第2章 插值法3.ppt
4 分段低次插值分段低次插值 4-1 多项式插值的问题多项式插值的问题 前前面面根根据据区区间间 上上给给出出的的节节点点做做插插值值多多项项式式 近近似似 ，一一般般总总认认为为 的的次次数数n越越高高逼逼近近的的精精度度越越好好，但但实实际际上上并并非非如如此此。这这是因为对任意的插值节点，当是因为对任意的插值节点，当 时时,不不一一定定收收敛敛到到 ，上上世世纪纪初初龙龙格格（Runge）就给出了一个等距节点插值多项式就给出了一个等距节点插值多项式 不收敛不收敛 的的例例子子。他他给给出出的的函函数数为为 。它它在在 上上各各阶阶导导数数均均存存在在，但但在在 上上取取n+1个等距节点个等距节点 所构造的拉格朗日插值多项式所构造的拉格朗日插值多项式1当当 时，只在时，只在 内收敛，而在这区间内收敛，而在这区间外是发散的。外是发散的。2 因此随着插值结点数增加，插值多项式因此随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可以采用分段插值的办法。误差，可以采用分段插值的办法。34-2 分段线性插值分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近段连接起来逼近 。设已知节点。设已知节点 上的函数值上的函数值 ，记记 ,求一折线函数求一折线函数 满足满足：1 记记 ，2 ，3 在每个小区间在每个小区间 上是线性函数，上是线性函数，则称则称 为分段线性插值函数。为分段线性插值函数。4 由定义可知由定义可知 在每个小区间在每个小区间 上可表示为上可表示为若用插值基函数表示，则在整个区间若用插值基函数表示，则在整个区间 上为上为其中基函数其中基函数 满足条件满足条件 其形式是其形式是5 分段线性插值基函数分段线性插值基函数 只在只在 附近附近不为零，在不为零，在其它地方均为零，这种性质称为其它地方均为零，这种性质称为局局部非零性质部非零性质。6例例：已已知知函函数数 ，在在0,5上上取取等等距距节节点点 。求求分分段段插插值值函函数数，及及 近似值近似值 。解：解：分段线性插值基函数为：分段线性插值基函数为：0123451.000000.500000.200000.100000.058820.038467分段线性插值函数为：分段线性插值函数为：精确值为精确值为 。8分段线性插值的误差估计分段线性插值的误差估计：如果如果 f(x)在在 上二阶连续可微，则分上二阶连续可微，则分段线性插值函段线性插值函数数 的余项有以下估计的余项有以下估计 其中其中 。分分段段线线性性插插值值简简便便易易行行，节节点点加加密密误误差差变变小小，且且插插值值函函数数只只依依赖赖于于本本段段的的节节点点值值，计计算算误误差差基基本本不不扩扩大大、稳稳定定。但但在在节节点点处处插插值值函函数数不可微，光滑度不够。不可微，光滑度不够。95 埃尔米特插值埃尔米特插值问题的提出：问题的提出：不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等（即要求在节点上而且还要求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相等，具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。插值多项式。数学描述：数学描述：设在节点设在节点 上，上，。要求插值多项式要求插值多项式 在节点在节点 满足条件满足条件101112例：按下表求例：按下表求Hermite插值多项式插值多项式解：由于插值条件有解：由于插值条件有5个，故所求插值多项式的个，故所求插值多项式的次数不超过次数不超过4。构造插值基函数。构造插值基函数 及及 ，使它们满足：使它们满足：（1）及及 都是都是4次次多项式；多项式；0120110113（2）因为因为 ，故，故 无需无需求出。又因为求出。又因为 ，因而可设，因而可设代入代入 可得可得 ，所以，所以14类似可求出类似可求出因此所求因此所求Hermite插值多项式为插值多项式为15用推广的牛顿插值法确定Hermite插值函数例：解：16例：解：1 2 1 2 3 2 6 4 1 2 6 7 3 2 2 6 7 4 1 117例：-0.5-0.75 0.5-0.75 0 0.5-0.75 1 1 2 3 2.5 1 018分段三次埃尔米特插值分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数分段线性插值函数 的导数是间断的，若在的导数是间断的，若在节点节点 上除已知函数值上除已知函数值 外还给外还给出导数值出导数值 ，这样就可构造，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数一个导数连续的分段插值函数 ，它满足条，它满足条件件:1.代表区间代表区间 上上一阶导数连续的函数集合）。一阶导数连续的函数集合）。2.3.在每个小区间在每个小区间 上是三次多项式。上是三次多项式。19由两点三次由两点三次Hermite插值多项式。可知，插值多项式。可知，在区间在区间 上的表达式为上的表达式为若在整个区间若在整个区间 上定义一组分段三次插值基函数上定义一组分段三次插值基函数 及及 ,则则 可表示为可表示为20其中其中 分别表示为分别表示为2122
