勾股定理单元 易错题难题专题强化试卷检测试题.pdf

勾股定理单元勾股定理单元 易错题难题专题强化试卷检测试题易错题难题专题强化试卷检测试题一、选择题一、选择题1如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A600mC400mB500mD300m2如图，RtABC 中，ACB=90，ABC=60，BC=5,AC=5 3，CB 的反向延长线上有一动点 D，以 AD 为边在右侧作等边三角形，连CE，CE 最短长为（）A5B5 3C5 32D5 343如果直角三角形的三条边为3、4、a，则 a 的取值可以有（）A0 个AB 的长是（）A2B2 3C4 3D4B1 个C2 个D3 个4在 RtABC 中，C=90，A=30，BD 是ABC 的平分线，交 AC 于点 D，若 CD=1，则5“折竹抵地”问题源自九章算术中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1 丈=10 尺)()A3B5C4.2D46九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10 尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，则折断处离地面的高度是（）A5.3 尺B6.8 尺22C4.7 尺D3.2 尺7已知x，y为正数，且x 4(y 3)0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A5B25C7D158如图，已知ABC 中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且 l1，l2之间的距离为 2，l2，l3之间的距离为 3，则 AC 的长是（）A2 17B2 5C42D79如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC 6,BC 8，现将ABC折叠，使点B 点 A 重合，折痕为 DE，则 BD 的长为（）A7B254C6D11210如图，在ABC，C90，AD 平分BAC 交 CB 于点 D，过点 D 作 DEAB，垂足恰好是边 AB 的中点 E，若 AD3cm，则 BE 的长为（）A3 3cm2B4cmC32cmD6cm二、填空题二、填空题11如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm 和 1 dm，A 和 B是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm12如图，MON90，ABC 的顶点 A、B 分别在 OM、ON 上，当 A 点从 O 点出发沿着 OM 向右运动时，同时点 B 在 ON 上运动，连接 OC若 AC4，BC3，AB5，则 OC的长度的最大值是_13以直角三角形的三边为边向外作正方形P，Q，K，若 SP=4，SQ=9，则SK_14如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则 AB=_.15如图,在四边形 ABCD 中,A=60,B=D=90,AD=4,AB=3,则 CD=_16如图，ABC 中，ABC45，BCA30，点 D 在 BC 上，点 E 在ABC 外，且 ADAECE，ADAE，则AB的值为_BD17如图，正方体的底面边长分别为2cm 和 3cm，高为 5cm若一只蚂蚁从 P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_cm18如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得ABC，则 AC 边上的高的长度是_19在ABC中，AB AC 12，A 30，点E是AB中点，点D在AC上，DE 3 2，将ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么DGF的面积_4x2与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一3点，若将ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的A处，则点C的坐标为_.20如图，直线y 三、解答题三、解答题121（1）计算：3 12 23482 3；（2）已知 a、b、c 满足|a2 3|3 2 b(c30)2 0判断以 a、b、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由22如图，已知ABC中，B 90，AB 8cm，BC 6cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）当t 2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B C A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间23如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 的左侧，连接 AE（1）求证：AEBD；（2）试探究线段 AD、BD 与 CD 之间的数量关系；（3）过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F，若 BD：AF1：22，CD3 6，求线段 AB的长24如图，ABC 中，ACB90，AB5cm，BC3cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm的速度沿折线 ACBA 运动，设运动时间为 t 秒（t0）（1）若点 P 在 AC 上，且满足 PAPB 时，求出此时 t 的值；（2）若点 P 恰好在BAC 的角平分线上，求 t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，BCP 为等腰三角形25如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k.（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC为优三角形，ABc，AC b，BC a，如图 1，若ACB90，b a，b 6，求a的值.如图 2，若c b a，求优比k的取值范围.（3）已知ABC是优三角形，且ABC 120，BC 4，求ABC的面积.26如图，在ABC 中，C90，把ABC 沿直线 DE 折叠，使ADE 与BDE 重合(1)若A35，则CBD 的度数为_；(2)若 AC8，BC6，求 AD 的长；(3)当 ABm(m0)，ABC 的面积为 m1 时，求BCD 的周长(用含 m 的代数式表示)27如图 1,ABC 和CDE 均为等腰三角形，AC=BC,CD=CE,ACCD,ACB=DCE=a，且点A、D、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证:AD=BE.(2)如图 2,若 a=90，CMAE 于 E.若 CM=7,BE=10,试求 AB 的长.(3)如图 3,若 a=120,CMAE 于 E,BNAE 于 N,BN=a,CM=b,直接写出 AE 的值(用 a,b 的代数式表示).28在ABC中，ACB90，AC BC 6，点D是AC的中点，点E是射线DC上一点，DF DE于点D，且DEDF，连接CF，作FH CF于点F，交直线AB于点H（1）如图（1），当点E在线段DC上时，判断CF和FH的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E在线段DC的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC和CFH面积相等时，点E与点C之间的距离；如果不成立，请说明理由29如图，在边长为2正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.（1）如图 1，过点E作EF BE交CD于点F，连接BF交AC于点G.求证：BE EF;设AE x，CG y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）在如图 2 中，请用无刻度的直尺作出一个以BE为边的菱形.30在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点 C，O 关于直线 AB对称，点 D 在线段 AB 上（1）如图 1，若 m8，求 AB 的长；（2）如图 2，若 m4，连接 OD，在 y 轴上取一点 E，使 ODDE，求证：CE2DE；（3）如图 3，若 m43，在射线 AO 上裁取 AF，使 AFBD，当 CD+CF 的值最小时，请在图中画出点 D 的位置，并直接写出这个最小值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1B解析：B【分析】由于 BC AD，那么有 DAE=ACB，由题意可知 ABC=DEA=90，BA=ED，利用 AAS 可证 ABC DEA，于是 AE=BC=300，再利用勾股定理可求 AC，即可求 CE，根据图可知从B 到 E 的走法有两种，分别计算比较即可【详解】解：如右图所示，BC AD，DAE=ACB，又 BCAB，DEAC，ABC=DEA=90，又 AB=DE=400m，ABC DEA，EA=BC=300m，在 Rt ABC 中，AC=CE=AC-AE=200，从 B 到 E 有两种走法：BA+AE=700m；BC+CE=500m，最近的路程是 500m故选 BAB2BC2=500m，【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理解题的关键是证明ABC DEA，并能比较从 B 到 E 有两种走法2C解析：C【分析】在 CB的反向延长线上取一点B，使得 BC=BC，连接 AB，易证ABDABE，可得ABE=B=60，因此点 E 的轨迹是一条直线，过点C作 CHBE，则点 H 即为使得BE最小时的 E 点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案【详解】解：在 CB的反向延长线上取一点B，使得 BC=BC，连接 AB，ACB=90，ABC=60，ABB 是等边三角形，B=BAB=60，AB=AB，ADE是等边三角形，DAE=60，AD=AE，BAD+DAB=DAB+BAE，BAD=BAE，ABDABE（SAS），ABE=B=60，点 E在直线 BE上运动，过点 C作 CHBE于点 H，则点 H 即为使得 BE最小时的 E 点的位置，CBH=180-ABC-ABE=60，BCH=30，BH=15BC=，225 32CH=BC2BH2=即 BE的最小值是故选 C5 32【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将ACB构造成等边三角形，通过全等证出ABC是定值，即点 E的运动轨迹是直线是解决此题的关键3C解析：C【解析】【分析】根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边.【详解】解：当 a 是直角三角形的斜边时,a 32425；当 a 为直角三角形的直角边时,a 42327故选 C【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键4B解析：B【分析】根据 30直角三角形的性质，求出ABC的度数，然后根据角平分线的性质求出CBD=30，再根据 30角所对的直角三角形性质，30角所对的直角边等于斜边的一半，求解即可.【详解】如图 C=90，A=30，ABC=90-30=60，BD 平分ABC，11 ABC=60=30，22 CD=1，CDB=30 BD=2 ABD=根据勾股定理可得 BC=BD2CD2=2212=3 A=30 AB=23故选 B.【点睛】此题主要考查了 30角直角三角形的性质的应用，关键是根据题意画出图形，再利用30角所对直角边等于斜边的一半求解.5C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可【详解】解：设折断处离地面的高度OA 是 x 尺，根据题意可得：x2+42=（10-x）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA 是 4.2 尺故选 C【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键6D解析：D【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可【详解】解：设折断处离地面的高度OA 是 x 尺，根据题意可得：x2+62=（10-x）2，解得：x=3.2，答：折断处离地面的高度OA 是 3.2 尺故选 D【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键7C解析：C【分析】本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0 解出 x、y 的值，然后运用勾股定理求出斜边的长斜边长的平方即为正方形的面积【详解】依题意得：x 4 0,y 3 0，x 2,y 3，斜边长2243 7，所以正方形的面积(7)2 7故选 C考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系8A解析：A【解析】试题解析：作 ADl3于 D，作 CEl3于 E，ABC=90，ABD+CBE=90又 DAB+ABD=90 BAD=CBE，BAD CBEAB BC，ADB BEC ABD BCE BE=AD=3在 Rt BCE 中，根据勾股定理，得 BC=25+9=34，在 Rt ABC 中，根据勾股定理，得AC=34 2=2 17.故选 A考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定9B解析：B【分析】由折叠的性质得出 AD=BD，设 BD=x，则 CD=8-x，在 RtACD 中根据勾股定理列方程即可得出答案【详解】解：将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，AD=BD，设 BD=x，则 CD=8-x，在 RtACD 中，AC2+CD2=AD2，62+（8-x）2=x2，解得 x=BD=254254故选：B【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键10A解析：A【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明 Rt ACD Rt AED，由 DE 为 AB 中线且 DEAB，可求 AD=BD=3cm，然后在 Rt BDE 中，根据直角三角形的性质即可求出BE的长.【详解】AD 平分 BAC 且 C=90，DEAB，CD=DE，由 ADAD，所以，Rt ACD Rt AED，所以，AC=AE.E 为 AB 中点，AC=AE=所以，B=30.DE 为 AB 中线且 DEAB，AD=BD=3cm，DE=1AB，231BD=,22223 3 3 BE=3 cm.22故选 A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含 30角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.二、填空题二、填空题11【解析】试题分析：将台阶展开，如图，AC 3313 12,BC 5,AB2 AC2 BC2169,AB 13,即蚂蚁爬行的最短线路为13dm.考点：平面展开：最短路径问题125【解析】试题分析：取 AB 中点 E，连接 OE、CE，在直角三角形 AOB 中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得ACB 是直角三角形，所以 CE=AB，利用 OE+CEOC，所以 OC 的最大值为OE+CE，即 OC 的最大值=AB=5考点：勾股定理的逆定理，135 或 13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得SP+SQ=SK为从而易求 SK【详解】解：如下图所示，若 A=SP=4B=SQ=9，C=SK，根据勾股定理，可得A+B=C，C=13若 A=SP=4C=SQ=9，B=SK，根据勾股定理，可得A+B=C，B=9-4=5SK为 5或 13故答案为：5或 13【点睛】本题考查了勾股定理此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积1421【分析】在 AB 上截取 AE=AD，连接 CE，过点 C 作 CFAB 于点 F，先证明ADCAEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC10 的长度，再设 EF=BF=x，在 RtCFB 和 RtCFA中，由勾股定理求出 x，再根据 AB=AE+EF+FB 求得 AB 的长度【详解】如图所示，在 AB 上截取 AE=AD，连接 CE，过点 C 作 CFAB 于点 F，AC 平分BAD，DAC=EAC在AEC 和ADC 中，AEADDACEACACACADCAEC（SAS），AE=AD=9，CE=CD=BC=10，又CFAB，EF=BF，设 EF=BF=x在 RtCFB 中，CFB=90，CF2=CB2-BF2=102-x2，在 RtCFA中，CFA=90，CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即 102-x2=172-（9+x）2，x=6，AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，AB 的长为 21故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题15【解析】【分析】延长 BC，AD 交于 E 点，在直角三角形 ABE 和直角三角形 CDE 中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长 AD、BC 相交于 E，A=60,B=ADC=90,E=30AE=2AB，CE=2CDAB=3，AD=4,AE=6,DE=2设 CD=x,则 CE=2x，DE=即x=x=2x即 CD=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，含30角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角ABE 和直角CDE，是解题的关键16622【解析】【分析】过 A 点作 BC 的垂线，E 点作 AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出DAM=15，在 AM 上截取 AG=DG，则DGM=30，设 DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a，GM=3a,AM=BM=(3 2)a，BD=(3 1)a，AB=2(3 1)a,代入计算即可.【详解】过 A 点作 AMBC 于 M 点，过 E 点 ENAC 于 N 点.BCA30，AE=EC11AC，AN=AC22AM=AN又AD=AERtADM RtAEN(HL)DAM=EANAM=又MAC=60，ADAEDAM=EAN=15在 AM 上截取 AG=DG，则DGM=30设 DM=a,则 DG=AG=2a，根据勾股定理得：GM=3a,ABC45AM=BM=(3 2)aBD=(3 1)a，AB=2(3 2)a,ABBD6 2 2 a3 1 a6 226 22故答案为：【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15角转化为 30角，本题有较大难度.1755【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答【详解】展开图如图所示：由题意，在 RtAPQ 中，PD=10cm，DQ=5cm，蚂蚁爬行的最短路径长=PQ=PD2QD210252=55（cm），故答案为：55【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题355【详解】18四边形 DEFA 是正方形，面积是 4；ABF，ACD 的面积相等，且都是12=1BCE 的面积是：1111=2213=22则ABC 的面积是：411在直角ADC 中根据勾股定理得到：AC=22+12=5设 AC 边上的高线长是 x则解得：x=315ACx=x=，222355故答案为35.5196 3 9或6 3 9【分析】通过计算 E 到 AC 的距离即 EH 的长度为 3，所以根据 DE 的长度有两种情况：当点D 在H 点上方时，当点 D 在 H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC交 AC 于点 E，过点 G 作GQ AB交 AB 于点 Q，利用含 30的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH的长度，进而可求 AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AGGE，再利用等腰三角形的性质求出 GQ 的长度，最后利用S【详解】当点 D 在 H 点上方时，过点 E 作EH AC交 AC 于点 E，过点 G 作GQ AB交 AB 于点 Q，DGF 2SAEDSAEG即可求解AB12，点E是AB中点，AE 1AB 62EH AC，AHE 90A 30,AE 6，1AE 3，2EH AH AE2EH262323 3DE 3 2，DH DE2EH2(3 2)2323，DH EH，AD AH DH 3 3 3，EDH 45，AED EDH A 15由折叠的性质可知，DEF AED 15，AEG 2AED 30，AEGA，AG GE又GQ AE，AQ 1AE 32A30，1AG222GQ GQ2 AQ2 AG2，即GQ 3 (2GQ)，2GQ 3SDGF 2SAEDSAEG，S11 2(3 33)36 3 6 39；DGF22当点 D 在 H 点下方时，过点 E 作EH AC交 AC 于点 E，过点 G 作GQ AB交 AB 于点 Q，AB12，点E是AB中点，AE 1AB 62EH AC，AHE 90A 30,AE 6，EH 1AE 3，2AH AE2EH262323 3DE 3 2，DH DE2EH2(3 2)2323，DH EH，AD AH DH 3 3 3，DEH 45，AED 90 ADEH 105由折叠的性质可知，DEF AED 105，AEG 2AED 180 30，AEGA，AG GE又GQ AE，AQ 1AE 32A30，1AG222GQ GQ2 AQ2 AG2，即GQ 3 (2GQ)，2GQ 3SDGF 2SAEDSAEG，SDGF11 2(3 33)36 3 6 39，22综上所述，DGF的面积为6 3 9或6 3 9故答案为：6 3 9或6 3 9【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含 30的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键20（0，【分析】由y 3）.44x2求出点 A、B的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到3531，设点 C 的坐标为（0，m），利用勾股定理解得 m的值即可得到答案.22【详解】OA 在y 4x2中，当 x=0时，得 y=2，A（0,2）3433x2 0，x ，B(,0),322当 y=0时，得在 RtAOB中，AOB=90，OA=2，OB=AB OA 3,235OA2OB222()2,22531,22设点 C 的坐标为（0，m）由翻折得ABC ABC，AC AC 2m，在 RtAOC中，AC2 OC2 AO2,222(2m)m 1，解得 m=3，4点 C 的坐标为（0，故答案为：（0，【点睛】3）.43）.4此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC ABC是解题的关键，得到 OC与 AC 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标.三、解答题三、解答题21（1）436【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；2；（2）以 a、b、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，3（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）3 12 21482 33=(6 3=(23 4 3)2 33283)(2 3)324；3（2）以 a、b、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：a、b、c 满足|a 2 3|3 2 b(c30)2 0，a230，32b0，c300，a23，b32，c30，23+3230，23+3032，23+3032，以 a、b、c 为边能组成三角形，a23，b32，c30，a2+b2c2，以 a、b、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和 b，则此三角形的面积是【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22（1）2 13；（2）；（3）5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ BP，即2t 8t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当CQ BQ时（图1)，则C CBQ，可证明AABQ，则BQ AQ，则8312 33 236.2CQ AQ，从而求得t；当CQ BC时（图2)，则BCCQ12，易求得t；当BC BQ时（图3)，过B点作BE AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t【详解】（1）解：（1）BQ 22 4cm，BP AB AP 8216cm，B 90，PQBQ2 BP24262 2 13(cm)；（2）解：根据题意得：BQ BP，即2t 8t，解得：t 8；38即出发时间为秒时，PQB是等腰三角形；3（3）解：分三种情况：当CQ BQ时，如图 1 所示：则C CBQ，ABC 90，CBQ ABQ 90，AC 90，A ABQBQ AQ，CQ AQ 5，BC CQ 11，t 112 5.5秒当CQ BC时，如图 2 所示：则BCCQ12t 122 6秒当BC BQ时，如图 3 所示：过B点作BE AC于点E，则BE AB BC68 4.8(cm)AC10CE BC2 BE2 3.6cm，CQ 2CE 7.2cm，BC CQ 13.2cm，t 13.22 6.6秒由上可知，当t为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，BCQ为等腰三角形【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用23（1）见解析；（2）BD2+AD22CD2；（3）AB22+4【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明ACEBCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接 EF，设 BDx，利用（1）、（2）求出 EF=3x，再利用勾股定理求出 x，即可得到答案.【详解】（1）证明：ACB 和ECD 都是等腰直角三角形ACBC，ECDC，ACBECD90ACBACDECDACDACEBCD，ACEBCD（SAS），AEBD（2）解：由（1）得ACEBCD，CAECBD，又ABC 是等腰直角三角形，CABCBACAE45，EAD90，在 RtADE 中，AE2+AD2ED2，且 AEBD，BD2+AD2ED2，ED2CD，BD2+AD22CD2，（3）解：连接 EF，设 BDx，BD：AF1：22，则 AF22x，ECD 都是等腰直角三角形，CFDE，DFEF，由（1）、（2）可得，在 RtFAE 中，EF22AF2 AE2(2 2x)x3x，AE2+AD22CD2，x2(2 2x 3x)2 2(3 6)2，解得 x1，AB22+4【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.25815319；（2）t 或 6；（3）当t,5,或时，BCP 为等腰三角形3210164【分析】（1）设存在点 P，使得PA PB，此时PA PB 2t，PC 42t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点 P 在CAB的平分线上时，如图1，过点 P 作PE AB于点 E，此时24(1)BP72t，PE PC 2t 4，BE 541，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）在Rt ABC中，根据勾股定理得到AC 4cm，根据题意得：AP 2t，当 P 在 AC1上时，BCP为等腰三角形，得到PC BC，即42t 3，求得t，当 P 在 AB 上2时，BCP为等腰三角形，若CP PB，点 P 在 BC 的垂直平分线上，如图2，过 P 作19PE BC于 E，求得t，若PB BC，即2t 343，解得t 5，4PC BC，如图 3，过 C 作CF AB于 F，由射影定理得；BC2 BF AB，列方程2t 345，即可得到结论2【详解】32解：在Rt ABC中，AB5cm，BC 3cm，AC 4cm，（1）设存在点 P，使得PA PB，此时PA PB 2t，PC 42t，在Rt PCB中，PC2CB2 PB2，即：(4 2t)3 (2t)，解得：t 22225，16当t 25时，PA PB；16（2）当点 P 在BAC的平分线上时，如图1，过点 P 作PE AB于点 E，此时BP72t，PE PC 2t 4，BE 541，在Rt BEP中，PE2 BE2 BP2，即：(2t 4)1 (7 2t)，解得：t 2228，3当t 6时，点P与A重合，也符合条件，当t 8或 6 时，P在ABC的角平分线上；3（3）根据题意得：AP 2t，当 P 在 AC 上时，BCP为等腰三角形，PC BC，即42t 3，1t，2当 P 在 AB 上时，BCP为等腰三角形，CP PB，点 P 在 BC 的垂直平分线上，如图 2，过 P 作PE BC于 E，BE PB 13BC，221519AB，即2t 34，解得：t，224PB BC，即2t 343，解得：t 5，PC BC，如图 3，过 C 作CF AB于 F，BF 1BP，2ACB90，由射影定理得；BC2 BF AB，即3 22t 345，253，10解得：t 当t 15319,5,或时，BCP为等腰三角形2104【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中利用分类讨论的思想是解（3）题的关键25（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）a 的值为9；k 的取值范围为21k 3；（3）ABC的面积为【分析】20 312 3或35（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出a,b,c的等式，然后求解即可；类似分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下a,b,c之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC、AB 的长及ABC面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出 x 的值，即可得出ABC的面积【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为 2a，恰好是第三边 a 的 2 倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为 1故该命题是真命题；（2）ACB 90,b 6c a2b2a236根据优三角形的定义，分以下三种情况：当ab 2c时，a6 2 a236，整理得a24a 36 0，此方程没有实数根当ac 2b时，aa236 12，解得a 92当bc 2a时，6a236 2a，解得a 86，不符题意，舍去9；2由题意得：a,b,c均为正数综上，a 的值为根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a）当ab 2c时，则k b1a由三角形的三边关系定理得ba c ab则ba abb ab，解得b3a，即k 32ac1a故此时 k 的取值范围为1k 3当ac 2b时，则k 由三角形的三边关系定理得ca b ac则ca acc ac，解得c 3a，即k 32ac1b故此时 k 的取值范围为1k 3当bc 2a时，则k 由三角形的三边关系定理得cb a bc则cb bcc bc，解得c 3b，即k 32b故此时 k 的取值范围为1k 3综上，k 的取值范围为1k 3；（3）如图，过点 A 作ADBC，则ABD180ABC 18012060设BD xAB 2BD 2x,AD AB2BD23xAC AD2CD2(3x)2(4 x)2 2 x22x4SABC11BC AD 4 3x 2 3x22ABC是优三角形，分以下三种情况：当ACBC 2AB时，即2 x22x4 4 4x，解得x 则SABC 2 3x 2 31031020 333当AC AB 2BC时，即2 x22x4 2x 8，解得x 则SABC 2 3x 2 365612 355当BC AB 2AC时，即42x 4 x22x4，整理得3x2 4x12 0，此方程没有实数根综上，ABC的面积为20 312 3或35【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键26（1）CBD=20；（2）AD=6【分析】（1）根据折叠可得1=A=35，根据三角形内角和定理可以计算出ABC=55，进而得到CBD=20；（2）根据折叠可得 AD=DB，设 CD=x，则 AD=BD=8-x，再在 RtCDB中利用勾股定理可得 x2+62=（8-x）2，再解方程可得 x的值，进而得到 AD的长；（3）根据三角形 ACB的面积可得1；(3)BCD的周长为 m+241AC CB m1，2进而得到 ACBC=2m+2，再在 RtCAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到BCD的周长【详解】（1）把ABC沿直线 DE折叠，使ADE与BDE重合，1=A=35，C=90，ABC=180-90-35=55，2=55-35=20，即CBD=20；（2）把ABC沿直线 DE 折叠，使ADE与BDE重合，AD=DB，设 CD=x，则 AD=BD=8-x，在 RtCDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x=AD=8-7，471=6；44（3）ABC 的面积为 m+1，1ACBC=m+1，2ACBC=2m+2，在 RtCAB中，CA2+CB2=BA2，CA2+CB2+2ACBC=BA2+2ACBC，（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，CA+CB=m+2，AD=DB，CD+DB+BC=m+2即BCD的周长为 m+2【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段27（1）见解析；（2）26；（3）2 3a+2 3b3【分析】（1）由ACB=DCE 可得出ACD=BCE，再利用 SAS 判定ACDBCE，即可得到AD=BE；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=1DE，同（1）可证ACDBCE，得到2AD=BE，然后可求 AE 的长，再判断AEB=90，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得CAB=CBA=CDE=CED=30，根据 30 度所对的直角边是斜边的一半可求出 DE=23CM，然后利用三角形外角性质推出BEN=60，在 RtBEN中即可求出 BE，由于 BE=AD，所以利用 AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）ACB=DCEACB-BCD=DCE-BCD，即ACD=BCE在ACD 和BCE 中，AC=BCACD=BCECD=CEACDBCE（SAS）AD=BE（2）DCE=90，CD=CE，DCE 为等腰直角三角形，CMDE，CM 平分 DE，即 M 为 DE 的中点CM=1DE，2DE=2CM=14，ACB=DCEACB-BCD=DCE-BCD，即ACD=BCE在ACD 和BCE 中，AC=BCACD=BCECD=CEACDBCE（SAS）AD=BE=10，CAD=CBEAE=AD+DE=24如图，设 AE，BC 交于点 H，在ACH 和BEH 中，CAH+ACH=EBH+BEH，而CAH=EBH，BEH=ACH=90，ABE 为直角三角形由勾股定理得AB=AE2BE2=242102=26（3）由（1）（2）可得ACDBCE，DAC=EBC，ACB，DCE 都是等腰三角形，ACB=DCE=120CAB=CBA=CDE=CED=30，CMDE，CMD=90，DM=EM，CD=CE=2CM，DM=EM=3CMDE=23CM=23bBEN=BAE+ABE=BAE+EBC+CBA=BAE+DAC+CBA=30+30=60，NBE=30，BE=2EN，B