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2023年正弦定理证明（精选多篇） 推荐第1篇：正弦定理证明 新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议 江苏省锡山高级中学杨志文 新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。这些内容都是高中数学中的传统内容。其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容，一直被保留下来。在这次新课程改革中，新普通高中数学课程标准（以下简称标准）与原全日制普通高级中学数学教学大纲（以下简称大纲）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。本文就标准必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议，供大家参考。 一、标准必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较 1课程内容安排上的变化 “解三角形”在原课程中为“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。而在新课程标准中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。 2教学要求的变化 原大纲对“解斜三角形”的教学要求是： （1）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。 （2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。 （3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。 标准对“解三角形”的教学要求是： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 由此可以看出，标准在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。 3、课程关注点的变化 原大纲中，解斜三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而标准则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。 4、内容处理上的变化 原大纲中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性。而标准将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地。 二、教学中应注意的几个问题及教学建议 原大纲中解斜三角形的内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。 而标准将解三角形作为几何度量问题来展开，强调学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，解决简单的三角形度量问题。这就要求在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。因此在教学中应注意以下几个问题。 1要重视探究和推理 标准要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建议在教学中，既要重视从特殊到一般的探索学习过程的教学，又要重视数学的理性思维的培养。教学中不要直接给出定理进行证明，可通过学生对三角形边与角的正弦的测量与计算，研究边与其对角的正弦之间的比，揭示它们在数量上的规律，发现正弦定理的结论，然后再从理论上进行论证，从而掌握正弦定理。从中体会发现和探索数学知识的思想方法。 参考案例：正弦定理的探索、发现与证明 教学建议：建议按如下步骤设计教学过程： (1)从特殊三角形入手进行发现 让学生观察并测量一个三角板的边长。 提出问题：你能发现三边长与其对角的正弦值之比之间的关系吗？ 例如，量得三角板三内角300，600，900所对的三边长分别约为5cm，8.6cm，10cm， 58.610 ，=10»10=10 000 sin30sin60sin90 abc 对于特殊三角形，我们发现规律：。 = sinAsinBsinC 则有： 提出问题：上述规律，对任意三角形成立吗？ (2)实验，探索规律 二人合作，先在纸上做一任意锐角（锐角或钝角）三角形，测量三边长及其三个对角，然后用计算器计算每一边与其对角正弦值的比，填入下面表中，验证前面得出的结论是否正确。（其中，角精确到分， 忽略测量误差，通过实验， 对任意三角形，有结论： abc ，即在一个三角形中，= sinAsinBsinC 各边和它所对的角的正弦的比相等。 提出问题：上述的探索过程所得出的结论，只是我们通过实验(近似结果)发现的一个结果，如果我们能在理论上证明它是正确的，则把它叫做正弦定理。那么怎样证明呢？ (4)研究定理证明的方法方法一：（向量法）若ABC为直角三角形，由锐角三角函数的定义知，定理显然成立。 若ABC为锐角三角形，过点A做单位向量j垂直于AC，则向量j与向量的夹角为900-A， 向 量j 与向量CB的夹角为900-C，（如图1） ，且有：AC+CB=AB， 所以j·(+) = j·即j·+ j· = j·AB 展开|j|AC|cos900+ | j|CB|cos(900-C)=| j|cos(900-A) ac 。 = sinAsinC cbabc 同理，过点C做单位向量j垂直于,可得：，故有 。 = sinCsinBsinAsinBsinC 若ABC为钝角三角形，不妨设角A>900（如图2），过点A做单位向量j垂直于AC，则向量j与 则得 a sinC = c sinA，即 向量AB的夹角为A -900，向量j与向量的夹角为900-C，且有：+=，同样可证得： abc 。 = sinAsinB 提出问题：你还能利用其他方法证明吗？ 方法二：请同学们课后自己利用平面几何中圆内接三角形（锐角，钝角和直角）及同弧所对的圆周角相等等知识，将ABC中的边角关系转化为以直径为斜边的直角三角形中去探讨证明方法。 2要重视综合应用 标准要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。建议在正弦定理、余弦定理的教学中，设计一些关于正弦定理、余弦定理的综合性问题，提高学生综合应用知识解决问题的能力。如可设计下面的问题进行教学： 参考案例：正弦定理、余弦定理的综合应用 C 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14， ÐBDA=60°，ÐBCD=135° .求BC的长.教学建议： 引导学生进行分析，欲求BC，需在BCD中求解，ÐBCD=135°，ÐBDC=30°，需要求BD，而BD需在ABD中求解.再引导学生将 A B 四边形问题转化为三角形问题，选择余弦定理求BD ，再由正弦定理 例2图 求BC。 3要重视实际应用 标准要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。因此建议在教学中，设计一些实际应用问题，为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及与其他学科的联系，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。在题目的设计中要注意对恒等变形降低要求，避免技巧性强的变形和繁琐的运算。 参考案例：解三角形在实际中的应用 参考案例1航海中甲船在A处发现乙船在北偏东45o，与A的距离为10海里的C处正以20海里/h的速度向南偏东75o的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，问甲船沿什么方向，用多少时间才能与 乙船相遇？ 教学建议：引导学生依据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题。若设甲船与乙船经过t小时在B处相遇， 构建DACB，容易计算出AB=20海里,BC=20海里，根据余弦定理建立关于t的方程，求出t，问题就解决了。 答: 甲船沿北偏东75o的方向，经过0.5小时与乙船相遇.参考案例2为了测量某城市电视塔的高度，在一条直道上选 择了A，B，C三点，使AB=BC=60m，在A，B，C三点 o o o 例1图 DA 观察塔的最高点，测得仰角分别为45，54.2，60，若测量 E 者的身高为1.5m，试求电视塔的高度(结果保留1位小数).F 教学建议：引导学生依据题意画出示意图如图，将实际问题转化为 解三角形问题。要求电视塔的高度。只要求出DE的长。将问题中的已 知量、未知量集中到有关三角形中，构造出解三角形的数学模型。在 例2图 DACE中和DBCE中应用余弦定理，使问题获得解决.答: 电视塔的高度约为158.3m. 4要重视研究性学习 解三角形的内容有较强的应用性和研究性，可为学生提供丰富的研究性素材。建议在教学内容的设计上探索开放，在教学形式上灵活多样。可设计一些研究性、开放性的问题，让学生自行探索解决。参考案例：研究性学习 课外研究题：将一块圆心角为120o，半径为20厘米的扇形铁片裁成一块矩形，请你设计裁法，使裁得矩形的面积最大?并说明理由 教学建议：这是一个研究性学习内容，可让学生在课外两人一组合作完成，写成研究报告，在习题课上让学生交流研究结果，老师可适当进行点评。 参考答案：这是一个如何下料的问题，一般有如图（1）、图（2）的两种裁法：即让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB 平行。从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将 这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论 NBB PO图（2） QM O图（1） 按图（1）的裁法:矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设ÐMOA=q，则： 时，Smax=200 4按图（2）的裁法: 矩形一边PQ与弦AB平行，设ÐMOQ=a，在DMOQ中，ÐOQM=90o+30o=120o，由正弦定理，得： sin120o 又QMN=2OMsin(60o-a)=40sin(60o-a)， MQ= 20sina = 40 3sina 3 MP=20sinq,OP=20cosq，从而S=400sinqcosq=200sin2q即当q= p S=MQ×MN= 33 sinasin(60o-a)=cos(2a-60o)-cos60o 33 当a=30o时，Smax=由于 400 3 400平方厘米 >200，所以用第二中裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33 也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性的题目去做，写出研究或实验报告，在学校开设的研究性学习课上进行交流，评价。 参考文献： 全日制普通高中级学数学教学大纲。人民教育出版社。2023年4 月。 普通高中数学课程标准（实验）。人民教育出版社。2023年4月第一次印刷。 普通高中数学课程标准（实验）解读。严士健 张奠宙王尚志等主编。江苏教育出版社。2023年4月。 推荐第2篇：正弦定理证明 正弦定理证明1.三角形的正弦定理证明： 步骤1.在锐角ABC中，设三边为a，b，c。作CHAB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法： 在任意ABC中 做ADBC.C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 3 在ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c2=a2+b2-2ab*cosC a2=b2+c2-2bc*cosA b2=a2+c2-2ac*cosB 下面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此类推。 过A作ADBC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得： c2=(AD)2+(BD)2，(AD)2=b2-(CD)2 所以c2=(AD)2-(CD)2+b2 =(a-CD)2-(CD)2+b2 =a2-2a*CD +(CD)2-(CD)2+b2 =a2+b2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c2=a2+b2-2ab*cosC 题目中2表示平方。 2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材数学(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理) = = ; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是ABC的三条高。则有 AD=bsinBCA， BE=csinCAB， CF=asinABC。 所以SABC=abcsinBCA =bcsinCAB =casinABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是ABC的3条高。则有 AD=bsinBCA=csinABC， BE=asinBCA=csinCAB。 证法三：如图2，设CD=2r是ABC的外接圆 的直径，则DAC=90°，ABC=ADC。 证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 因为AB=AC+CB， 所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.因为jAC=0， jCB=| j |CB|cos(90°-C)=asinC， jAB=| j |AB|cos(90°-A)=csinA . 二、余弦定理的证明 法一：在ABC中，已知 ，求c。 推荐第3篇：正弦定理证明 正弦定理 1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于其外接圆半径的两倍， 即 abc=2R sinAsinBsinC 证明：如图所示，过B点作圆的直径BD交圆于D点，连结AD BD=2R, 则 D=C，ÐDAB=90 在RtDABD中 oA QsinC=sinD=c 2RD b c c=2R sinCab同理：=2R,=2R sinAsinBabc所以=2R sinAsinBsinC2.变式结论 1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 2）sinA=C a B abc ,sinB=,sinC=2R2R2R3）asinB=bsinA,asinC=csinA,csinB=bsinC 4）a:b:c=sinA:sinB:sinC 例题 在DABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若(3b-c)cosA=acosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得 (3sinB-sinC)cosA=sinAcosC 3sinBcosA=sin(A+C)Qsin(A+C)=sinB3sinBcosA=sinBQBÎ(0,p)0<sinB£1cosA=33 推荐第4篇：向量证明正弦定理 向量证明正弦定理 表述：设三面角p-ABC的三个面角BpC，CpA，ApB所对的二面角依次为pA，pB，pC，则SinpA/SinBpC=SinpB/SinCpA=SinpC/SinApB。 目录 1证明2全向量证明 证明 过A做OA平面BpC于O。过O分别做OMBp于M与ONpC于N。连结AM、AN。显然，pB=AMO，SinpB=AO/AM;pC=ANO，SinpC=AO/AN。另外，SinCpA=AN/Ap，SinApB=AM/Ap。则SinpB/SinCpA=AO×Ap/(AM×AN)=SinpC/SinApB。同理可证SinpA/SinBpC=SinpB/SinCpA。即可得证三面角正弦定理。 全向量证明 如图1，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C 由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得· j·AC+CB=j·AB jACcos90°+jCBcos(90°-C) =jABcos(90°-A) asinC=csinA a/sinA=c/sinC 同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得 c/sinC=b/sinB a/sinA=b/sinB=c/sinC 2步骤 1记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90)+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤3. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D.连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB =>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法) =>a/sinA=c/sinC 2023-7-1817:16jinren92|三级 记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC, 4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90°-B，向量AC与向量AD的夹角为90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得 推荐第5篇：正弦定理的证明 正弦定理的证明 （方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当DABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB=bsinA,则a sin=b sin=同理可得 从而a sinAcsinC=bsinB=b sinBcsinC 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （方法二）利用向量证明 rruuur如图，在DABC中，过点A作一个单位向量j，使jAC。 当ÐBAC为钝角或直角时，同理可证上述结论。 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin=b sin=c sin 理解定理 - 1 - （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC； （2） 下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。 （方法三）利用复数证明 如图，如图2，建立平面直角坐标系在复平面内，过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，交于点D asinA=bsinB=csinC等价于asinA=bsinB，csinC=bsinB，asinA=csinC 根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部可以得出 （方法四）利用DABC的外接圆证明 如图，eO是DABC的外接圆，设半径为R，分 别连结OA、OB、OC，过点O作ODBC,垂足为 D。 证明： （方法五）利用DABC的外接圆证明 eO是DABC的外接圆，如图，设半径为R，连结BO并延长，交 eO于点D，连结AD。 证明： （方法六）利用DABC的高线证明 如图，在DABC中，过点B作BDAC，垂足为D 证明： （方法七）利用两角和的正弦公式证明 如图，在DABC中，过点B作BDAC，垂足为D 此题还能这样入手： 以下过程同上。 推荐第6篇：正弦定理证明方法 正弦定理证明方法 方法1:用三角形外接圆 证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D.连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 方法2:用直角三角形 证明：在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=a·sinBCH=b·sinAa·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinCa/sinA=b/sinB=c/sinC 在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。 方法3：用向量 证明：记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,ca+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90)+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0a/sinA=c/sinC(b与i垂直,i·b=0) 方法4：用三角形面积公式 证明：在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CDAB垂足为点D，作BEAC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=csinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE 即c·a·sinB=b·csinAa/sinA=b/sinB同理可得b/sinB=c/sinC a/sinA=b/sinB=c/sinC 用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2 COSc=(a2+b2-c2)/2ab SINc2=1-COSc2 SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2 =/4a2*b2*c2 同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2 得证 正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC 证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便 例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到： 2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径) 角A=角D 得到：2RsinA=BC 同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB 这样就得到正弦定理了 2 一种是用三角证asinB=bsinA 用面积证 用几何法，画三角形的外接圆 听说能用向量证，咋么证呢? 三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b, 因为AB+BC+CA=0 即j*AB+J*BC+J*CA=0 |j|AB|cos90+|j|BC|cos(90-B)+|j|CA|cos(90+A)=0 所以asinB=bsinA 3 用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2 COSc=(a2+b2-c2)/2ab SINc2=1-COSc2 SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2 =/4a2*b2*c2 同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2 得证用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2COSc=(a2+b2-c2)/2abSINc2=1-COSc2SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2=/4a2*b2*c2同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2得证 4 满意答案好评率：100% 正弦定理 步骤1. 在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。 余弦定理 平面向量证法： 如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) c·c=(a+b)·(a+b) c2=a·a+2a·b+b·bc2=a2+b2+2|a|b|Cos(-) (以上粗体字符表示向量) 又Cos(-)=-CosC c2=a2+b2-2|a|b|Cos(注意：这里用到了三角函数公式) 再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 平面几何证法： 在任意ABC中 做ADBC. C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=sinB²·c²+a2+cosB²·c2-2ac*cosB b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 推荐第7篇：正弦定理的证明 正弦定理的证明 用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2 COSc=(a2+b2-c2)/2ab SINc2=1-COSc2 SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2 =/4a2*b2*c2 同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2 得证 正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC 证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便 例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到： 2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径) 角A=角D 得到：2RsinA=BC 同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB 这样就得到正弦定理了 2 一种是用三角证asinB=bsinA 用面积证 用几何法，画三角形的外接圆 听说能用向量证，咋么证呢? 三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b, 因为AB+BC+CA=0 即j*AB+J*BC+J*CA=0 |j|AB|cos90+|j|BC|cos(90-B)+|j|CA|cos(90+A)=0 所以asinB=bsinA 3 用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2 COSc=(a2+b2-c2)/2ab SINc2=1-COSc2 SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2 =/4a2*b2*c2 同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2 得证用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2COSc=(a2+b2-c2)/2abSINc2=1-COSc2SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2=/4a2*b2*c2同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2得证 4 满意答案好评率：100% 正弦定理 步骤1. 在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周