2023届一轮复习人教B版立体几何中的最值翻折探索性问题作业.docx
课时分层作业(四十七)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1. (2021全国卷III)如图，边长为2的正方形A8CD所在的平面与半圆弧也所在平面垂直，M是也上异于C,。的点.(1)证明：平面平面BMC；(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.解KD证明：由题设知，平面CMOL平面A3CZ),交线为CD因为3CJLCD, 3CU平面A3CO,所以BC上平面CMD,所以BC_LDM.因为M为上异于&。的点，且。为直径，所以。又BCnCM=&所以。平面BMC.而OMU平面AMO,故平面AMDJ_平面BMC(2)以。为坐标原点，函的方向为x轴正方向，建立如下图的空间直角坐标 系 D-xyz.当三棱锥。体积最大时，M为也的中点.由题设得。(0。,0), A(2,0,0), 5(2,2,0), C(0,2,0), M(O,1,D,AAf=(-2；l,l),赢=(020), DA = (2,0,0).n-AM=0, 那么j _jiAB=0,设 = (x, y, z)是平面MA8的法向量，I -2x+y+z=0, 心二°.可取"=。，。，2).而是平面MCD的法向量,因此 cos% DA) =坐,sin，DA)=茅. nDA所以面M48与面MCD所成二面角的正弦值是2 .如图，三棱锥P-A3C,其展开图如图所示，其中四边形A3CD是边长等于也的正方形，AABE和ABC厂均为正三角形，在三棱锥P-A3C中： 图图(1)证明：平面B4C，平面A3C；(2)假设M是抬的中点，求二面角的余弦值.解(1)证明：如图,设AC的中点为0,连接30, P0.由题意，得玄= PB=PC=p, P0=l, A0=B0=C0=.因为在B4C中，PA = PC,。为AC的中点，所以尸0_LAC,因为在P0B 中,P0=19 03=1, PB=® 所以 PO2+ob2=PB2,所以 POA.OB.因为 ACn08=0, AC, 03U平面 ABC,所以P0J_平面ABC,因为POU平面3c,所以平面B4CJ_平面ABC.(2)由(1)可知 P0L08, PO.LAC, 0B1AC,以 OC, OB, 0P 所在直线分别 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,/ 1 n那么。(0,0,0), C(1AO), 8(01,0), A(-1AO), mo,l),网一00,寸,所以证=(1, -1,0), PC=(1,O,所以证=(1, -1,0), PC=(1,O,设平面"8C的法向量为机= (», yi, zi),mBC=O,x y =0,由J得" 八 令xi = l,得yi = l, zi = 3,即加=(1,3)方 n13x1-21=0,m-MC=Q9为平面MBC的一个法向量.设平面P8C的法向量为 =(X2, >2, Z2),n-BC=O,1X2丁2=0,由J得J令 X2=l,得 丁2=1, 22=1,即" = (1,1,1)H 八1X2 Z2 = 0,为平面PBC的一个法向量.COS,mnm-n5 _5y33而=33 -由图可知，二面角P-BC-M为锐角,故其余弦值为54.3 .如下图，在梯形4BCZ)中，AB/CD, /BCD= 120。,四边形ACFE为 矩形，且平面 A3CQ, AD=CD=BC=CF.(1)求证：平面3c/；(2)点M在线段E尸上运动，当点M在什么位置时，平面M4B与平面尸CB 所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.解(1)证明：设 AD=CO=BC=1,9：AB/CD9 ZBCD= 120°, ：.AB=29：.AC2=AB2+BC2-2AB BC-COS 60° = 3,:.ab2=ac2+bc29 那么 bclac.平面 ABCD, ACU 平面 ABCD,C.ACLCF,而 C/nBC=C, CF, BCu 平面 BCF,平面 BCF.,:EFAC, ：.EFL平面 BCF.(2)以。为坐标原点，分别以直线CA, CB, CF为x轴、y轴、z轴建立如下 图的空间直角坐标系，设式那么 C(0,0,0), A他,0,0), 8(0,1,0), Ma, 0,1),：.AB=(-y39 1,0),俞=(九-1J).设m = (x, y, z)为平面MA3的法向量，n-AB=Q9由j _n-BM=09n-AB=Q9由j _n-BM=09一小元+尸0, lx-y+z=0,取x=l,那么 =(1,小,，§一2).易知帆= (1,0,0)是平面FCB的一个法向量,二cos凡二cos凡nmnm_ -l+3 + (V3-2)2-(2-V3)2+4,sV0A<</3, 当 2=0 时，cos，m)取得最小值号,，当点M与点方重合时，平面肱43与平面/C3所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为十1. (2021 全国卷III)图是由矩形AOEB、RtZkABC和菱形 WGC组成的一 个平面图形，其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC= 60%将其沿AB, 8C折起使 得BE与BF重合,连接。G,如图.图图(1)证明：图中的A, C, G,。四点共面，且平面A3CJ_平面BCGE；(2)求图中的二面角B-CG-A的大小.解KD证明：由得CG/BE,所以AOCG,故AD, CG确定一 个平面，从而A, C, G,。四点共面.由得 区 AB±BC9 且 BECBC=B,故AB上平面BCGE.又因为ABU平面ABC,所以平面A3CJ_平面BCGE.(2)作EHLBC,垂足为”.因为£”u平面8CGE,平面BCGE_L平面ABC,所以£77,平面ABC由，菱形8CGE的边长为2, ZEBC=60°,可求得BH=1, EH=y3.以“为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标 系 H-xyz,那么 41,1,0), C( 1A0), G(2,。，/),CG=（l,0,小）,AC=（2, 1,0）.x+小 z=0, 2xy=0.设平面ACG。的法向量为=（1，y, z）,CG-n=09那么仁即Acw=o,所以可取 = (3,6, -y/3).又平面BCGE的法向量可取为机=(0,0),所以 cos (n, m) =|'；：i=坐.nm2因此，二面角3-CG-A的大小为30。.2. (2021山东荷泽市高三二模)如图1所示，平面五边形ABCQE中，四边 形 ABCD 为直角梯形，/5=90。且 AZ)8C,假设 AD=2BC=2, AB=® AADE 是以AO为斜边的等腰直角三角形，现将石沿AO折起，连接硝，EC得如 图2的几何体.图1图2(1)假设点M是ED的中点，求证：CM平面ABE；假设EC=2,在棱EB上是否存在点R使得二面角E-AD-F的大小为60°? 假设存在，求出点厂的位置；假设不存在，请说明理由.解证明：取A£的中点为G,连接MG, BG,是的中点，AD=2BC,是的中位线，J.MG/AD/BC 且 MG=BC,四边形MG8C为平行四边形，J.CM/BG, CMa平面BGU平面ABE,所以CM平面ABE.(2)取的中点为“，连接HC, HE,其中EH=1,由EC=2可得HCLHE,显然平面ABC。故以H为坐标原点，分别以HC, HA9 "£所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建立如下图的空间直角坐标系，那么风0,0)，4(0,1,0), 0(0, -1,0), B4,1,0),设存在点F(x, y9 z),EF=AEB4(x, y, z1)=4(4, 1, l)=x=小九 y=2, z=lA,易知平面EAZ)的法向量可取公=(6, 0,0),另外赢=(%, 厂1, z)=(我,A-l,l-A), Ab=(0, -2,0),设平面AO厂的一个法向量为=(切，几,r),那么AF-u = 09f(V3A, A-l, 1%) =0A£)=0A£)=0(0, -2, 0)=0'+ -1)+(1 A)r0,12=0,可取一个法向量为 =Q1,0,小儿), .V3(A 1)1 j/3 1 八那么|cos <HC, u> =息限;±+i附，5, J为EB的 中点.故存在尸点为EB的中点.
