专题1.4 极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题.docx

专题04：极值点偏移第二招含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元石的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到： 想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的 函数.例1.已知函数/(X)=有两个不同的零点%,%2，求证：i+%2>2.【解析】思路1：函数f(x)的两个零点，等价于方程4的两个实根，从而这一问题与专题三(不含 参数的极值点偏移问题)例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数/(x)有两个零点再1第，所以卜2 %- ae (2)由(1) + (2)得：再 +忍=a(c" +e") >要证明毛+电> 2 ,只要证明a(ex +eX2)> 2,由(1)一(2)得：项一电=。(c勺)，即 a =e 一e X I XaXlM I 1即证：(须一W)F厂>2。(须一)：不 >2 ,e 1 -c -e ： 一1不妨设七工2，记/ =为一r2，则d+12(d因此只要证明：r-2=，二一->0,d1el +再次换元令 d = x > 1, t = nx,即证 In x -2 > 0, x e (l,+oo)x + 1构造新函数b(x) = lnx2(“一0 , F(l) = 0x + 11 4 f y-B2求导尸(x) =F一勺0,得尸(x)在(1,+oo)上递增，学*科网X (x+1) X(X + 1)所以歹(x)0,因此原不等式用+2获证.4试题解析：（I）依题意，r（x）=x= X4-x2(2 + x)(2-x)令，（力>0,即2x>0,解得0<xv2,故函数的单调递熠区间为（05 2）.(II)依题意，gix)=/(x)-(?M-4)x= 41nx-iwx2 +4-m)x, g(再)一？(七)=4(1 叫一1哎)一:切一年)+ (4-m)(再一W)由题设得/（%） =g(xj g(%2)_ 4(1g-1哇)X -x2m(x1 +x2) +(4-m).又屋8x +x.m !%+ %24(lnx1 -lnx2) 8Xj -x2Xj +x24x2 -x（1叫_皿）_2伍一百）x2 +%4X2 -XjIn上XG %)12 -1强+ 1/强_ Ui2不妨设0<玉<，t =红,则/>1，则In三 % %+ 12(1)=Inf (r > 1).1 +1令«>i）,则/:（5;0 ,所以/?在0,包）上单调递增,所以/t(z)>/z(l) = o,学*科网=4(liuq - Inx,) 彳加(毛 + 毛)(再一吃 I +1 4 -w l l -X)I.2强-1>0.强+ 1%又因为2 - % >。，因此，(%o) g>0,即 g'</(%)又由g'(x) = 3-1¥ +(4-m)知g'(x)在(0,十30)上单调递减, X所以 j"? > % ,即芯 + % > 2% .已知函数/(%) = ln(x+l), g(%)gf 一x.(I )求过点(一1,0)且与曲线y = /(x)相切的直线方程；(II)设/z(x) = 4(x) + g(x),其中为非零实数，y = (x)有两个极值点玉,%2，且为<，求a的取值范围；(III)在(H)的条件下，求证：2/仇)%>。.【答案】(1) x 纱+ 1=0 (2)见解析【解析】试题分析：(1)设切点为(七,北)，先根据导数几何意义得切线斜率等于切点处导数值左=上, 天+1再根据切点与点(TP)连线的斜率等于切线斜率，列方程，解得毛=2-1,最后根据点斜式写切线方程, (2)由题意得导函数在定义区间上有两个不等的零点，即方程/+(。-1) = 0在(-L+o。)上有两个不同的 实根，即L解得a的取值范围；(3)由再=一/二，七=后力，化简不等式 2%(巧)一巧 >0得2(l+)ln(巧+1)巧 > 0 ,构造函数" x) = 2l l + x)ln (x+11 x , xe (0,1),利 用导数研究函数单调性：X)在(01)上单调递增，确定Mx)>40) = 0,即证得结论.试题解析：(i)r(x)=J- x+l设切点为(七,北"则切线的斜率为k=上玉+1点(%No)在/W = ln(x+l)±, /. v0 = In(% +1)解得/ =e-lln(x0+l) _ 1Xq + 1 Xq +1+ -x2-x2+ -x2-x2工切线.的斜率为L切线方程为x 冲+ 1=0(II) /z(x) = of (x) + g (x) = 41n(x + 1)当 a1 NO时，即 a21 时，/zx)>0, /z(x)在(一l,+oo)上单调递增；当0<<l时，由/(x) = 0得，方=-J-a/ = Jl-a，故/i(x)在(一1,一/1一。)上单调递增,在卜45心,，工)上单调递减，在(J1二,+oo)上单调递增；当<0时，由'(x) = 0彳导，九0 =d-a ,在卜Jl-a,上单调递减,在(Jl-q,+oo)上单调递增.当0<<1时，丸(%)有两个极值点，即,=_Jl a , 4 =d1-a ,即a的范围是(0,1)(III)由(H)知再+ 电=0> 工1%2=-1,由 Ovavl 得，-1<不<0, 0 < Xj < 1由2川电)一再> 0 O 2川为j +为> 0 O 2aln (巧+11 +电,一电> 0巧=也-a3a =19 即证明2| 1毛|lniZ+1 |+x： -w >0即证明2(1 +巧)In(为+1)-巧> 0构造函数Z(x) = 2(l + x)ln (x+l)-x > xe(03l), f(x) = l+21n(l+x)>0, Z(x)在(Oil 上单调递熠,又0) = 0,所以f(x)>0在xe(OJ)时恒成立,即2(1 +小In(七+1)-9>0成立.0.21nx2-毛 > 0 .点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数/z(x) = /(x)-g(x) .根据差函数导函数符 号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量.关系，进而证明不等式.(2)根据条件，寻找目标函数,一般 思路为利用条件将求和问.题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等.量代换将多元函数转化为一元函 数.已知函数/(x) = Inx.（1）证明：当 口寸，x + _ 2（： J）0 ； 小）（2）若函数&（另=） + «¥-办2有两个零点为，X2 （ < X2 , 40）,证明：g【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（D欲证x+1-乏匚口>0,则证K（x） = lnx-23>0,通过求其最小值从而/（X），X+1得出结论（2）由（1）得lnx>幺二"，构造函数取七一：”至.又再 x+1 liuq -Inx, 2七是ga）=/a）+>一的零点、，将其代入得号七是ga）=/a）+>一的零点、，将其代入得号1 X +x.;<-a(x1 +)22=西+巧（毛+巧）一1 <0,分析g'（x）单调性，窄<0,分离参数a,a =吗3 :构造新函数也里 =h（x） XX分析单调性，研究其草图从而得证2(1)>0,试题解析：(1)欲证x + 1 - -2>0ijE(x) = lwc- 小)（、（X-1）2K（x）在（L+oo）上递增, .K(x)>K(l) = 02(x-l)(2)lor>-取 = &=再F立恐 百 huq - Inx, 2liuq -lnx21X +X,-: <-_-a(x1+x2)22=再+W2=再+Wg(x)=-+l-2ax, gxg(x)=-+l-2ax, gx士+90.g"(x)=-2r-2a<0, g'(xi 在 9+8)上递减,.再+ 2毛 毛+w >- >32/瓦+ 2电/瓦+ 2电<2:西+/<0.八Inx+x . / xlnx+x-ax = 0= a =； hx) )x.八Inx+x . / xlnx+x-ax = 0= a =； hx) )x.z 、1 -X-21nxh W =3一令s（x） = l-x-21nx，易知5（x）在（0,+oc）递减，5（1） = 0，0 < X < 1 , 5(X)>0, /z(x)T, X>1 , 5(%)<O, /z(x)J,x>L, /z(x) >0 , x -0,-oo,要合题意，如图，0vq<1, l-a>0,右大于左，原题得证例2.已知函数/(x) = lnx-6tr,。为常数，若函数/(x)有两个零点看,，证明：【解析】法一：消参转化成无参数问题：f (x) = Oolnx = av = lnx = aex > 9W是方程/(x) = 0的两根,也是方程In x =双出的两根,则In Xplnxj是方程x = aex的两根,设 = ln 甬,% =lnw , g(力=双7> 贝 iJg(1) = g(2)>从而毛电> / = In再+ln第> 2 = % +的> 2 ,此问题等价转化成为专题三例题，下略.法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：不妨设% > x2，V In x - axx - OJn x2 - ax2 = 0, A In % +lnx2 = axx + x2 ）,ln x -lnx2 =%-x2）,见J-也± = Q,欲证明七工2/，即证In% +111%2>2. % -x22In x, +lnx2 = 6Z（X +x2）,，即证。>>1)，构造>1)，构造原命题等价于证明Inlnx? >= ,即证：也上2（为72）,令/ = 工,« X -x2 X + x2x2 x + x2x2g(，)= ln，-如二D/l,此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. t + 1法三：直接换元构造新函数：0 =贴=贴03=上，设再<%/ =强，«>1）, x2 In % xx则二与，=In %In %一1 In，1,11 Inr tint 、/反解出：In% =,Inx2 = ln/%=In / + Inxx - In / H=,学*科网t t t - °t + 1故X%> e = In%+I11X22 0-ln > 2 ,转化成法二，下同，略.例3.已知西,是函数/(1) = "QX的两个零点，且X <.(1 )求证：否+> 2 ；(2)求证：Xj - x2 < 1.x1【解析】(1)问题可以转化为：y = 与> =一有两个交点，由图知，0<再<1<电 qar上且卜,即行" ”之wex： = ax一再l%?=. aX . X2*. X2)故要证：再+工>2,即证：二>2,也即证：,，ac" 一。 均一片/广+12也即、. h . >，令好巧一冷则”(0,+8)Cl 4 - 1 X2 一再设 g(。=+1) 2(/1),则 /«) = %，- K + L gt) = ?/ > 0 ,g'Q)在(0s+oo)单调递境 即g")>g'(0) = 0.，g在(0,+x)单调递熠，即g>g(0) = 0,故原不等式得证.X| x2不)_ X|(2)要证：< 1,即证： 一V-<1,等价于 e 3./2<(_Z)2, a-x.为421一百1也即,V5不，等价于一7<一55(%2 - %)(e 2X -1) (一刀厂td 1«21-等价于-< a>0),也等价于1一<-(/>0),等价于即证：1+1<0/ - 2ez - 2e*1 - 2 +/ - 2(dl)- rel -1 t令/!«) = /一d+lQ>0),则/«) =L1 t L又令/。)= 1+耳一又令/。)= 1+耳一£2«>0),得0«) =4 <。，夕«)在(0,+8)单调递减,0(，)<0(0) = 0,从而«)<0,力。)在(0,+8)单调递减，/. h(t) < h(0) = 0 ,即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数。，得到一个关于%,%的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等 式变成了 一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.学*科网例4,已知函数/(%) = %-*(4 >0),若存在玉,(为 < /)，使例() =/(犬2)=。，求证：< cie.【解析】函数/(X)的零点等价于方程4 =史的实根，令g(x)=Q,(x>0), XX求导可知，g(x)在(0：。)上单调递熠,在(凡位)上单调递减，g(x)血= g(c)=L e(i)下证：当0<<1时，方程。=史=史有两个实根. ex x当xe(0：c)时，g(x)是减函数，.gQ) = 0：g(e) = LgQ)<a<g(e) e，当xe(0,。)，g(x)为增函数,g(l) = Qg(2)Lg(D<avg(。)， eIn x，当xe(0,c)时，a=有一解，记为再.当xe 3+<切时，g(x)为减函数，g(3)=-2/hia a先证：g()即证：令/2(4)=qlna(a>0), 优2求导由的单调性可得:阳),=二> M :故不等式a In a > 一:即证, eel2也即原不等式g(二)< a成立.，当xe(e,+oo)时，a =也有一解，记为巧.k、T X1再证：<ae.而 0cxice < %，In x2 > 1% =曰< 竺=生.证毕.【招式演练】设函数f(x) = ex-ax + a(a e R)的图像与x轴交于A(%,0),5(%2，。)(当</)两点, (1)证明：/'(历匕)<0;(2)求证：xx2 < Xj + x2.【解析】(1)法一：因为eX| -0¥+。= 0，h# 山4H eX2 - ex, 两式相减得4 = er： - ar2 4- a = 0,一+12记 = s(s > 0),则 /'= e 空一 =牛25 e e-s),2 I设g(s) = 2s-(eeT),则g'(s) = 2-(e$+eT)<0,所以g(s)是单调减函数,则有 g(s)<g(0) = 0,演+-2而W一>0,所以/'(五1土卜0.又r(x)=e'-。是单调增函数，且三三>而T，所以/'(而T)法二：x = Ina是/(x)的极小值点,易证演vlnavx2,设/7(%)=/(姑 + 工)一/(、一不)二4(©、-07-2X),(工 >0),) = a(ev+ e-x-2)> 0b(x)在(0,+oo)单调递增，因此尸(x)/(0) = 0,即x>0时/(lna + x)>/(lnQ-x), 易证$ < In <当，所以2 In 一七> In a,因此/(xj = /(x2) = /(ln + (x2 - Ina) >/(lna-(x2 - Ina) = /(21n6f-x2),因为/(x)在(-8,Inq)单调递减，所以* < 21na -七=> *< Ina ,即“占 < % > v Ina ,又尸(x) = e=a是单调递增函数，所以八而T)</'(ln) = 0.(2)证明：由e” = 6z(x)-1)eX2 = a(x2 -1),刘Fx -1 人i a . niI a-R cc In。一In/ i从而一=e ' 2 =，令a = x _1,£ = %2 ，则e =一 = 1，* x2-l° a B由于玉/ <玉+ =aP < 1，下面只要证明：ocp =,(0<a<l<尸)，-a结合对数函数y = lnx的图像可知，只需证：(/也。),(,/11,)两点连线的斜率要比(私1110,(万110两 a a点连线的斜率小即可，I nIn 6z In 一又因为左="。一"'=1,即证：-<1 -« + 21na >0(0<a<l),a - Baa2令 g(a)=一a + 21rl= > 0,(0 < a < 1),则 g'(a) = -1+= J < 0, aa a且。)在(0,1)上单调递减，89)>且6 = 0,学*科网 r/.原不等式XjX2 < X +九2成立.设函数f(x) = anx-bx2,其图像在点P(2,7(2)处切线的斜率为3.当 =2时，令g(x) = /(x)-辰,设玉,工2(不 <了2)是方程g(x) = O的两个根，%是%,%2的等差中项，求证：g'(x()<O(g'(x)为函数g(x)的导函数).【解析】由函数/(X)图像在点P(2: /(2)处切线的斜率为-3得b = 1,所以9(力=2111%一/一版的两个零点再多，则2卜为"3°, 21nx2 -Xj _g=0：相减得:2(ln再一In巧)一(再2一2)-一再一为)= o>再吃,二左.。口内由为)_(再+巧),故/(毛)=2_2毛_左=一一”二心也 再一巧Xq再+ 再一W-r2("I)二一产f) -(In x1-lnxz) =一一 T n 9须一W 再+须一%2 亘+ %2X.令r = 2/c(0J),西)=响"2-ln/ +1 。+1则。叱品H =9在3)上单调递或故总>的)=。，又言<0,所以g'a)<o,证毕.设函数/(1)=。2%一_1-2111双(0),函数(%)为了(X)的导函数，且4(为"(七),5(%2，/(工2)是 X了。)的图像上不同的两点，满足/(%) + /()=。，线段A3中点的横坐标为飞,证明：6ZXO>1.【解析】1 时=1+'=%)2 _ /，又依题意/'(1) = (。-,)2 NO ,2 a ax2得了(x)在定义域上单调递增，所以要证。.1,只需证/()= /(%)/( /)， a2BU/(x2) + /(x2)<0 a不妨设为</，注意到/d)=o，由函数单调性知，有为学*科网 aa a构造函数 F(x) = /(- x) + f(x)，则尸(x)=:(x) H-x) = - 4廿 D：, aa x(2-ax)当时，Ff(x) <0 ,即/(x)单调递减，当时，F(x) < F(-) = 0 ,从而不等式式成立，故原 aaa不等式成立.学*科网已知函数 /(x) = aIn x(a e R).x(1)若。=2,求函数/(x)在(1,/)上的零点个数;(2)若/(%)有两零点石,2 (M<%2)，求证：2 <2+%2 V 3"T -1.【解析】(1)由题设,八幻=二，故外在(1, e?)上单调递减, x所以)在(1e)上至多只有一个零点.X/(l)/(e-l<0,故小)在e2)上只有一个零点.(2)证：先证由+工2>2.法一：利用通法证明/(幻二。-Inx的极值点x = l向左偏移, x法二：直接换元法化单变元：依题设，有0=' +加演=+卜X2X x2f -1«I2 i2(In /)i己乜=3 /> 1, 则 lnr =, 故 =. 于是， 修+工2=工1。+1)=，X|+工2-2=-王氏/In/In/Inr记函数g(x)=-lnx, x>l.因g，(x) =任二2l>0,故四)在(1, +oo)上单调递增.2x2x于是,>1 时,g(1)>g(l)=O.又 lm>0,所以，x+x2>2.再证xi+x23e°T-i.因 /(x)=0 <=> h(x)=ax-l-xnx=O,故 x ,应也是 h(x)的两零点.由 hf(x)=a-nx=O,得x=e"“，且x<e"",/?*(x) > 0,x>eah*(x)< 0 利用通法证明Mx) = "-l-xlnx的极值点=«向右偏移，所以七土 <小】即X +9< 2ea-l ,由X +乙2即甘2>1得：1 + (xj + x2) < “ *+ 6 +x2) = 3a +“2)<3 24=3e</_1 = & + x2 < 3eu-1 -1.【点评】1 .方程的变形方向：.尤2是函数/(X)的两个零点，1是该函数的极值点.为是函数父©的 两个零点，/T是该函数的极值点.2.难点玉+< 3，" 一 1的证明依赖利用XI + % > 2放缩.1 9已知函数f(x)=x + (1 - a)x - alnx .2(I )讨论f(x)的单调性；(II)设a>0,证明：当0<x<a时) f(a + x) < f(a - x)；x + x(III)设X2是f(x)的两个零点，证明f'(-)>0.2【答案】(I ) f(x)在。a)上单调递减，在(a, +河上单调递增；(II )当0<x<aH寸，f(a + x)vf(a-x)； (III)证明过程见解析【解析】试题分析：(I )求导，并判断导刿的符号，分别讨论a的取值，确定函数的单调区间.(H )构造函数或X)= f(a + x)-f(a- X),利用导数求出数g(x)当。<x<a时的最大值小于零即可.X XX X(III)由(II )得f(2a 7 J = f(a a &) < f(xj = 0 ,从而 0 > 2a & > 于是 J_2 > a,由(I)知,> 0 .22试题解析：(I ) f(x)的定义域为(0, + 8)，求导数,得f (x)二x + 1.a -x (1 - a)x - a (x + l)(x - a)若SO >则必)>0,此时的在(0, + b)上单调递增,若a>0 > 则由(")=渭*7,当。<x<a时，f'(x) < 0 ,当x>a时，f (x) >0 >此时f(x)在(0制上单调递减,在(a, + 8)上单调递增.(II)令g(x) = f(a + x) - f(a - x),则1 2 1 2g(x)二一(a + x) + (1 - a)(a + x) - aln(a + x) - -(a - x) + (1 - a)(a - x) - aln(a - x) 22=2x - aln(a + x) + aln(a - x).c 2 .a a - 2x求导数，得g(x)=2 =，a + x a-x a'-x当时0<x<a, g<(x)< 0，： g(x)在。a)上是减函数.而g(0) = 0, -* g(x) < g(0) = 0 ,故当0 < x < a时,f(a + x) < f(a - x)(III)由(I )可知，。当a 4 0时，函数y=f(x)至多有一个零点,故a>0,从而f(x)的最小值为f(a),且f(a)<0,不妨设°<X<X2， pliJO < xx < a < x2, ' 0 < a - xt < a ,由(II)得f(2a - xj = f(a + a - xj < f(xj = 0 ,学*科网x +x从而X2>2a-X,于是>a,2由(T )知，f'('-)>o.学*科网2点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在(I )中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论a的取值，确定函数的单调区间.(II)通过构造函数g(x)=f(a + x)-f(a-x),把不等式证明问 题转化为函数求最值问题，。求函数g(x)当0<x<a时的最大值小于零即可.(III)要充分利用(I ) (H)问 的结论.已知函数/(x) = 41nx - Liu?(m>0).(I )若机=1,求函数/(x)的单调递增区间;(II )若函数g(x) = x)(m4)x ,对于曲线y = g(x)上的两个不同的点,N(%2，g(x2)，记直线MN的斜率为屋 若左二8不卜 证明：玉+%2 > 2x0.【答案】(1)(0,2)(2)见解析 【解析】试题分析：(1)先确定函数定义域再求导函数，进而求定义区间上导函数的零点2,最 后列表分析导函数符号：当0<x<2时，确定单调熠区间为(0,2). (2)极点偏移问题，关键构造函数：先转化所证不等式二手> 为g,(七+七<gfM , 因为 g'(与)-g，(七+王4(10%1 - Inx,)8项%2再+七4第一项2(工一改) (Inx. - Injq)-1 ZIn 再2至-1至+1 再，所以转化研坐9 «>1)单调性，易得在(L+g)上单调递增，即得结论.2究函数也至-不-2=ln?-至+ 1玉