各类刚体转动惯量公式的推导.pdf
各类刚体的转动惯量的证明各类刚体的转动惯量的证明1.1.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量J mR.2在圆环上取一质元，其质量为dm dl，dl为圆弧元，为线密度（22m）。该2R质元对中心垂直轴 Z 的元转动惯量dJ R dm R dl，圆环对该轴的转动惯量为J dJ 2R0R2dl 2R3 mR2mR22.2.转轴沿圆环直径的转动惯量转轴沿圆环直径的转动惯量J.2在圆环上靠近转轴的一处取一质元dm，其弧长为dl，质元与圆心的连线和转轴 Z 的夹 角（微 夹 角）为d圆 环 的 线 密 度m，其 中dl Rd，2Rdm dl mmRdd.2R21该质元的转动惯量为mmR22dJ R dm (Rsin)dsind2222mR21cos2mR2mR2()d(cos2)d2244则圆环对该转轴的转动惯量为2J dJ 20mRmRmRmRmR2(cos2)dsin24448202222mR23.3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量J.2在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的细圆环，圆盘的质量面密度为的元面积为dS 2rdr，圆环的质量为dm dS 2rdr.该圆环对转轴的转动惯量为dJ r dm 2r dr则整个圆盘的转动惯量为23m，该圆环R2J dJ R011mR23442r dr rR 2220m22(R r).2R4.4.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量转轴沿圆筒几何轴的转动惯量J 2在圆筒上取一微截圆筒，其质量为dm，再在该微截圆筒上取一宽度为dr，半径为r的元圆筒，记取得的元圆筒质量为dM（由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元圆筒看成质量为dm和dM的圆环）.圆环的面密度元圆筒的面积dS 2rdr元圆筒的质量dM dS 2rdr元圆筒对 Z 轴的转动惯量为dm.(R2r2)dJ(2rdr)r 2r3drrrR2R111r4(R4r4)(R2r2)(R2r2)222r122(R2r2)22(R r)(R r)dm22则整个圆筒的转动惯量为RJ dJ m0R2r2mdm(R2r2).22mR25.5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量J.2在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。在圆盘上取一宽度为dr，半径为r的圆环，记该圆环的质量为dM。圆盘的面密度为dm.R2圆环的面积为dS 2rdr，质量dM dS 2rdr圆环的转动惯量dJ0 r dM 2r dr233圆盘的转动惯量为dJ dJ0dJ00RR01R4R2342r dr rdm2220R则整个圆柱体的转动惯量为J dJ m0R2mR2.dm 22mr2mL26.6.转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量J.412在圆柱体上取一厚度为dy的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为dx的微细长方体，如上图。该微细长方体一端的坐标为(x,z)，设该点与圆心的连线同x轴的夹角为，圆柱体的半径为r，则有x rcos,z rsin。圆柱体的密度为mr2L细微长方体的体积为dV 2zdxdy，质量为dm dV 2zdxdy，到转轴 Z 的距离为Rg x2 y2则细长方体的转动惯量为dJ0 Rg dm (x y)dV 2z(x y)dxdy则整个细微圆柱体的转动惯量为dJ J0dJ0将x rcos,z rsin代入上式得dJ 22222rrr2z(x2 y2)dxdyr2rsin(r2cos2 y2)dxdy4 2rdysin(y2r2cos2)d(rcos)rr 2r dysin2(y2r2cos2)d20由二倍角公式得sin则201cos2cos21cos41,cos2,cos22222dJ 2r dysin2(y2r2cos2)d21cos222cos21(y r)d222204y ry2r22 2r dy(cos2cos4)d828 2r dy204y2r2y2r22 2r dysin2sin44328(r y 220r44)dy则整个圆柱体的转动惯量为J dJ(r y r yr y43L2234L2L2L222r44)dy124mr2mL2412r2L3r4Lml27.7.转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量J.12在棒上取一质元，质元的长度为dx，距转轴 Z 的距离为x，设细棒的线密度为，则5m，该质元的质量为dm dxl22质元的转动惯量为dJ x dm x dx则整个细棒的转动惯量为J dJ l2l213ml2x dx l 12122ml28.8.转轴通过细棒端点与棒垂直的转动惯量为转轴通过细棒端点与棒垂直的转动惯量为J.3在棒上取一质元，质元的长度为dx，距转轴 Z 的距离为x，设细棒的线密度为，则m，该质元的质量为dm dx.l22质元的转动惯量为dJ x dm x dx则整个细棒的转动惯量为13ml2J dJ x dx l 033l22mr29.9.转轴通过球体沿直径的转动惯量为转轴通过球体沿直径的转动惯量为J.56如上图，在离球心距离为z处取一厚度为dz的圆盘，圆盘半径为Rg。在圆盘上取一宽度为dy，半径为y的圆环。设球的密度为，m43r3，则圆盘的质量为dm Rg2dz，Rg r2 z2，圆盘的面密度为为dl的质元，则质元的质量dm0dS dydl质元的转动惯量为dJ0 y dm0y dydl则圆环的转动惯量为J0J022dm。在圆盘的圆环上取一长度2Rg2y0y2dydl 2y3dyRg整个圆盘的转动惯量为dJ J002y dy 3r2z202y dy 3(r2 z2)22dm(r2 z2)dzdzRg2(r2 z2)则dJ(r2 z2)dz2整个圆球的转动惯量为J r(r2 z2)2r8r52mr2dz 1552mr210.10.转轴沿球壳直径的转动惯量转轴沿球壳直径的转动惯量J.37在球壳上取一圆心角为d的圆环，球壳半径为r，则圆环的宽度为rd，设圆环的半径为Rg，圆环上一点与球心 O 连线同 z 轴的夹角为，则Rg rsin。球的面密度为m4r2在圆环上取一长度为dl的质元，则质元的质量为dm0dS rdld质元的转动惯量为dJ0 Rg dm0 Rg圆环的转动惯量为dJ dJ0则整个球壳的转动惯量为22rdld2Rg0Rg2rddl 2r4sin3dJ 2r4sin3d 2r0408r42mr23413sind 2rcoscos3330mL211.11.转轴沿底面是正方形的长方体的几何轴的转动惯量转轴沿底面是正方形的长方体的几何轴的转动惯量J.6长方体底面边长均为 L，高为 h，在长方体沿转轴z方向取一长为dy，宽为dx，高为h 的细长方体，由于该细长方体横截面非常小，因此横截面上任意一处可看成一个坐标为(x,y,z)的点。长方体的密度为mhL2x2 y2细长方体的转动半径为r 其质量为dm0hdxdy8则细长方体的转动惯量为dJ0 r dm0(x y)hdxdy整个长方体的转动惯量为222J(x y)hdxdy L2L2L2L22222LL22LL22(x2 y2)hdxdymL26hdy(x y)dx hL46mr212.12.转轴沿圆盘直径的转动惯量转轴沿圆盘直径的转动惯量J.4在圆盘上取一宽度为dz长为2Rg的长方形，Rg 圆盘的面密度为r2 z2如上图。mr2长方形质量为dm 2RgdzRg长方形的转动惯量为dJ 2则整个圆盘的转动惯量为02Rg32(r2 z2)3dzl dl dz dz3322222J 2(r z)dz0334r222(r z)dz304r0222(r r cos)sind32r34r4 3mr22sind4049
