 BC 与 BD，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点 B 作 BHBG 交 EF 于点 H，如图 3，则根据余角的性质可得CBG=EBH，由已知易得 BEAC，于是E=EFC，由于CG EF，ACB90，则根据余角的性质得EFC=BCG，于是可得E=BCG，然后根据 ASA 可证BCGBEH，可得 BG=BH，CG=EH，从而BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论【详解】解：（1）在ACD 中，ACB90，CD 1，AD AC 5，AD2CD2 2，11BD AC 32 3；22（2）过点 B 作 BHBG 交 EF 于点 H，如图 3，则CBG+CBH=90，BC 2AC，BC=4，BD=3，SABDBE BC，EBH+CBH=90，CBG=EBH，BE BC，ACB90，BEAC，E=EFC，CG EF，ACB90，EFC+FCG=90，BCG+FCG=90，EFC=BCG，E=BCG，在BCG 和BEH 中，CBG=EBH，BC=BE，BCG=E，BCGBEH（ASA），BG=BH，CG=EH，GH BG2BH22BG，2BGCGEG GH EH【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键28（1）CBD=20；（2）AD=6【分析】（1）根据折叠可得1=A=35，根据三角形内角和定理可以计算出ABC=55，进而得到CBD=20；（2）根据折叠可得 AD=DB，设 CD=x，则 AD=BD=8-x，再在 RtCDB中利用勾股定理可得 x2+62=（8-x）2，再解方程可得 x的值，进而得到 AD的长；（3）根据三角形