高考数学冲刺讲义选修2-2 导数及其应用.ppt

导导 数数一一.导数的引入导数的引入1.函数的平均变化率函数的平均变化率如果郊游的时候喜欢爬山，那如果郊游的时候喜欢爬山，那么大家一定会有这样的体会！么大家一定会有这样的体会！山路越平缓，上山时越轻松；山路越平缓，上山时越轻松；山路越陡峭，上山时越费力！山路越陡峭，上山时越费力！那是什么原因呢？这个道理大那是什么原因呢？这个道理大家都明白，但是要把生活中类家都明白，但是要把生活中类似的问题转化为函数知识，我似的问题转化为函数知识，我们又该如何入手呢？先画一个们又该如何入手呢？先画一个山的刨面图。山的刨面图。yOxABCDEFGH自变量自变量x表示登山者的水平位置，函数表示登山者的水平位置，函数y=f(x)的值的值表示山的高度。想想看，如何用数量表示山路的表示山的高度。想想看，如何用数量表示山路的平缓和陡峭程度呢？平缓和陡峭程度呢？yOxABCDEFGHx0 x1我们先把我们先把A到到B这段山路放这段山路放大并在坐标大并在坐标系中具体画系中具体画出来，这是出来，这是把问题转化把问题转化为函数的关为函数的关键。键。OxA(x0,y0)B(x1,y1)yy0y1x0 x1自变量自变量x的该变量的该变量x=x1-x0，函数值，函数值的该变量的该变量y=y1-y0于是，要是一个人想于是，要是一个人想从从A点爬到点爬到B点的位点的位移可用向量表示为移可用向量表示为:OxA(x0,y0)B(x1,y1)yy0y1x0 x1直线直线AB与与x轴的夹角为轴的夹角为 ，设，设AB的斜率为的斜率为k，现在，我们就能用函数的层次来研究类似上山现在，我们就能用函数的层次来研究类似上山的问题了！其实，这就是函数的平均变化率。的问题了！其实，这就是函数的平均变化率。已知函数已知函数y=f(x)在在x=x0及其附近有定义，及其附近有定义，令令x=x-x0,y=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0),则当则当x0时，比值时，比值叫做函数叫做函数y=f(x)在在x0到到x0+x之间的平均变化率。之间的平均变化率。练习练习:函数函数y=x2-2x+3在在2和和9之间的变化率。之间的变化率。变化率为：变化率为：9二二.瞬时速度与导数瞬时速度与导数汽车在公路上行驶。有的时候会遇见交通岗，有时候会停汽车在公路上行驶。有的时候会遇见交通岗，有时候会停车，有时候会放慢速度，有时候会加快速度，那么显而易车，有时候会放慢速度，有时候会加快速度，那么显而易见汽车在每一个时刻的速度都一定相同。换句话说，汽车见汽车在每一个时刻的速度都一定相同。换句话说，汽车每个时刻都有自己的速度，我们把这个速度叫做每个时刻都有自己的速度，我们把这个速度叫做瞬瞬瞬瞬时时时时速速速速度度度度。时间的变化率是非常迅速的，每一个时刻相隔都非常时间的变化率是非常迅速的，每一个时刻相隔都非常短暂，前一个时刻和后一个时刻之间的变化量短暂，前一个时刻和后一个时刻之间的变化量t 趋近于趋近于0。设函数设函数y=f(x)在在x0及其附近有定义，当自变及其附近有定义，当自变量在量在x=x0附近改变量为附近改变量为x时，函数值相应时，函数值相应地改变地改变y=f(x0+x)-f(x0)如果当如果当x趋近于趋近于0时，平均变化率时，平均变化率趋近于一个常数趋近于一个常数l，那么常数，那么常数l称为函数称为函数f(x)在点在点x0的瞬的瞬时变化率。通常我们时变化率。通常我们 用用“”表示表示“趋近于趋近于”。通常我们也用极限来表示通常我们也用极限来表示:下面我们来看一下导数的定义下面我们来看一下导数的定义:函数函数y=f(x)在在点点x=x0的瞬时变化率，通常称为的瞬时变化率，通常称为f(x)在点在点x0处处的导数，并记作的导数，并记作f(x0).这时又称这时又称f(x)在点在点x0处处是可导的。于是上述变化过程，可以记作是可导的。于是上述变化过程，可以记作如果如果f(x)在开区间在开区间(a，b)内每一点内每一点x都是可导的，都是可导的，则称则称f(x)在区间在区间(a，b)可导。这样，对开区间可导。这样，对开区间(a，b)内每个值内每个值x，都对应一个确定的导数，都对应一个确定的导数f(x)。于是，在区间于是，在区间(a，b)内，内，f(x)构成一个新的函数，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数我们把这个函数称为函数y=f(x)的的导导导导函函函函数数数数。记为。记为f(x)或或y(或或yx)导函数通常简称为导函数通常简称为导导导导数数数数。三三.导数的几何意义导数的几何意义设导数图象如图所示，设导数图象如图所示，AB是过点是过点A(x0，f(x0)与点与点B(x0+x，f(x0+x)的一条割线。由此割线的斜率是的一条割线。由此割线的斜率是ABCXy可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。ABCXy当点当点B沿曲线趋近于点沿曲线趋近于点A时，割线时，割线AB绕点绕点A转动，转动，它的最终位置为直线它的最终位置为直线AC，这条直线，这条直线AC叫做此曲叫做此曲线在点线在点A的切线。的切线。于是，当于是，当X0时，割线时，割线AB的斜率趋近于点的斜率趋近于点A的的切线切线AC的斜率，即的斜率，即由导数意义可知，曲线由导数意义可知，曲线y=f(x)在点在点(x0，f(x0)的切线的斜率等于的切线的斜率等于f(x)四四.导数的运算导数的运算例例1:求抛物线求抛物线y=x2过点过点(1，1)的切线的斜率。的切线的斜率。解解:求求曲曲线线某某一一点点的的导导数数就就是是求求该该曲曲线线过过这这一点切线的斜率：一点切线的斜率：则，过点则，过点(1，1)的切线的斜率是的切线的斜率是:2例例2:求抛物线求抛物线y=x2过点过点(1，1)的切线方程。的切线方程。由上题可知，切线的斜率为由上题可知，切线的斜率为2，已知切线上一点，已知切线上一点(1，1)，因此，点斜式求出方程得，因此，点斜式求出方程得，练习练习:求双曲线求双曲线y=1/x过点过点(2，1/2)的切线方的切线方程。程。五五.导数的四则运算法则导数的四则运算法则1.函数和函数和(或差或差)的求导法则的求导法则设设f(x)，g(x)是可导的，则是可导的，则即，即，两个函数的和两个函数的和(或差或差)的导数，等于这两个函的导数，等于这两个函数的导数和数的导数和(或差或差)。2.函数积的求导法则函数积的求导法则设设f(x)，g(x)是可导的，则是可导的，则即，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数。函数的导数。3.函数的商的求导法则函数的商的求导法则设设f(x)，g(x)是可导的，则是可导的，则即，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数。的导数。4.常数与函数之积的求导法则常数与函数之积的求导法则例例3:求求y=xsinx的导数的导数解解:例例4:求求y=tanx的导数的导数解解:练习练习:求求y=sin2x的导数的导数答案答案:2cos2x六六.导数的应用导数的应用观察一下他们是什么民族？有什么民族特色呢？观察一下他们是什么民族？有什么民族特色呢？满族是一个豪爽，活跃的民族！在满族是一个豪爽，活跃的民族！在他们喜爱的运动当中有一项运动是他们喜爱的运动当中有一项运动是-踢踢毽毽子子！下面大家试想一下，踢毽子的过程我们下面大家试想一下，踢毽子的过程我们能不能用导数的思想把它描述一下？能不能用导数的思想把它描述一下？竖直向上踢一个毽子，设毽子的高度为竖直向上踢一个毽子，设毽子的高度为h，时间为，时间为t，我们来建，我们来建立一个关于毽子上升高度与时间的函数。立一个关于毽子上升高度与时间的函数。hOtAat0b如图为踢毽子的函数图像。函数解析式近似为如图为踢毽子的函数图像。函数解析式近似为:很显然，该图为一个开口向下很显然，该图为一个开口向下的抛物线，的抛物线，A点为毽子上升的点为毽子上升的最大高度，最大高度，a点对应的高度是毽点对应的高度是毽子开始的位置，子开始的位置，b点对应的高度点对应的高度为为0，是毽子落回地面的位置。，是毽子落回地面的位置。现在，我们求该函数的导数。以现在，我们求该函数的导数。以A点为分界点，求导。点为分界点，求导。区间为区间为 ，所以，所以为增函数。为增函数。区间为区间为 ，所以，所以为减函数。为减函数。从以上实例能够看出，可以通过函数的导数来判断函数的单调从以上实例能够看出，可以通过函数的导数来判断函数的单调性。我们进而得出用函数导数判断函数单调性的法则性。我们进而得出用函数导数判断函数单调性的法则:1.如果在如果在(a,b)内，内，则则 在此区间是增函数，在此区间是增函数，(a,b)为的单调增区间；为的单调增区间；2.如果在如果在(a,b)内，内，则则 在此区间是减函数，在此区间是减函数，(a,b)为的单调减区间；为的单调减区间；例例5:确定函数确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。间内是减函数。解解:令令:因此，已知函数在区间因此，已知函数在区间(1,+)内是增函数。内是增函数。令令:因此，已知函数在区间因此，已知函数在区间(-,1)内是减函数。内是减函数。练习练习:确定函数确定函数 的单调区间。的单调区间。七七.利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值已知函数已知函数 ，设，设 是定义域是定义域 内任一点，如果对内任一点，如果对附近的所有点附近的所有点 ，都有，都有 ，则称函数则称函数 在点在点 处取极大值。记作处取极大值。记作 。并把。并把称为函数的一个极值点。称为函数的一个极值点。如果在如果在 附近都有附近都有 ，则称，则称函数函数 在点在点 处取极小值，处取极小值，记作记作 。并把。并把 称为函数称为函数 的一个极小值点。的一个极小值点。例例6:已知函数已知函数 ：求函数的极值，并画出函数的大致图象；求函数的极值，并画出函数的大致图象；解解方程方程解解:得得当当 变化时，变化时，变化状态如下表变化状态如下表:-22+0-0+28/3-4/342-3-2148yx总结总结:导数的意义导数的意义导数的几何意义导数的几何意义求导公式求导公式导数的性质导数的性质导数的应用导数的应用