勾股定理易错题.pdf

错题一、折叠一、折叠1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC=6cm、BC=8cm，现将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为_cm。2、如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在 AB 上的点 E 处，已知 AC=6，B=30，则 DE 的长是_。3、如图，RtABC 中，AB=9,BC=6，B=90，将ABC 折叠，使A 点与 BC 的中点重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为_。4、如图，长方形纸片ABCD 沿对角线 AC 折叠，设点 D 落在 D处，BC 交 AD于点 E，AB=6cm，BC=8cm，求阴影部分的面积。5、如图，已知矩形ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在 C处，BC交 AD 于 E，AD=8,AB=4，则 DE 的长为_.6、如图，长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为_.7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 BD 的长吗？8、如图，在 RtABC 中，AB=9,BC=6,B=90，将ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为_.9、已知已知直角三角形纸片 OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4。如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D。若折叠后点 B与点 A 重合，求点 C 的坐标。10、如图，在RtABC 中，ABC=60，DE 是斜边 AB 的垂直平分线，分别交AC、AB于 D、E 两点。若 BD=2，则 AB 的长是_.11、如图，在 RtABC 中，B=90，AB=3，BC=4，将ABC 折叠，使点 B 恰好落在边 AC 上，与点 B重合，AE 为折痕，则 EB=_.12、如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点 A在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在 OC 边上取一点 D，将纸片沿 AD 翻折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处，求 D、E 两点的坐标13、如图，在三角形纸片 ABC 中，BC=3,AB=6,BCA=90，在 AC 上取一点 E，以 BE为折痕，使 AB 的一部分与 BC 重合，点 A 与 BC 延长线上的点 D 重合，则 DE 的长度为_.勾股定理的逆定理与面积勾股定理的逆定理与面积1、如图，在ABC 中，AB=15,BC=14,AC=13,求ABC 的面积。2、如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，则四边形 ABCD 的面积为_.3、如图所示的一块地，已知 AD=4m，CD=3m，ADDC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。4、已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2，求：四边形 ABCD 的面积。5、如图，由四个边长为 1 的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC 中 BC 边上的高是_。三、实际运用三、实际运用1、小明搬来一架 2.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.4 米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为_米。2、如图，将一根 25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为 8cm、6cm 和10 3cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外的最短长度是_cm。3、一个圆柱形玻璃杯的内径（直径）是 5cm，内高是 12cm，杯中灌满水，把一根长 20cm 的木筷插入杯中，露出水面的长度最短是_.4、将一根长 24cm 的筷子，置于底面半径为 5cm、高为 12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h cm，则 h 的取值范围为_.5、在一棵树的 10 米高的 B 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A 处（离树 20 米）的池塘边。另一只爬到树顶D 处后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_.6、丁、胡、沈：如图是油路管道的一部分，眼神到外围的支路恰好构成一个直角三角形，两条直角边长分别为 6 m、8 m。按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道，则 O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是_m。7、如图，学校内有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草。8、如图，小雨和她的同学荡秋千，秋千在平衡位置时，下端B离地面 0.6 米，当秋千荡到 AB 的位置时，下端 B 距平衡位置的水平距离 EB 为 2.4 米。求秋千AB的长。9、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示，正方形DEFH 的边长为 2米，坡脚A=30，B=90，BC=6 米，当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当AE=_米时，DC2 AE2 BC2。四、命题四、命题1、两个命题的题设和结论正好相反，这样的命题叫做_，如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的_命题。2、下列各命题的逆命题不成立的是（）A两直线平行，同旁内角互补B若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C对顶角相等D如果a b，那么 a=b226、下列命题：若11，则a=b；若a2 b2，则丨a 丨=丨 b 丨；两个锐角的和ab是锐角；同角或等角的补角相等。其中逆命题正确的个数是_个。勾股数3、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有_组。4、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2 倍，那么斜边扩大到原来的_倍。5、五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）六、三角形的判断问题六、三角形的判断问题1、若ABC 的三边 a，b，c，满足(ab)(a2b2c2)0，则ABC 是（）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形D等于直角三角形2、ABC 中，如果(ab)(ab)c，则ABC 是_三角形，且_=90。3、在ABC 中，若 a=3 2，b=6，c=3 2，则ABC 是_三角形。2(a2b2c2)=0，4、若ABC 的三边长为 a、b、c，且满足（a-b）则ABC 是（）A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形七、勾股定理解直角三角形七、勾股定理解直角三角形1、直角三角形的周长为 12cm，斜边长为 5cm，其面积为_。2、已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是_。八、台风、拱桥、噪声八、台风、拱桥、噪声1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 交汇，且QPN=30，点 A 处有一所学校，AP=160，假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由，如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18km/h，那么学校受影响的时间是多少？2、一辆装满货物的卡车，2.5 米高，1.6 米宽，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门？说明理由。3、如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处，以10 7千米/时的速度向北偏西 60的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域。（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？4、有一辆装满货物的卡车，高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2 米，长方形的另一条边长是 2.3米。（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由；（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为 1.2 米，高为 2.8 米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？5、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过C 点作直线 AB 的垂线 L，过点 B 作一直线（在山的旁边经过），与 L 相交于 D 点，经测量ABD=135，BD=800 米，求直线 L 上距离 D 点多远的 C 处开挖？（21.414，精确到 1 米）6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市 A 正南 240 千米的 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 25 千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿北偏东 30方向向 C 移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？九、勾股证明九、勾股证明1、如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在 RtABC 中，若直角边 AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_。2、如图分别以ABC 三边 a、b、c 为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若 S1+S2=S3 成立，则ABC 是直角三角形吗？3、刘、沈、丁：如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等于直角三角形，若斜边 AB=3，则图中阴影部分的面积为_.4、胡、刘、沈、丁：如图，在RtABC 中，ACB=90，AB=4，分别以AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1、S2，则 S1+S2=_.5、如图，在等腰直角三角形 OAA1 中，OAA1=90，OA=1，以 OA1 为直角边作等腰直角三角形 OA1A2，以OA2 为直角边作等腰直角三角形 OA2A3，.，则 OA4的长度为_.6、刘、胡、沈：一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下至 ABCD的位置，连接CC，AC，AC。设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形 BCCD的面积证明a b c。2227、丁、胡、沈、刘：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）。如图2 由弦图变化得到，它是八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH 和正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2 和 S3。若S1+S2+S3=10，则 S2=_.十、最短路径十、最短路径1、如图，在ABC 中，点 P 在边 AC 上移动，若 AB=AC=5，BC=6，则 AP+BP+CP 的最小值为_.2、胡、丁：如图，圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为 2 dm，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最短为_dm。3、胡、沈、丁：如图，有一个圆柱形无盖油罐，它的底面圆周长为 24m，高为6m，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处沿油罐侧面爬行到对面 B 处偷油吃，则它爬行的最短路程为多少？4、如图，长方体的长、宽、高分别为 3cm、1cm、6cm。如果一只小虫从点 A 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B，那么这只小虫所爬行的最短路程为_cm.5、如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从点 A 到点 B 只能沿图中的线段走，那么从点 A 到点 B 的最短距离的走法共有_种。6、如图，一个牧童在小河的正南方向4 km 的 A 处牧马，此时他正位于小屋B 的正北方向 7km、正西方向 8 km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回到小屋。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？7、刘、胡、沈：如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为 18 cm，在杯内离杯底 4 cm的点 C 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在玻璃杯的外壁，离杯上沿4 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，求蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离。十一、分类讨论十一、分类讨论1、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（10，0）、（0，4），点 D 是 OA 的中点，点P 在 BC 上运动，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为_.2、某园艺公司对一块直角三角形花圃进行改造，测得两直角边分别为 6m，8m。现要将其扩建成等腰三角形，且扩建部分是以 8m 为直角边的直角三角形，求扩建后等腰三角形花圃的周长。3、在ABC 中，AB=2，AC=2，B=30，则BAC=。十二、几何大题十二、几何大题1、刘、沈：如图，在ABC 中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分别为 D、E，点 F 为BC 的中点，BE 与 DF、DC 分别交于点 G、H，ABE=CBE。（1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；（2）求证：BG GE EA。2222、如图，在ABC 中，AC=3，AB=5，边 BC 上的中线 AD=2，延长 AD 到点 E，使DE=AD，连接 BE。（1）求证：BEAE；（2）求 BC 的长。3、胡、刘、丁：如图，在ABC 中，AB=AC=20，BC=32，点 D 在 BC 上，且CAD=90。求BD 的长。4、沈、刘、丁：如 图，A，B 是公路 l（l 为东西走向）两 旁的两个村庄，A 村到公路 l 的距离 AC=1km，B 村到公路 l 的距离 BD=2km，B 村在 A 村的南偏东 45方向上（1）求出 A，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在 CD 的中点处新建一个公共汽车站比较车站到两村距离5、丁、胡、沈、刘如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴上，且 A（4,0），点 B 在 y 轴上，且 B（0,4）（1）求线段 AB 的长（2）若点 E 在线段 AB 上，OEOF，且 OE=OF，求 AE+AF 的值（3）在（2）的条件下，过 点 O 作 OMEF，交 AB 于点 M，试 确定线段 BE、EM、AM 的数量关系，并证明你的结论。平行四边形1、由等腰三角形底边上任一点（端点除外）作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的（）A、周长B、一腰的长C、周长的一半D、两腰的和2、如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，若在 AE=4，AF=6，ABCD的周长为 40，求ABCD 的面积3、如图，在ABCD 中，2AB=BC，M 为 AB 的中点，求证：AMDM4、如图，在ABCD 中，M、N 分别在 AD、BC 上，E、F 在对角线上，且 AM=CN，BE=DF，则 MF 与 NE 有怎样的位置关系？并说明理由。5、已知：ABCD 中，E、F 分别是 BA、DC 上的点，且 AECF，交 BC、AD 于点 G、H，试说明 EG=FH。6、沈、胡、刘：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=3,AD=4,ABC=60，过 BC的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，且与 DC 的延长线相交于点 H，则DEF 的面积是_.7、如图，以平行四边形 ABCD 的两邻边 BC、CD 为边分别向外作等边三角形 BCE和等边三角形 CDF，连接 PF、AE、AF，试判断AEF 的形状并证明你的结论。8、如图，在 RtABC 中，B=90，AB=3，BC=4，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 最短是_.9、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ABC：BCD=1：3，BC=4，BD、AC 相交于点 O，且 COBC，求 CD、BD 的长及平行四边形 ABCD 的面积。10、丁：（1）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，直线 EF经过点 O，分别交 AD、BC 于点 E、F。求证：AE=CF；（2）如图，将平行四边形 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处，点 B 落在点 B1 处，设 FB1 交 CD 于点 G，A1B1 分别交 CD、DE于点 H、I，求证：EI=FG。