2022数学课程标准解读与实践：数学数感的培养创新设计.docx

2022数学课程标准解读与实践：数学数感的培养创新设计第一节 数感教学案例分析案例一：11-20数的认识在2022年新课标的总目标中指出：学生要经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，从而培养数感、符号感和抽象思维。此过程为教师的教学指出了清晰的思路：从几何直观出发，构建理解。以逻辑推理，搭建桥梁。落实符号抽象，培养数感。马云鹏教授也在认识数感与发展数感一文中将数感总结为学生对于数和运算、数量关系和运算结果等自觉性、主动性应用的能力，数感不仅仅局限于数的领域，数感更是学生在生活中有意识地应用数学的态度与意识。数感强的孩子，总能主动、自觉地在现实生活和数学学习中搭建起数学模型的桥梁，实现现实问题数学分析的逻辑思维能力。在本课例11-20以内数的认识中，孩子们所需要构建的“数概念”，不仅仅是局限于数的形和态、读和写、表示数量等显性知识，而是要在几何直观之中挖掘数概念背后的“理”，这个“理”贯穿了孩子们小学六年的学习时光，更横越了数域的界限，就似一个窗户纸，薄而隐性，这个理便是我们常挂在嘴边的“位值、数位、计数单位”。2022年小学数学新课标第一次将“计数单位”纳入至数与代数部分，强调以计数单位为核心，贯穿于数的认识与数的运算，落实内容结构化、核心概念一致性。那么对于一年级的这节课，我们便要将这颗美丽的数感种子埋下去，我在等待有那么一天，当孩子们学习到百以内数的认识时，就会迁移出这节课（11-20以内）的数感，去主动抽象出“用一根大橡皮圈捆住十位上的十捆小棒，以百位上的1个珠子来代替”，数感在潜移默化中建立，又在悄无声息中输出，孩子们的数感也逐渐丰满！沪教版教材中认识11-20，是通过分、圈、数、连四个过程，先分类，再圈起来，然后数一数，最后将海底世界中的小生物们和抽象出来的数朋友一一对应连起来，从而简单的实现认数环节。此时孩子们的圈还是与第一单元“圈”的意义简单保持一致即整体对应一个数。到了沪教版一年级下册，教材突然360度大反转，让孩子们开始十个一圈，十个一数，但此时发现很多孩子还是停留在整体连一个“数”的一一对应思维，不习惯于十个一圈，更疑惑于为何要十个一圈？思维的定势阻碍了学生数感的发展和对于隐性数概念的深刻剖析，教材的编写直观有余，我们的教研团队在思考，11-20数的认识这部分能否抽象出隐性数感？如何让刚入学两个月的儿童便初步体会到计数单位、进率和数位？实际上，前面的圈仅仅是区分“类群”的过程，而一年级下册的圈，才圈出了真实的数概念背后的道“理”。孩子们不能只是盲目地圈出11只海马有多少？圈出12个海星有多少？圈出20个田螺有多少？孩子们需要跳出圈圈，重新审视圈背后的故事，思考“圈”这个行为表征所涵盖的数学思维，我认为教材在这点上前后没有得到统一。孩子们认识11-20，难道只是停留于简单的识和数、读和写吗？不，数感，诞生于数概念背后的隐性知识。那么这节课我们可以以怎样的几何直观操作，来表达“圈”这个过程呢？数感，不仅建立于数，还建立于孩子们不可复制的“做”，我设计了让小朋友们用橡皮圈捆十根小棒的过程，又设计了古人计数的绘本故事老大和老二的打猎故事，整个学习的过程皆在渗透数背后的“理”。【案例描述】一、绘本故事，古人计数，数感雏形播放老大和老二每天比赛打猎的视频。视频内容如下：第一天，打猎归来，哥哥打了5只山鸡，他在地上摆了5根小棒，弟弟打了4只山羊，他在地上摆了4个小石头。第二天，打猎归来， 哥哥指着地上的树枝对弟弟说：“弟弟，弟弟，你看，我打了11只山鸡呢！”弟弟和哥哥说：“哥哥，今天我打得可比你多，我打了12只山羊呢！”师：小朋友，我们一起数一数吧！1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、呀！小石子不够了，这可怎么办呀？师：小朋友们，现在小石头不够了，该怎么办呢？【案例分析】“故事情境”是吸引儿童走进数学的魔镜，而跌宕的情节更是引发认知冲突的放大镜。以上古人计数的绘本故事属于贴近童心的教学设计，更是基于对儿童的充分理解而设计的，具备可读性和趣味性。它不仅帮助儿童回归到远古时期古人的计数方式摆树枝、放石头，而且通过大石头和小石子搭建了十和一的表象特征。在此简单的图形表征过程中，学生虽然没有经历过摆树枝和摆石子的经验，但会由此联想起上一个单元“自己摆5枚小圆片，就表示数量5”的具身活动经验，表征与联想达成共识；虽然“石子不够了”是我故意设计在此的情节，却真实引发了学生的共鸣一个个摆小石头实在麻烦，从而引诱学生“想出一个好办法”来解决问题，故事情境和数学现实打通了桥梁。第一个活动教师设计了让孩子们自己尝试着学习老二，用一个大石头来代替十个小石头的办法，摆一摆小棒，让人一眼看出这是12。这个活动属于学生具身体验的过程，任何人都无法越俎代庖，虽然教师已然告诉孩子们要用一个大石头代替10个小石头，但固执、可爱、有想法的孩子们还是会按照自己的想法去操作，有的是2个、2个一摆、有的是6个6个一摆、有的是3个3个一摆，12因数的多样性丰富了孩子们的操作结果。正是如此，才引出了以下我们要和孩子们建立的约定！为何称之为约定？“十进制计数法”在历史上之所以能够随着岁月流长，正是因为一代代祖先约定俗成的规定。历史的规定在这里将变成我和孩子们之间的约定，谈约定而不谈记住，因为既然是约定，我本能地相信孩子们就会记住。这个约定第一次渗透了“以群计数”的概念，这个群便是紧紧捆绑在一起的“十”根小棒。在捆绑的过程中，学生经历了数、捆、识数的几何直观过程，更了解了为什么要建立这样的约定？原来十就长在我们的手上，也长在我们的脚上，孩子们伸出自己的小手握成一个团。这个直观的转化过程，让故事离现实进了一步，也让历史继续延续了下去！多媒体中呈现的“一个十”是“十个一”不再是一句口令，它转变成为了孩子们的童心，更转变为了孩子们日日夜夜能触摸到的小手。最后，没有11根小棒了，只有2颗颜色、大小一样的小珠子，还能表示11吗？这个过程对于成人而言再简单不过的一件事了，对于儿童而言却经历了从数的量变到数的质变过程，学生要克服现实圆片的稀缺状态，从表象思考数的本质意义。古人的思想汇聚在课堂一角的辩论，奇妙地诞生了位值制的概念。曾经古埃及在发明创造数的过程中，从10开始就没有新的图形产生了，20是由两个10的符号组合而成的，数位和计数单位的创造为无穷无尽数的出现做出了贡献，这难道不值得学习数学的孩子们去了解吗？引入计数器的过程也不再是机械记忆十位和个位的过程，而是上升到一个更加上维的层次，那一捆小棒不就是计数器十位上的1个小珠子吗？那一根孤零零剩余的小棒不就是个位上的1个小珠子吗？再往后抽象，从1捆小棒到1颗珠子到十位上的1，1根小棒、1颗珠子到个位上的1，孩子们的头脑又开始进行波澜壮阔的思考了。随着十位上的一个小珠子就表示1捆小棒的表象，孩子们的逻辑脉络打通了，“此1非彼1啊！”孩子们不再被表象所诱惑，两个1 尽管长得一模一样，但一个表示1个十，1个表示1个一呀！回顾整个教学过程，皆是对于历史故事的延续和发展，简直是一气呵成！从摆小棒到有约定的捆小棒，从“一捆小棒表示一个十”的约定走向“2颗珠子表征11”的合理性辩驳，从承认2个珠子表征的合理性到位值制的诞生！也由此，数感，渐渐走进了孩子们的心中！- 睡起秋声无觅处满阶梧桐月明中 -案例二：千以内数的认识对于“千以内数的认识”这一课，沪教版教材的编写思路是将学生熟悉的体育场看台人数，表征为密密麻麻的小圆点，再最后抽象出千以内的数，并在此基础上学习三位数的读法和写法；接下来，教材又安排了古人算盘的学习，旨在学生感受拨珠的过程中，了解中国的算筹文化，进而学习数的组成；最后教材将重心放在了呈现“个、十、百、千”的板条块模型和数射线模型之上，意在通过学具模型建立数位之间的进率关系，渗透位值制，有利于学生进行后期三位数的大小比较。教材中的练习环节主要分为三个层次，第一个层次是从具体的生活场景中抽象出三位数和一千，并要求学生写出数的组成；第二个层次是通过中文汉词的读数进行写数，并将写下来的三位数转化为三个数相加的形式，譬如：356=300+50+6。通过加法运算的外显方式呈现，验证了三位数的模型结构，更体现了数是由计数单位一个个进行累加的结果；第三个层次，便是从数射线模型中抽象出数的大小比较。可见，虽然教材回归了生活及古代的多元场景，更强调了从学具模型的多重表征中生成三位数，但是仍然将重心放在“认数、读数和写数”等知识技能环节之上，而这些环节只是认数过程中的冰山一角。相较百以内两位数的认识，千以内的数唯一的不同点便在于数变大了三位数多了一个百位，认识一千这个数时，又多了一个千位，那么这节课就一定要从低位到高位、从左至右地教学生数位吗？换句话来说，学生能否借助已有的认数经验，自主创造出“百位”和计数单位“百”，生成出“千位”和计数单位“千”。倘若这个前提条件能在渗透数感的课堂环节中得到充分满足，倘若教师能看到冰山之下十分之九的隐性数感成分计数单位、数位、进率，倘若三位数的创造实现了新课标中所强调的前后内容结构化，我相信所有的认数、读数、写数和认识数的组成等显性大山知识，皆可不在话下地实现无师自通的“零”教学。那么，这节市公开课我具体的备课思路是怎样的呢？【案例分析】1、学生真的是零起点吗？这节课的教学重点是什么？学生在学习千以内数的认识之前，已经学习过10以内、20以内和百以内数的认识，经历了9-10、19-20、99-100等重要拐弯数的学习，而千以内数的认识又恰巧处于数认识过程中的中间系列，后面孩子们要继续学习万以内数的认识和大数的认识。那么这节课，学生是否真的为0起点？对于1000和千以内的数，难道他们真的一无所知吗？通过前测调查发现（如下表格所示），82%的学生能在40秒的拍掌活动中，拍出并写出一个三位数；99%的学生能用三张数牌（4、0、3）创造出三个不同的三位数，且其中74%的学生能读出中间有零的三位数，88%的学生能读出末尾有两个零的三位数；78%的学生能推理出10、100、1000这三个数中的“1的含义”。而学生的问题暴露在从拐弯数中推理出100和1000之间的关系，98%的学生认为在100后面加一个零便是1000，这样的想法无遗地展现出学生认识数过程中所存留的问题未能结构化地建立个、十、百、千之间的进率关系，“抓准前后数的结构关系”也便成为我们这节课的教学重点和教学难点。2、认数系列课程，要从那些方面渗透数感？卡朋特曾提出，数感是学生对于数量的直觉，是学生用数字变现量的感觉。而对于认数系列课程中数感的建立，笔者总结为以下四个方面：第一，回归具体，数源自于数量，是对于数量的抽象，包括两个方面：回归生活中学生对数的感觉，让学生亲历在数位上满十进一地数的过程。第二，似窗户纸一样薄而隐性的三个数概念计数单位，数位，进率。第三，估算。估算的过程便是定标准，再量化标准的过程，估数的过程帮助学生形成对于数的自动化、自觉性思维。第四，建立区间。数，永远不是孤立存在的，数与数之间存在着必然的联系。建立区间的难点在于突破拐弯数，9后面怎么就变成了10？99后面怎么又接轨了100？999后面又该是多少？这样的推理过程理应在我们的教学环节中体现，认数不等于唱数，学生要学习的不是唱997、998、999、1000，而是要真正学会数数，实现在数位上满十进一地数数，这是这节课我们所定义的第二个教学重点授之以鱼，不如授之以渔，教学生数数，不如教他们数数的方法。3、学具模型这么多，我该如何选择？学具的繁芜，会致成思维的荒芜。学习千以内数的认识，黄豆、小棒、计数器是老师上公开课一般会选择的学具，但存在一系列使用的负效应。第一，一个个数黄豆的过程较为繁琐，难以让学生对于“千”这个计数单位，有一个完整、立体和直观的感受，不利于建立千的数感。第二，一根根小棒，十个为一捆，十捆为一百，再将十小捆，用大捆绑起来，就为一个千。堆积的小捆和分散的大捆，难以打通个、十、百、千之间的直观关系，且“大捆模型”加大了学生后期回忆”千“模型的难度。因此，无论是通过选择小棒、黄豆进行数数或者是继续往百数表中加行，不仅无法帮助学生建立数感，而且都会显得“千”是无序化的、无结构的，可千绝对不只是表示“多”。学生该学会“举三反一”了，这里的“一”便是胶囊化的数数方式，经过前两次一个一个地从1数到10、十个十个从10数到100，本次学习1000，要顺理成章地迁移至以100为胶囊进行数数，这一点是一脉相承的。因此本节课笔者跳出学具，设计了双杯、三杯模型、正方体板条块模型和数豆神器，三杯模型的设想源自于计数器，但要抽象上位于计数器，杯子的设计与学生插入小棒的操作相融合，又比计数器更贴近孩子们的生活。相较一根根无序的小棒，板条块模型，又为个、十、百、千之间的关系搭建了学习支架，从而在横向单位数系的扩展中，强化了“千”的数感。“数豆神器”源自于蒙氏数学教育的学具，一板有横纵十行，能放入100个黄豆，在此学具的帮助之下，数豆子的动态过程实现了“以100为胶囊”的数数方式。4、如何设计实现内容结构化的开场和结尾？本节课的开始将数11作为学习的起点，而非100，因为11从三个隐性数概念方面深入到了数学的本质。学生曾经学习11的轨迹如下：从数出11根小棒到，到捆10根小棒10和1合起来是11，接下来是用一根大棒表示10，小棒表示1，最终，教师创造出两个一模一样的小珠子表示11。一环扣一环的三次抽象，正是为了突出十进制中“不同的位置能表示不同的数值”这一原理，而当学生学习千以内数的认识时，学生的学习起点并非是100，也并非100以内所有的数，而只是单单这个11的复习，足矣！结尾的设计从抽象的数回归具体的数，实现横线内容结构化，数源自于数量，便要回归具体方能显示数的意义。数，是会张开嘴巴说话的；不同情境中给人的感受不尽相同，当我们把它与具体的生活挂面，我们会觉得每一个数都是鲜活的，每一个数都会给我们带来很特别的感受。这便是鲜活的数感，也正是这节课我们要向学生传达的！案例三：2和5的倍数特征学生在二年级时，便学习了关乎2和5的表内乘法和表内除法，掌握了基本的运算能力。五年级的学习也不仅仅是围绕百数表去寻找基本的事实和规律，而是要引发学生看到运算的本质，为什么判断是2、5的倍数只要看个位就可以了呢？这里面究竟蕴含着哪些知识本质和核心概念呢？在此讲数感的渗透，又不得不提到它计数单位。“数感”既分为可见的显性知识（如：数的读与写、数的意义、数的表示），又分为一部分不可见的隐性知识，主要是包括“计数单位”、“位值制”、“数位”等，这部分知识才是建立“数感”的深层次底蕴。他们源自于孔雀开屏的反面，教师往往看不到，就在课堂上忽略掉了，而这部分知识的特征是只可意会不可言传，用嘴巴和小朋友是讲不明白的，需要不断直观感受、不断数域迁移、不断地阶段性学习，才能让小朋友们逐渐意会。计数单位是贯穿加减乘除的核心概念，统领着小学的整个运算过程。虽说这节课是在探究2、5的倍数特征，其背后的原理也正是由这个承重墙所决定的。我们要带领学生从现象看到本质，挖掘知识点背后相通的道理。【案例分析】这节课的数感，以学生的问题点燃和贯穿！首先，教师引导学生看标题提问题，学生主要提出了三个问题，“2和5的倍数有哪些？”“2和5的倍数特征是什么？”“2和5的倍数特征有何联系？”，这三个问题恰好是本节课研究的线索，激发了学生探究的欲望，创新的意识也由此培养。教师干脆利索的开门见山“一个整数除以2，商是整数，没有余数，这样的数就是2的倍数”，为后期研究的过程留足了时间和空间，重难点层次分明！紧接着，全体进入了自主探究环节，学生通过百数表的研究，已然得出了结论，个位是0、2、4、6、8的数就是2的倍数，能被2整除，与其他数位无关。但教师并没有止步于此，而是引导学生继续提问，为什么与其他数位没有丝毫关系呢？有没有反例呢？知其然，亦要知其所以然的探究精神不知不觉、悄无声息地渗透进了学生的思考过程，让冷冰冰的一个结论转变为了同桌之间、小组之间火热的思考和讨论。学生的方法多种多样，但大多数停留于枚举法，几乎没有人看到计数单位的事儿！教师冷静的状态令人折服，她继续引发学生观察：“这里的56÷2，看到5你想到什么？看到2你又想到什么？56÷2表示什么意思？”最终，通过层层的引导，借助计数器的表象，学生看到十位、百位、千位上的珠子表示的值皆是能被2整除的数。学生很自然地进入到了5的倍数特征的研究，同时主动对自己的发现又进一步进行研究。数感，由一句冒冒失失的结论转变为了珍贵的提问，又从珍贵的提问进入到了刨根问底的数学思考，将2和5的倍数特征的原理与除法运算的原理相结合的过程，正是不断将新知纳入到学生已有的认知结构之中的过程，更突出了以计数单位为统领，帮助学生形成认知结构的新课标理念。在这个过程之中，学生的认知结构逐渐丰盈，不仅抽象出了计数单位这个隐形的数感，而且在无形之中提升了学生的抽象能力。