《数学分析》第八章 不定积分 1.ppt

第八章第八章不不 定定 积积 分分 1 不定积分的概念和基本积不定积分的概念和基本积分公式分公式原函数和不定积分原函数和不定积分基本积分公式表基本积分公式表不定积分的线性运算法则不定积分的线性运算法则 例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（为任意常数）为任意常数）证证（为任意常数）为任意常数）任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质例例5 5 求积分求积分解解例例6 6 求积分求积分解解例例7 7 求积分求积分解解例例8 8 求积分求积分解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解所求曲线方程为所求曲线方程为基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、小结小结思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.练习题练习题练习题答案练习题答案