2013年陕西高考数学(理)（含答案与解析）.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数 学（理科）第卷（选择题 共50分）一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设全集为，函数的定义域为，则为（ ）.A. B. C. D. 解析 由，知，所以，所以. 故选D.输入；If ThenElse ()End If输出2. 根据下列算法语句，当输入为时，输出的值为（ ）.A. B. C. D. 分析 由算法语句读出其功能，进一步利用分段函数的解析式 求函数值.解析 由题意，得 当时，所以输出的值为.故选C.3. 设为向量，则“”是“”的（ ）.A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 先讨论平面向量共线的条件，再结合充要条件的概念求解解析 若，若中有零向量，显然；若均不为零向量，则，所以，所以或,所以，即.若，则或，所以，其中，若有零向量也成立，即. 综上知，“”是“”的充分必要条件故选C.4. 某单位有名职工，现采用系统抽样方法，抽取人做问卷调查，将人按随机编号，则抽取的人中，编号落入区间的人数为（ ）.A. B. C. D. 分析 根据系统抽样的方法结合不等式求解解析 抽样间隔为，设在中抽取号码，在之间抽取的号码记为，则，.所以因为，所以, 所以值共有，即所求人数为故选B.5. 如图所示，在矩形区域的两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）.A. B. C. D. 分析 选择面积作为测度，求解几何概型的概率解析 取面积为测度，则所求概率为. 故选A 6. 设是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则分析 结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解解析 A，真命题；B，真命题；C，真命题； D，当时，可取，显然，即，假命题.故选D7. 设的内角所对的边分别为，若，则 的形状为（ ）.A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定分析 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系解析 因为,所以.因为，所以，即是直角三角形故选B.8. 设函数，则当时，表达式的展开式中常数项为（ ）. A. B. C. D. 分析 先利用分段函数的解析式求出函数表达式，再利用二项展开式的通项公式求解展开式中的常数项解析 所以当时，所以. 所以展开式中常数项为故选A.9. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位）的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 分析 利用三角形相似求出矩形的边长，再利用面积关系求解自变量 的取值范围解析 设矩形的另一边长为，则由三角形相似知，所以.因为 ,所以，所以，所以.故选C.10. 设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（ ）.A. B. C. D. 分析 结合特殊值利用排除法求解解析 A，取，则，显然；B，取，则，显然；C，取，则，显然排除A，B，C，选D.第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 双曲线的离心率为，则等于 .解析 中，所以.而，所以， 所以.12. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为 .解析 原几何体可视为圆锥的一半，其底面半径为，高为， 所以其体积为.13. 若点位于曲线与所围成的封闭区域，则的最小值为 .解析 如图所示，阴影部分为封闭区域作直线，并向左上 平移，过点时，最小， 由 得，所以.14. 观察下列等式：照此规律，第个等式可为 . 分析 分析式子的特点归纳出式子，利用等差数列的求和公式进行化简解析 ，,，.答案：.15. （考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）A.（不等式选做题）已知均为正数，且，则的最小值为 .B.（几何证明选做题）如图，弦与相交于内一点，过作的平行线与的延长线相交于点.已知，则 .C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆 的参数方程为 . A.分析 先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件解析：因为，且，所以当且仅当时，取“”所求最小值为2B.分析 利用三角形相似求解解析 因为，.因为，所以.在和中，所以，所以因为，所以，.C.分析 利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程解析 将配方，得，所以圆的直径为设，则， 所以圆的参数方程为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. （本小题共12分）已知向量，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值.分析（1）根据平面向量的数量积的坐标运算先求出函数的关系式，并利用三角恒等变换公式化简，再结合周期的求解公式求解周期；（2）结合函数的图象求解三角函数在指定定义域上的最值.解析 .（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.（2）因为，所以由正弦函数的图象，当，即时，得最大值；当，即时，取得最小值.因此，在上的最大值是，最小值是17. （本小题共12分）设是公比为的等比数列.（1）推导的前项和公式；（2）设，证明数列不是等比数列.分析（1）利用等比数列的概念及通项公式推导前项和公式；（2）利用反证法证明要证的结论解析（1）设的前项和为，当时，；当时， ， 得，所以，所以（2）证明：假设是等比数列，则对任意的，,，因为，所以.因为，所以，所以这与已知 矛盾，所以假设不成立，故不是等比数列18. （本小题共12分）如图所示，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.分析（1）根据题目条件建立空间直角坐标系，并用坐标来表示点和向量，再利用直线的方向向量与平面内的向量垂直证明线面垂直；（2）先求出法向量，再进一步求解两个平面所成的夹角，要注意角的范围. 解析（1）方法一：由题设易知两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标 系.因为，所以，所以，.由，易得. 因为，所以，所以，所以，所以.方法二：因为，所以.又四边形是正方形，所以，所以，所以又是的中垂线，所以，且，所以，所以是直角三角形，所以.又，所以.又，所以.（2）设平面的法向量.因为，所以所以取，由（1）知，是平面法向量，所以，又，所以19. （本小题共12分）在一场娱乐晚会上，有位民间歌手（至号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选名歌手，其中观众甲是号歌手的歌迷，他必选号，不选号，另在至号中随机选名. 观众乙和丙对位歌手的演唱没有偏爱，因此在至号中随机选名歌手. （1）求观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率；（2）表示号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的分布列和数学期望.分析 （1）利用古典概型及相互独立事件的概率公式求解；（2）先确定随机变量的取值，再列出分布列，利用期望公式求解，但要注意分布列中概率和为解析 （1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手”，则，.因为事件与相互独立，所以观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率为.（2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则，因为可能的取值为，且取这些值的概率分别为，,所以的分布列为所以的数学期望.20. （本小题共13分）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为。（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点.分析（1）利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系，（2）设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系解析（1）如图，设动圆圆心，由题意，.当不在轴上时，过作交于，则是的中点，所以又，所以.化简得，当在轴上时，与重合，点的坐标也满足方程，所以动圆圆心的轨迹的方程为（2）如图，由题意，设直线的方程为，将代入中，得其中由根与系数的关系得， 因为轴是的角平分线，所以，即,所以,所以， 将代入并整理得，所以.此时，所以直线的方程为，即直线过定点21. （本小题共14分）已知函数.（1）若直线与的反函数的图象相切，求实数的值；（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数；（3）设，比较与的大小，并说明理由.分析 （1）先求出函数的反函数，再利用导数的几何意义求解切线斜率；（2）利用函数的极值结合函数的图象求解曲线的交点个数；（3）先利用分析法寻求转化为函数问题的途径，再利用函数的单调性、最值求证不等式.解析：（1）的反函数为.设直线与的图象在处相切，则有，解得，.（2）曲线与的公共点个数等于曲线与的公共点个数令，则，所以.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以在上的最小值为.当时，曲线与无公共点；当时，曲线与恰有一个公共点；当时，在内存在，使得，在内存在，使得.由的单调性知，曲线与在上恰有两个公共点综上所述，当时，若，曲线与没有公共点；若，曲线与有一个公共点；若等，曲线与有两个公共点（3）方法一：可以证明，事实上，令，则.所以）在上单调递增，所以时，令，即得式结论得证方法二：，设函数，则令，则,所以单调递增，所以当时，所以单调递增.当时，令，则得，所以，所以.13