勾股定理单元 易错题检测试卷.pdf

一、选择题一、选择题1如图，在ABC中，C 90,AC 4cm，BC 3cm，点 D、E 分别在 AC、BC上，现将DCE沿 DE 翻折，使点 C 落在点C处，连接AC，则AC长度的最小值（）A不存在C等于 2 cmB等于 1cmD等于 2.5 cm2如图，在长方形纸片ABCD中，AB 8cm，AD6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（）A25cm4B15cm26C7cmD13cm23如图，已知圆柱的底面直径BC，高AB 3，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（）A18B48C120D724如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）AcmBcmCcmD9cm5如图，ABC中，ACB90，AC 2，BC 3设AB长是m，下列关于m的四种说法：m是无理数；m可以用数轴上的一个点来表示；m是 13 的算术平方根；2 m3其中所有正确说法的序号是（）ACA内角和为 360B对角线互相平分BDC对角线相等D对角线互相垂直6下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）7如图，在等腰 RtABC 中，C90，AC7，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，则点 D 到 AB 的距离是（）A3A8B4B9.6C7(2 1)C10D7(2 1)D128在ABC 中，AB=10，BC=12，BC 边上的中线 AD=8，则ABC 边 AB 上的高为（）9如图，已知数轴上点P表示的数为1，点A表示的数为 1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB 1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（）A5B5 1C5 1D 5 110如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE=10，BE=24，则 EF 的长是（）A14B13C143D142二、填空题二、填空题11如图，MON90，ABC 的顶点 A、B 分别在 OM、ON 上，当 A 点从 O 点出发沿着 OM 向右运动时，同时点 B 在 ON 上运动，连接 OC若 AC4，BC3，AB5，则 OC的长度的最大值是_12我国古代数学名著九章算术中有云：“今有木长二丈，围之三尺葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？”大意为：有一根木头长2 丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7 周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是_尺(注：l丈等于 10 尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)13在ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC的周长为_14在ABC 中，AB6，AC5，BC 边上的高 AD4，则ABC 的周长为_.15算法统宗中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点 A 离地 1 尺，将它往前推送 10 尺(水平距离)时，点 A 对应的点 B 就和某人一样高，若此人的身高为 5 尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为_尺.16如图，长方形 ABCD 中，A=ABC=BCD=D=90，AB=CD=6，AD=BC=10，点 E 为射线AD 上的一个动点，若ABE 与ABE 关于直线 BE 对称，当ABC 为直角三角形时，AE的长为_17已知 x，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_18如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得ABC，则 AC 边上的高的长度是_19如图的实线部分是由RtABC经过两次折叠得到的.首先将RtABC沿高CH折叠，使点B落在斜边上的点B处，再沿CM折叠，使点A落在CB的延长线上的点A处.若图中ACB90，BC 15cm，AC 20cm，则MB的长为_.20如图，在ABC中，AB AC，点D在ABC内，AD平分BAC，连结CD，把ADC沿CD折叠，AC落在CE处，交AB于F，恰有CE AB.若BC 10，AD7，则EF _.三、解答题三、解答题21如图，在两个等腰直角ABC和CDE中，ACB=DCE=90（1）观察猜想：如图 1，点 E 在 BC 上，线段 AE 与 BD 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把CDE绕直角顶点 C 旋转到图 2 的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE绕点 C 在平面内自由旋转，若 AC=BC=10，DE=12，当 A、E、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长22如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为 CD 边上一点，将 ADE 沿 AE 折叠，使点D 落在 BC 边上的点 F 处（1）求 BF 的长；（2）求 CE 的长23如图，在ABC中，BAC 90，AB AC，点D是BC上一动点、连接AD，过点A作AE AD，并且始终保持AE AD，连接CE，（1）求证：ABD ACE；（2）若AF平分DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；若BD 3，CF 4，求AD的长，24如图，在边长为 2 的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD DE DF（1）若AED30，则ADB _（2）求证：BEDCDF（3）试说明点D在BC边上从点B至点C的运动过程中，BED的周长l是否发生变化？若不变，请求出l的值，若变，请求出l的取值范围25如图，ABC 中 AC=BC，点 D，E 在 AB 边上，连接 CD，CE(1)如图 1，如果 ACB=90，把线段 CD 逆时针旋转 90，得到线段 CF，连接 BF，求证：ACD BCF；若 DCE=45，求证：DE2=AD2+BE2；(2)如图 2，如果 ACB=60，DCE=30，用等式表示 AD，DE，BE 三条线段的数量关系，说明理由26RtABC中，CAB 90，AC 4，AB8，M、N分别是边AB和CB上的动点，在图中画出AN MN值最小时的图形，并直接写出AN MN的最小值为 .27我国古代数学家赵爽曾用图1 证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图 2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由 4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1 解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求ab的值.228如图，在ABC 中，C90，把ABC 沿直线 DE 折叠，使ADE 与BDE 重合(1)若A35，则CBD 的度数为_；(2)若 AC8，BC6，求 AD 的长；(3)当 ABm(m0)，ABC 的面积为 m1 时，求BCD 的周长(用含 m 的代数式表示)29如图，己知RtABC，ACB90，BAC 30，斜边AB 4，ED为AB垂直平分线，且DE 2 3，连接DB，DA.（1）直接写出BC _，AC _；（2）求证：ABD是等边三角形；（3）如图，连接CD，作BF CD，垂足为点F，直接写出BF的长；（4）P是直线AC上的一点，且CP 1AC，连接PE，直接写出PE的长.330如图，在边长为2正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.（1）如图 1，过点E作EF BE交CD于点F，连接BF交AC于点G.求证：BE EF;设AE x，CG y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）在如图 2 中，请用无刻度的直尺作出一个以BE为边的菱形.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1C解析：C【分析】当 C落在 AB 上，点 B 与 E 重合时，AC长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC=BC=3cm，于是得到结论【详解】解：当 C落在 AB 上，点 B 与 E 重合时，AC长度的值最小，C=90，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，由折叠的性质知，BC=BC=3cm，AC=AB-BC=2cm故选：C【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键2A解析：A【分析】由已知条件可证CFEAFD，得到DF=EF,利用折叠知 AE=AB=8cm，设 AF=xcm，则 DF=(8-x)cm，在 RtAFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】四边形 ABCD是长方形，B=D=90，BC=AD,由翻折得 AE=AB=8m，E=B=900,CE=BC=AD又CFE=AFDCFEAFDEF=DF设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm在 RtAFD 中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，0 x2(8 x)262x 25cm4故选择 A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.3D解析：D【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，C的最短距离为线段AC的长.已知圆柱的底面直径BC AD 6，2 3，在RtADC中，ADC90，CD AB3，AC2 AD2CD218，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为62AC2 4AC2 72.故选 D.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答4C解析：C【解析】【分析】本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短蚂蚁爬的是一个长方形的对角线展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解【详解】解：如图 1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是 3 时，需要爬行的路径的长=cm；如图 2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是 4时，需要爬行的路径的长=cm；如图 3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是 6 时，需要爬行的路径的长=cm.所以要爬行的最短路径的长故选 C.【点睛】cm.本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.5C解析：C【分析】根据勾股定理即可求出答案【详解】解：ACB90，在 RtABC 中，mAB故正确，m213，91316，3m4，故错误，故选：C【点睛】本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型AC2BC213，6C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选 C【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.7C解析：C【分析】过点 D 作 DEAB 于点 E，根据角平分线的性质定理，可得：DEDCx，则 BE7 2x，进而可得到 AEAC7，在 RtBDE 中，应用勾股定理即可求解【详解】过点 D 作 DEAB 于点 E，则AED90，AEAC7，ABC 是等腰直角三角形，BCAC7，ABAC2+BC2=7 2，在 RtAED 和 RtACD 中，AEAC，DEDC，RtAEDRtACD，AEAC7，设 DEDCx，则 BD7x，在 RtBDE 中，BE2+DE2=BD2，即：7 2-72 x27-x，2解得：x 7(2 1)，故选：C【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键8B解析：B【分析】如图，作CE AB与 E,利用勾股定理的逆定理证明ADBC,再利用面积法求出 EC 即可.【详解】如图，作CE AB与 E.AD是ABC的中线,BC=12,BD=6,AB 10,AD 8,BD 6,AB2 AD2 BD2,ADB 90,AD BC,SABCCE 故选 B.【点睛】11BC AD AB CE,22128 9.6.10本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.9B解析：B【分析】由数轴上点P表示的数为1，点A表示的数为 1，得 PA=2，根据勾股定理得PB 5，进而即可得到答案【详解】数轴上点P表示的数为1，点A表示的数为 1，PA=2，又lPA，AB 1，PBPA2 AB25，PB=PC=5，数轴上点C所表示的数为：5 1故选 B【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键10D解析：D【分析】24 和 10 为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF 的长【详解】解：AE=10，BE=24，即 24 和 10 为两条直角边长时，小正方形的边长=24-10=14，EF=14214214 2故选 D【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键二、填空题二、填空题115【解析】试题分析：取 AB 中点 E，连接 OE、CE，在直角三角形 AOB 中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得ACB 是直角三角形，所以 CE=AB，利用 OE+CEOC，所以 OC 的最大值为OE+CE，即 OC 的最大值=AB=5考点：勾股定理的逆定理，12【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20 尺，另一条直角边长 73=21（尺），因此葛藤长202212=29（尺）答：葛藤长 29 尺故答案为：29【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解1332 或 42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案【详解】当ABC 是钝角三角形时，D=90，AC=13，AD=12，CDAC2 AD2 1321225,D=90，AB=15，AD=12，BD AB2 AD2152122 9,BC=BD-CD=9-5=4，ABC 的周长=4+15+13=32；当ABC 是锐角三角形时，ADC=90，AC=13，AD=12，CDAC2 AD2 1321225，ADB=90，AB=15，AD=12，BD AB2 AD2152122 9，BC=BD-CD=9+5=14，ABC 的周长=14+15+13=42；综上，ABC 的周长是 32 或 42，故答案为：32 或 42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.14142 5或82 5【分析】分两种情况考虑：如图1 所示，此时 ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形 ACD 中，利用勾股定理求出BD 与 DC 的长，由 BD+DC 求出 BC 的长，即可求出周长；如图 2 所示，此时 ABC 为钝角三角形，同理由BD-CD 求出 BC 的长，即可求出周长【详解】解：分两种情况考虑：如图 1 所示，此时ABC 为锐角三角形，在 RtABD 中，根据勾股定理得：BD=在 RtACD 中，根据勾股定理得：CD=BC=2 5 3，AB2 AD26242 2 5，AC2 AD252423，ABC 的周长为：652 5 3142 5；如图 2 所示，此时ABC 为钝角三角形，在 RtABD 中，根据勾股定理得：BD=在 RtACD 中，根据勾股定理得：CD=BC=2 5 3，AB2 AD26242 2 5，AC2 AD252423，ABC 的周长为：65 2 5 382 5；综合上述，ABC 的周长为：142 5或82 5；故答案为：142 5或82 5.【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键155【分析】设绳索 x尺，过点 B向地面及 AO作垂线 BE、BC，构成直角三角形 OBE，利用勾股定理求出 x 的值【详解】如图，过点 B 作 BCOA于点 C，作 BD垂直于地面，延长OA交地面于点 D由题意知 AD=1，BE=5，BC=10设绳索 x尺，则 OA=OB=xOC=x+1-5=x-4在 RtOBC中，OB2=OC2+BC2x (x4)10得 x=14.5（尺）故填 14.5222,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.162 或 18【分析】分两种情况:点 E 在 AD 线段上,点 E 为 AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.【详解】解：如图点 E 在 AD 线段上，ABE 与ABE 关于直线 BE 对称，ABEABE,B AE=A=90o,AB=ABB AC=90o,E、A,C 三点共线,CD AB在ECD 与 CB A中，D BAC,DEC ECBECD CB A,CE=BC=10,在 RTCB A中，AC=BC2BA2=10262=8,AE=AE=CE-AC=10-8=2;如图点 E 为 AD 延长线上,由题意得：ABC+ACB=DCE+ACB=90oABC=DCE,A=CDE在ABC 与DCE 中，CD ABABC DCEABCDCE,DE=AC,在 RT ABC 中，AC=BC2BA2=10262=8,AE=AD+DE=AD+AC=10+8=18;综上所知,AE=2 或 18.故答案为:2 或 18.【点睛】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.173 10，6 2或3 2【解析】【详解】（x-6）2=9，x-6=3，解得：x1=9，x2=3，x，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，当 x=3时，x、y都为直角三角形的直角边，则斜边为32323 2；当 x=9时，x、y都为直角三角形的直角边，则斜边为92323 10；当 x=9时，x 为斜边、y为直角边，则第三边为92326 2.故答案为：3 10，6 2或3 2.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解355【详解】18四边形 DEFA 是正方形，面积是 4；ABF，ACD 的面积相等，且都是12=1BCE 的面积是：1111=2213=22则ABC 的面积是：411在直角ADC 中根据勾股定理得到：AC=22+12=5设 AC 边上的高线长是 x则解得：x=315ACx=x=，222355故答案为19335.5【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知ACM ACM,BCH BCH,BC 15cm，AC 20cm，BC BC 15cm,AC AC 20cm,AB 20155cm，ACB90，AM AB(等量替换)，CH AB（三线合一），222AB 25cm,利用勾股定理假设MB的长为 m，AM AM 257m，则有m(25 7m)5，解得m 3，所以MB的长为 3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.204913【解析】【分析】如图（见解析），延长 AD，交 BC 于点 G，先根据等腰三角形的三线合一性得出AGBC，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出23 45，从而得出CDG是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC、CE、CF 的长，最后根据线段的和差即可得【详解】如图，延长 AD，交 BC 于点 GAD平分BAC，AB AC,BC 10B ACB,AG BC，且 AG 是 BC 边上的中线B 123,CG 1BC 52由折叠的性质得1 2,CE ACB 123 223CE AB，即BFC90B390223390，即23 45CDG是等腰直角三角形，且DG CG 5AG ADDG 7512在RtACG中，AC CG2 AG25212213CE AB AC 13由三角形的面积公式得SABC即11BC AG ABCF22111201012 13CF，解得CF 2213120491313EF CE CF 13故答案为：4913【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键三、解答题三、解答题21（1）AE BD，AE BD；（2）成立，理由见解析；（3）14 或 2【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC，CE CD，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD，EACDBC，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得AHD 90，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD，EACDBC，再根据直角三角形两锐角互余可得EACAOC90，然后根据对顶角相等、等量代换可得DBCBOH 90，从而可得OHB90，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB 10 2，再分点A,E,D在直线上，且点 E 位于中间，点A,E,D在直线上，且点 D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得【详解】（1）AE BD，AE BD，理由如下：如图 1，延长 AE 交 BD 于 H，由题意得：AC BC，ACE BCD90，CE CD，ACE BCD(SAS)，AE BD，EACDBC，DBCBDC 90，EACBDC90，AHD 180(EAC BDC)90，即AE BD，故答案为：AE BD，AE BD；（2）成立，理由如下：如图 2，延长 AE 交 BD 于 H，交 BC 于 O，ACBECD90，ACBBCE ECDBCE，即ACE BCD，AC BC在ACE和BCD中，ACE BCD，CE CDACE BCD(SAS)，AE BD，EACDBC，ACB90，EACAOC90，AOC BOH，DBCBOH 90，即OBH BOH 90，OHB 180(OBH BOH)90，即AE BD；（3）设AD x，AC BC 10,ACB 90，AB 2AC 10 2，由题意，分以下两种情况：如图 3-1，点A,E,D在直线上，且点 E 位于中间，同理可证：AE BD，AE BD，DE 12，BD AE ADDE x12，在RtABD中，AD2 BD2 AB2，即x2(x 12)2(10 2)2，解得x 14或x 2（不符题意，舍去），即AD 14，如图 3-2，点A,E,D在直线上，且点 D 位于中间，同理可证：AE BD，AE BD，DE 12，BD AE ADDE x12，在RtABD中，AD2 BD2 AB2，即x2(x 12)2(10 2)2，解得x 2或x 14（不符题意，舍去），即AD 2，综上，AD 的长为 14 或 2【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键22（1）BF 长为 6；（2）CE 长为 3，详细过程见解析【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，B=90，AF=AD=10，且 AB=8，在RtABF 中，可由勾股定理求出 BF 的长；（2）设 CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知 BF=6，则 CF=4，在RtCEF 中，可由勾股定理求出 CE 的长【详解】解：（1）四边形 ABCD 为矩形，B=90，且 AD=BC=10，又AFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的，AF=AD=10，又AB=8，在RtABF 中，由勾股定理得：BF=AF2-AB2=102-82=6，故 BF 的长为 6（2）设 CE=x，四边形 ABCD 为矩形，CD=AB=8，C=90，DE=CD-CE=8-x，又AFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的，FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故 CF=BC-BF=10-6=4，在RtCEF 中，由勾股定理得：CF2+CE2=EF2，42+x2=(8-x)2，解得：x=3，故 CE 的长为 3【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键23（1）见详解（2）结论：BD2 FC DF2，证明见详解3 5【分析】（1）根据SAS，只要证明BADCAE即可解决问题；（2）结论：BD2 FC DF2连接EF，进一步证明ECF 90，DF EF，再利用勾股定理即可得证；过点A作AGBC于点G，在Rt ADG中求出AG、DG即可求解【详解】解：（1）AE ADDACCAE 90BAC 90DACBAD90BADCAE在ABD和ACE中22AB ACBAD CAEAD AEABDACESAS（2）结论：BD2 FC DF2证明：连接EF，如图：2ABDACEB ACE，BDCEECF BCAACE BCAB 90FC2CE2 EF2FC2 BD2 EF2AF平分DAEDAF EAF在DAF和EAF中AD AEDAF EAFAF AFDAFEAFSASDF EFFC2 BD2 DF2即BD2 FC DF2过点A作AGBC于点G，如图：2由可知DF2 BD2 FC 32 42 25DF 5BC BDDF FC 35412AB AC，AGBCBG AG 211BC 12 622DG BGBD633在Rt ADG中，ADDG2 AG232623 52故答案是：（1）见详解（2）结论：BD2 FC DF2，证明见详解3 5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明24（1）90；（2）证明见解析；（3）变化，23 l 4【分析】（1）由等边三角形的性质可得ABC=ACB=60，由等腰三角形的性质可求DAE=DEA=30，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得CDF=DEA 和EDB=DFA，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l=2+AD，根据 AD 的取值范围即可得出 l 的取值范围【详解】解：（1）ABC 是等边三角形，AB=AC=BC=2，ABC=ACB=60，AD=DEDAE=DEA=30，ADB=180-BAD-ABD=90，故答案为：90；（2）AD=DE=DF，DAE=DEA，DAF=DFA，DAE+DAF=BAC=60，DEA+DFA=60，ABC=DEA+EDB=60，EDB=DFA，ACB=DFA+CDF=60，CDF=DEA，在BDE 和CFD 中CDF DEADE DF，EDB DFABDECFD（ASA）（3）BDECFD，BE=CD，l=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD，当 D 点在 C 或 B 点时，AD=AC=AB=2,此时 B、D、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当 D 点在 BC 的中点时，AB=AC，BD=1BC 1，ADAB2BD23，2此时l 2 AD 23综上可知23 l 4【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取25（1）详见解析；详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EBAD，证明详见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得CF=CD，DCF=90，再根据已知条件即可证明ACD BCF；连接 EF，根据中全等三角形的性质可得EBF=90，再证明DCEFCE 得到 EF=DE即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出 AD，DE，BE 之间的关系【详解】解：（1）证明：由旋转可得 CF=CD，DCF=90ACD=90ACD=BCF又AC=BCACDBCF证明：连接 EF，由知ACDBCFCBF=CAD=CBA=45，BCF=ACD，BF=ADEBF=90EF2=BE2+BF2，EF2=BE2+AD2又ACB=DCF=90，CDE=45FCE=DCE=45又CD=CF，CE=CEDCEFCEEF=DEDE2=AD2+BE2DE2=EB2+AD2+EBAD理由：如图 2，将ADC 绕点 C 逆时针旋转 60，得到CBF，过点 F 作 FGAB，交 AB的延长线于点 G，连接 EF，CBE=CAD，BCF=ACD，BF=ADAC=BC，ACB=60CAB=CBA=60ABE=120，EBF=60，BFG=30BG=13BF，FG=BF22ACB=60，DCE=30，ACD+BCE=30，ECF=FCB+BCE=30CD=CF，CE=CEECFECDEF=ED在 RtEFG 中，EF2=FG2+EG2又EG=EB+BGEG=EB+1BF，213BF）2+（BF）22213AD）2+（AD）222EF2=（EB+DE2=（EB+DE2=EB2+AD2+EBAD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系26作图见解析，【分析】作 A 点关于 BC 的对称点 A，AA 与 BC 交于点 H，再作 AMAB 于点 M，与 BC 交于点N，此时 AN+MN 最小，连接 AN，首先用等积法求出 AH 的长，易证ACHANH，可得AN=AC=4，然后设 NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，AM 的长即为 AN+MN 的最小值【详解】如图，作 A 点关于 BC 的对称点 A，AA 与 BC 交于点 H，再作 AMAB 于点 M，与 BC 交于点 N，此时 AN+MN 最小，最小值为 AM 的长325连接 AN，在 RtABC 中，AC=4，AB=8，BC=AB2 AC2=82 42=4 511ABAC=BCAH22AH=848 5=54 5CAAB，AMAB，CAAMC=ANH，由对称的性质可得 AH=AH，AHC=AHN=90，AN=AN在ACH 和ANH 中，C=ANH，AHC=AHN，AH=AH，ACHANH（AAS）AN=AC=4=AN，设 NM=x，在 RtAMN 中，AM2=AN2-NM2=42 x216 x2在 RtAAM 中，AA=2AH=16 5，AM=AN+NM=4+x5216 52 4 xAM2=AA2-AM2=516 522 4 x=16 x52解得x 1251232=55此时AN MN的最小值=AM=AN+NM=4+【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键27（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4 个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出ab为大正方形面积和4 个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方在直角三角形中，两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，a2+b2=c2（2）S大正方形=c2，S小正方形=(b-a)2，4 SRt=4 c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2，即 a2+b2=c2（3）4 SRt=S大正方形-S小正方形=13-1=12,2ab=12.(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.28（1）CBD=20；（2）AD=6【分析】（1）根据折叠可得1=A=35，根据三角形内角和定理可以计算出ABC=55，进而得到CBD=20；（2）根据折叠可得 AD=DB，设 CD=x，则 AD=BD=8-x，再在 RtCDB中利用勾股定理可得 x2+62=（8-x）2，再解方程可得 x的值，进而得到 AD的长；（3）根据三角形 ACB的面积可得21ab=2ab，21；(3)BCD的周长为 m+241AC CB m1，2进而得到 ACBC=2m+2，再在 RtCAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到BCD的周长【详解】（1）把ABC沿直线 DE折叠，使ADE与BDE重合，1=A=35，C=90，ABC=180-90-35=55，2=55-35=20，即CBD=20；（2）把ABC沿直线 DE 折叠，使ADE与BDE重合，AD=DB，设 CD=x，则 AD=BD=8-x，在 RtCDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x=AD=8-7，471=6；44（3）ABC 的面积为 m+1，1ACBC=m+1，2ACBC=2m+2，在 RtCAB中，CA2+CB2=BA2，CA2+CB2+2ACBC=BA2+2ACBC，（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，CA+CB=m+2，AD=DB，CD+DB+BC=m+2即BCD的周长为 m+2【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段29（1）2，2 3（2）证明见解析（3）【分析】2 212 32 21（4）或373（1）根据含有 30角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长；（2）由ED为AB垂直平分线可得 DB=DA，在 RtBDE 中，由勾股定理可得 BD=4，可得BD=2BE，故BDE 为 60，即可证明ABD是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC=2 3，AD=4，进而可求得 CD 的长，再由等积法可得S四边形ACBD SBCD SACD，代入求解即可；（4）分点 P 在线段 AC 上和 AC 的延长线上两种情况，过点E 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，构造 RtPQE，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）RtABC，ACB90，BAC 30，斜边AB 4，BC 1AB 2，AC AB2BC2=2 3；2（2）ED为AB垂直平分线，ADB=DA，在 RtBDE 中，BE AE BD 1AB 2，DE 2 3，2BE2 DE2=4，BD=2BE，BDE 为 60，ABD为等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC=2 3，AD=4，CD AC2 AD2=2 7，BCDS四边形ACBD S SACD，111(BC AD)AC AC ADBF CD，2222 21；7BF（4）分点 P 在线段 AC 上和 AC 的延长线上两种情况，如图，过点 E 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，AE=2，BAC=30，EQ=1，AC=2 3，CQ QA=3，若点 P 在线段 AC 上，则PQ CQ CP=3 PE 23，3 33PQ2 EQ2=2 3；325 3，3 33若点 P 在线段 AC 的延长线上，则PQ CQ CP=3 PE PQ2 EQ2=2 21；3综上，PE 的长为【点睛】2 32 21.或33本题考查勾股定理及其应用、含30的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出 BF 的长，二是对点 P 的位置要分情况进行讨论.30(1)见解析；y【解析】【分析】（1）连接 DE，如图 1，先用 SAS 证明CBECDE，得 EB=ED，CBE=1，再用四边形的内角和可证明EBC=2，从而可得1=