专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（解析版）.docx

专题15圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题一、考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点，探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直 线或结果是否为定值，求解时一般是先假设结论存在，再进行推导，有时也会出现探索曲线位置关系的试题，结 构不良问题时，兼顾开放性与公平性，形式不固化，问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多 种评价解决方法的标准等特征，选择不同的条件，解题的难度是有所不同的，能较好地考查学生分析问题解决 问题的能力.二、解题秘籍（一）解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1 .解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.2 .存在性问题的求解方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、 曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线 或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.3 .结构不良问题的主要特征有：问题条件或数据部分缺失或冗余；问题目标界定不明确；具有多种解决方法、途径；具有多种评价解决方法的标准；所涉及的概念、规则和原理等不确定.29【例1】（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线C：二 2 = 1经过点（2,-3）,两条渐近线的夹角为60 ,直线/交双曲线于A5两点.（1）求双曲线。的方程.若动直线/经过双曲线的右焦点尸2,是否存在X轴上的定点”（叫0）,使得以线段A5为直径的圆恒过M点？若存在，求实数加的值；若不存在,请说明理由.【解析】（1）,两条渐近线的夹角为60；.,渐近线的斜率±。= ±6或±，即。=6或=走；a33当b = y/3a时，由二-广=1得："=1," = 3 ,双曲线C的方程为：x2 - = 1 ； 矿价3当=走时,方程;-於=1无解；3CT tr（2）。= 庐乒=1,则有耳（TO）,设K。"）,线段耳K的中点为（乂力则有.x-2 => ny = 2m = 2x 4-1 n = 2y29又K是椭圆上的动点，则有3二,即 0x+i) +(2y)故线段片 < 的中点的轨迹方程为（3）类似特性的性质为：若/、N是双曲线二 er=1上关于原点对称的两个点,点尸是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在，并记为“、攵PN时，那么脑必与攵PN之积是与点位置无关的定值.证明：设2N(-s,T),则44 = 1,%="，%Cl U人 0 34 ° ' 329k .k二 % 一'NpM ApN 22 »Xq S Xq + S X。一 s9£ 2又2=3 J",则_"X。a%m * %n h2-h2- s2-h222X。-s2) b2（八）不良结构问题 近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题，选择不同的条件，所用知识可能不同，难 易程度也可能不同.【例9】在所=%+1，% =2% =2,尸/Ux轴时,p尸=2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上, 并解答.问题：已知抛物线c： V = 2PHp > 0）的焦点为F,点P （加儿）在抛物线C上，且.求抛物线C的标准方程；若直线l：x-y-2 =。与抛物线C交于A,3两点，求AABF的面积.【解析】（1）解：选择条件，由抛物线的定义可得PF = /+£,因为尸产=% +1,所以=% +1，解得p = 2,故抛物线C的标准方程为y2=4x.选择条件，因为% =2% =2,所以 为 =2,% =1,因为点P（x0,y。）在抛物线。上,所以y；=2px。,即2）=4,解得p = 2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x.选择条件.当尸产_Lx轴时，Pb = § + § = 2,所以 =2.故抛物线C的标准方程为y2=4x.（2）解:设由（1）知尸（1解）.x-y-2 = 0.由 2 4 ，得 y2_4y_8 = 0, y =4x则 X +% =4,x% =-8,所以 一 %| = J（x + %= J16 + 32 =46,故 AB = J1 +器 M - 丫21 = & x 4G = 4a/6 .因为点尸到直线/的距离d=4也=立，V1 + 1 2所以ABb的面积为，A8d = Lx4"x正=2月.222三、跟踪检测1. （2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测）已知动圆C经过点打1,0）,且与直线4-1相切, 记动圆。圆心的轨迹为E.求E的方程；已知尸（4,%）（%0）是曲线E上一点,是曲线E上异于点2的两个动点,设直线24、依的倾斜角分别3兀为以尸，且。+ /?=3,请问：直线A3是否经过定点？若是,请求出该定点，若不是,请说明理由.4【解析】（1）设动圆圆心加（羽y）,;动圆C经过点尸（1,0）,且与直线厂-1相切，点M的轨迹是以（1,0）为焦点，直线x=-l为准线的抛物线，故其方程为V=4x,二动圆圆心C的轨迹方程是y2 = 4x ；(2)由(1)可得P(4,4),7TIT当直线B4、依中其中一条的斜率不存在，不妨设。=不用=:， 24易得A(4,-4),直线总的直线为尸工,与丁=41联立可得3(0,0),故直线AB的方程为x + y = 0 ；当直线M的斜率都存在时，故设直线、您的斜率勺,月，k = -4 . 44所以L/_Jx+4,同理可得%+4'因为"/=亨，所以tan(a +夕)=-1,所以三巴空吗 =-1，即二一1,所以仁+ &-% 4+1 =。,41 - tan a tan/1 - as, k24444所以广+广一不言+1=°，即 8(y+%)+%+32=。，(丫？ = 4x由题意可设AB方程为x = 9 +，联立厂，消X整理得y24(y-4 = 0,x = ty + n所以 A = 16t2 +16>0,X + y2 =今，y % = 一4,所以32/4+32 = 0即 =8才+8,所以 x = " + = " + 8，+ 8 =，(y + 8) + 8,令3 + 8 = 0得y = -8,% = 8,此时有定点(8,-8),综上所述，直线A3经过定点(8,-8)(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆。：/+产=16,点A (6,0)，点B为圆。上的动点, 线段A3的中点”的轨迹为曲线C.(1)求曲线。的方程；设T (2,0),过点T作与x轴不重合的直线/交曲线。于E、尸两点.(i)过点T作与直线/垂直的直线相交曲线。于G、”两点，求四边形EGF”面积的最大值；(ii)设曲线C与x轴交于P、。两点，直线尸石与直线Qb相交于点N,试讨论点N是否在定直线上，若是，求出 该直线方程；若不是，说明理由.【解析】(1)设加(»),3(人0，%),因为点3在圆。上，所以片+常=16，因为M为A3中点，所以丫_6 + /A - 2，整理得I 2xCi=2x-6° c，代入式中得% = 2y(2x-6)2+49=16,整理得(x-3)2+ 9 =4,所以曲线。的方程为（x-3 + y2=4.（2） （i）因为直线/不与x轴重合，所以设直线/的方程为工=殁+ 2,即x-my-2 = 0,则直线GH为如+y-2m=0,设曲线。的圆心到直线/和直线GH的距离分别为4 4,则4 = -7=&= -f3=，所以但同二2k2 咫三,GH = 2/4-?=2 咫二，所以 J1 + "Vm2+11 1 V 1 + m2V /+ 1 1 V 根 +1 V m2 + l114m2 +3 c 13m2 +4nSegfh =1 X 2、7r X 2d齐方=2412+ / + 2M +，当机=0 时，Segfh = 4yB ;Vm"7，当且仅当为=1时等号成立,综上所述,四边形EGFH面积的最大值为7.（ii）设石（石,乂）,尸（孙），x = my+ 2?_3联立，_3 + y2=4'得"+1）V一2冲-3 =。,则必+必二版力川办二审评%茄（M+必）, 因为曲线。与X轴交于P,。两点，所以尸（1,。）,2（5,0）,则直线收的方程为丁 =7（1-1）=77（X-1）,%1 1myx +1直线。产的方程为 > =上7（、一5）二（工-5）,x2 -5my2 -3联立两直线方程得X = 4警+32 = "一+5% = _13y + 必3y + 必 3乂 + %片冷，所以4-I,产一,3 M +%（3%+必J所以N在定直线x二 1上.3. （2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中）己知双曲线Uf丁=1,过点了,0）作直线/ 和曲线C交于4方两点.求双曲线C的焦点和它的渐近线；若£ = 0,点A在第一象限,AH轴,垂足为凡连结,求直线斜率的取值范围；（3）过点7作另一条直线机川和曲线。交于&F两点.问是否存在实数。使得丽.炉=0和网=|司 同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t的取值集合；如果不存在,请说明理由.【解析】解:由曲线C%2 y2=,可得曲线C的焦点为片（-V2,0）, F2 （V2,0），渐近线方程y = ±工；（2）解:设/:> =依,4（石,凹）,3（一西,一切）,“（工,0）,因为双曲线的渐近线为' = ±七且点A在第一象限，所以0女<1, y. k从而攵8” = 丁 =不，2羽 2所以原（H即直线3"斜率的取值范围为0” ；（3）解：由丽.前=0,得AB_L石产，当一条直线斜率存在另一条直线斜率为0时，不妨取直线/ ： y = 0,直线m:x = /, W > 1,此时 |AB| = 2,令=，则/一 y 2 = 1,解得 y = ±"_ 1,所以但q=2工，因为|而|=|而所以242-1 = 2,解得 = ± VL当两条直线斜率都存在时，不妨设/：K-0且攵w±l）,联立 I V（： 一?,消 y 得（1 F ）/ + 2公比（1 + 攵2/）=0 ,X ->=1设 A（%2, % ），3（毛，% ），miI2k2 t1 +公/贝 I与 + 玉=-，2 %3 = 一 1 ,2 ，1 K1 K-k2则 AB = Jl + 父 Jq + x3)2 即点"的轨迹方程为：工+匕=1("0), 3 -4x2x3IQ 7 件 M，P 1 r/日 I 口讯 _ 21k- +1J产l + 1” 将2 d换成-层可待|明=1由A3 = £尸，可得2，1 + 公"2J 攵2+1I -2 收+1/2-1 + /k2-l解得=2,即，= ±JL此时A = 4（居2 一女2 +1）= 4伏2 +1） > 0恒成立,综上所述"=±0，4. （2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考）设点P为圆C：f + y2 =4上的动点，过点p作X轴垂线，垂足为点Q,动点M满足2超（点P、。不重合）求动点M的轨迹方程E;若过点7（4,0）的动直线与轨迹E交于A、8两点，定点N为1,|，直线N4的斜率为人，直线N3的斜率为L试判断K+&是否为定值.若是,求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）设点尸为（M，%）,动点M为（%>）,则。点为（如。）,M2 = (4-x,-y),PQ = (。,-%), 2A/Q = y/3PQ:.2(x()-x,-y) = 73(0,-y0),x( - x4求得：1 o 6 又.,片+$=4."2+ y2=4, -2y = -3%3（2）设直线A8方程为：x = /冲+ 4,（2）设直线A8方程为：x = /冲+ 4,x = my + 4x2 y2 得(3nr + 4)9 + 24my + 36 = 0,143., A = (24m)2 -4x363m2 + 4)> 0，篦> 2或根 < 一2,设a点(4，y1) ,b点(才2, x2)，则x + %24机36-%，y 必=-'3m2+4 1 2 3m2 + 43求得：根）02=一；（凹+乂），33/. & +=+-=my + 3 my2 + 3(3 2根另为 + 3 弓根(X+%) 9吟月+3加（乂+必）+ 93-丁 (X + %)-9-13一 1丁 (M+%)+ 93-丁 (X + %)-9-13一 1丁 (M+%)+ 93一万制y+必)-9-3-+ %)+3m(y + %)+9.,.%+七的值为定值,定值为-1.5. （2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测）已知椭圆£:" + g = l（a>b>0）的离心率为丰，过坐 标原点。的直线交椭圆后于尸，A两点淇中P在第一象限，过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,当C为椭圆 的右焦点时,PAC的面积为72 .求椭圆E的方程；若B为4?的延长线与椭圆E的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】,椭圆离心率e，=立,.，=/2,则=/一22221当。为椭圆右焦点时,PC =- = -a； a 2*.t S PAC - 2S poc = 2 x c * fz = tzc = a2 = V2，解得：a2 = 4, /?2 = 2,厂al/ mc 2 22422,椭圆后的方程为：+- = 1. 42(2)422k2X2k2X一/+西=急，贝1%=芸+%凡十/£十/k /、k（2k2%.,1=-（0）=-+ 工0 - X。号一.B 公+22k x° k x0、二 + 2（）42+2由题意可设直线= H（左 >。）,尸（X0,也）,3（X，x）,则 4（%,依），0（%,0）,. kAC = + =，直线 AC： y = *_）; 玉）十x。 ，2y = *f）由Z 得：（/+2）工22公/九+ 谷8 = 0, ，匕=1 （2k2x（. 2kxe 1 /、，PB =总点，记会又尸A = （一2玉），-2丘°）,丽丽=-2/蓍+ （-2心）.一言=0,则以 ± PB, K Iy K NAPB为定值90。.6. （2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考）已知抛物线C： V=2pMp>0）的焦点为。点2）在抛物线C上，且DF = 2.求抛物线C的标准方程.直线/： x = "y+r与抛物线。交于4 5两点，点P（TO）,若ZAPO=/B尸O （。为坐标原点），直线/是否恒过点M?若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为点。（如2）在抛物线。上,且尸|=2,4=2px0所以有 , p、。0片2,因此抛物线。的标准方程为产二©；%-（-'）=2（2）设 A（5,y）,3（w，%）,y2 -4-X直线方程与抛物线方程联立，得厂n产.）-羽=0,x-my+t因为X+% = 4/x% =一4.因为NA PO = /BPO,所以砥+原p =。，所以 % + % = 乂（吵+1 + 4）+%（毁+/ + 4）= 2 盯%+« + 4）（必+必）=0 X1+4 %2 +4 （my+1 + 4）（根+/ + 4）（mjj + f + 4）（my2 + Z + 4）则 2加x（-4，）+ 4m。+ 4） = 0,即 16勿24=0 .当加00时,/=4,即M（4,0）； 当m=0时,仁4,符合题意，即M（4,0）.综上,直线/过定点M（4,0）.7. （2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考）在平面直角坐标系中,0为坐标原点，动点G到耳卜6,。）， 月（60）的两点的距离之和为4.试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C.已知直线y =6）（Z>°）与圆&：卜一百+产=；交于加、N两点,与曲线。交于尸、。两点，其中M、P在第一象限,d为原点。到直线/的距离，是否存在实数上，使得丁 二 （|/2|-|即）.2/取得最大值，若存在, 求出左和最大值；若不存在，说明理由.【解析】（1）解:由题意知,|G周+ |G周=4>2石,所以动点G的轨迹是以加与为焦点的椭圆,且 c = G, a=2,又因为/一/=。2, 所以6=1,所以G的轨迹方程为%（2）解:（2）解:（可2 -当工二石时 4 +）1y = 土一，解得 2,又圆g：（x G+y2=；的半径g,所以M在椭圆外,N在椭圆内，点P在。工内，。在。旦外，在直线/上的四点满足：l"PRMN|-|NP,|NQRPQ|-|NP,2厂 + 2_|由V 4 +>，消去y整理得(1 + 4/)/_8仃心+24 = 0,y=k(x - 5因为直线/经过椭圆C内的右焦点F2, 所以该方程的判别式0恒成立, 设尸（石,3），。（%2，%）,86甘12/-4I AL2 4I PQ= J(1 + k2 )(x, + / )2 - 4%赴=, t/v i 1又因为OQ的直径IMN |=1,所以|照一|即=归0-|心一（四|一|必）=|尸。一|烦|=|尸0-1y = k（x-6）化为 kx- y- 43k - 0, 因为，为点。到直线,的距离心号 当且仅当必2 =去,即4当时等号成立，T=(NQ-MP)2d218k21818(4左2+1)(尸+1)4/+5公+14T+5 二2+5所以女="时7 =（加-眼片）.2磨取得最大值2.12"（2022届广东省潮州市高三上学期期末）已知椭圆。:.+今=1（。>6>0）的离心率为巧似原点0为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2%-+ 6 = 0相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A方为动直线产心-2）（原0）与椭圆。的两个交点，问：在x轴上是否存在定点瓦使得奇+丽丽为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由.【解析】（1）由离心率为在，得，及。=如。，3。33又以原点。为圆心，椭圆。的长半轴长为半径的圆为/+ V =/,且与直线2% 庭+ 6 = 0相切，2综上所述：.双曲线。的方程为：Y 匕=1.3（2）由题意得：7；（2,0）,假设存在定点（伙0）满足题意，则苏.碗=0恒成立;方法一：当直线/斜率存在吐设/：y = Mx-2）,4（不必）/（0）,产攵"- 2）一A=36（l+Z:2）0,2 J 得：（3-公卜2 +4人_（4 +3）X二 134k24攵2+3MA-MB = x1 -m）（x2 一2） + y% =%2 加（玉 + x2） + itt + 左？（大/ 一2（% 十） + 4）=（1 +尸）J% - RS +时（而 +/ ） +二 +41、=（1 +尸）J% - RS +时（而 +/ ） +二 +41、=（4攵2+3）（1+攵2）一一3+加+4左 2 二°，.（4&2+3）（1 + 22） 4左 2（2女2+m）+ （租2+42）（攵23）= 0整理可得：根24根5）+（3 3/） = 0.,f/772 -4/71-5=0 z咋一 3/=0I；当相=一1时，加.耐=0恒成立；当直线/斜率不存在时,/: x = 2,则A（2,3）, 5（2,-3）,当 M（-1,0）时,MA =（3,3），MB =（3,-3）,/. MA.MB = 0成立;综上所述：存在"（T。）,使得以线段A3为直径的圆恒过“点.方法二：当直线/斜率为。时,/:y = 0,则4（-1,0）,5（1,0）,/. MA- MB = nr -1 = 0,解得：m = ±l；当直线/斜率不为。时，设/：x = " + 2,4（5,），区（%2，%）,产”2伽2-1/0由 T=1 得:-3+9 =。,，02f所以""夫="'所以（? = 2,。2 =2=2,所以椭圆c的标准方程为1+9；（2）假设存在，设后（仅0）,（22土 + 匕=1联立6 2，消 >整理得（1 + 3公卜2一12-%+12/6 = 0,y = k（x-2）A = 144-4（l + 3V）（12-6）= 6+6>0,设 A（x，x）,3（X2，%），则 Xj + %2 =12k22k2-67 ,XX2 =z 1 + 3/ 1 21 + 3&2由国？ +丽丽=丽（丽+南）=丽.而， 则E4EB =（X -加,凶）（工2-6,%）= （xi-m）（x2-m） + yly2=（不一回仁rri） + k1 （5-2）（x2 -2） =（42 + 1） 用工2 （2攵2 + J%）（X + ）+ 4左之=（%2 + 1） 12卜一f _（2/ + m）+ 4/ + m2 1 + 3k1 + 3k（3m2 - 12m+ 10* +（苏 一6）=1 + 3/'要使上式为定值,即与左无关, 则应3疗12m +10 = 3（46）,即加二1，,.5此时以£3 =疝-6 = -为定值，9（7 、5所以在x轴上存在定点石-,0，使得俞+丽丽为定值799.（2022届河北省深州市高三上学期期末）已知抛物线C：V=4x,点尸为C的焦点，过尸的直线/交。于A,B两点.（1）设A乃在。的准线上的射影分别为PQ线段尸。的中点为R,证明：AR/FQ.（2）在x轴上是否存在一点7；使得直线AZ87的斜率之和为定值？若存在，求出点7的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：设4和%）/（%,%）,尸（1，°）, 故可设直线I的方程为x =加），+1,x = m y +1r2 / 得 y_4my_4 = 0, y =4x则%+ %=4根，为=-4,由题意可知尸（一l,必），2（-1, %）,我（一1,入产）,y+ 必v v则L=;=翡今/=3;吟,2y-%(%)=y+%=,+工乃2(%+1)22(七+1)- 2(%+1)y +牛,y4: 0,2(%+1)2(玉+1)所以断二+，故AR /Q.(2)假设存在点7(凡。)满足题意,设直线AT,BT的斜率分别为khk = X = X k =一 % 一 一xx-a myx + -a" x2-a my2 +1 q '则(+ 内 =+ 乃=2 2M+(j)(,+%)myx +1。 my2 +1 my1y2 m(l-a)(yl + y2) + (l-a)_-4m(a +1)-4m2 + 4m2 (1 q) + (1 - a)2 *因为相£ A,且 / 2： 力-：一口为常数，-4m +4m (1一)+ (1-。)所以 a +1 = 0,即 q = -1,故存在点丁 (T，。)满足题意.10.已知椭圆E:/ + d=l(a>l)的离心率为孝，圆4%2+。_4)2=/&>0)与椭圆片相交于8,c两点.UUU UUU1(1)求A&AC的最小值；（2）若冗，尸2分别是椭圆E的上、下焦点，经过点的直线/与椭圆£交于M,N两点,0为坐标原点，则 O&N与O&M的面积之和是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线/的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由6 = £ =二=走，得。=2.所以椭圆E的标准方程为工+ / =屋则圆心a的坐标为。2）.2设3（加% ）,由对称性得C（T0, % ）,且平+尤。2 = 1 ,uun UUU1955X1则 AB-AC = （x0,y0-2）-（-x0,y0-2）= （y0-2） -%02-40+3 = -（0-）2 -r由题意知一2<yo<2,所以当yo=：时为聚取得最小值，最小值为一（.（2）由题意知Fi（0，V3）,F2（0,- V3 ），直线I的斜率一定存在.设/： ykx+ 73y = kx + C,由, J ,消去y并整理得（4+攵2）%2+26丘一1=0,4 = （2 道%）2+4（4+N）= 16/ +16>0,m,i 1则 XI +X2= -7 ,X1X2= - -7T .4 + 424 + A-所以 OF2N与 OP2M的面积之和s= g X 6 1*2 XI| =乎 X J（X +%2）2 _4%2 =9 X （一 422 V 4 + Z 4 + K116k2+16七 J 1 + 公T 4（4 + /）2,3q（4 + Y）2 令，=1+攵2,则仑1,O_当且仅当1=7,即t=3,k=±e时等号成立.所以当k=±6时, OFzN与A OF2M的面积之和取得最大值，且最大值为1,此时直线/的方程为正x-y +0=0或后+y-6 = 0.2211. （2022届北京一六一中学高三12月测试）已知椭圆C:± +匕=1（机>2）上一点与椭圆C的两个焦点构成的三角形周长为40 + 2帽.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(2,l)作x轴的垂线/，设点A为第四象限内一点且在椭圆C± (点A不在直线/上)，点A关于/的对称点为A'，直线AP与C交于另一点5设。为原点，判断直线与直线0P的位置关系,并说明理由.【解析】(1) Vm>2,. a2=m,b2=2又焦点三角形的周长为2 + 2j2a + 2c = 4>/2 + 26 cT -c1 = 2，解得a = 242c = y/622故椭圆。的方程为：土 +匕=1.82411(2) (1)由题意的：6T h2，解得4 = 2a力=02b = 24222椭圆。的方程为土 +工=182(2)直线与直线。尸平行，证明如下：由题意，直线PA的斜率存在且不为零PAPA关于/：x = 2对称，则直线Q4与2V斜率互为相反数设直线1 =左(2),尸区：y 1 =女(不一2)22土 + J82y = Z:（x-2）+ l，消去 y 得（4+1）%2 _（6公 一8人）%+16%2 164 4 =。.16r16攵4.办=袱2+1我28人24二+18Y+8Z-24公+1x-x2 =16k442+1y = % （% 2）+1,%A（X- - 2）+1,一%=/+%2）_4左=_京片ABABy-% = 1-x22乂 k op = J*= k°p故直线A3与直线OP平行2212. （2023届海交通大学附属中学2023届高三上学期10月月考）已知双曲线C： 1r 一2=1（。 0*。）的右焦点为尸（2,0），渐近线方程为y = 土氐，过F的直线与C的两条渐近线分别交于A3两点.（1）求C的方程;（2）若直线A3的斜率为1,求线段A3的中点坐标;点0（/）、。（弓）在。上，且% °，乂° 过P且斜率为-6的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.M在上；PQA3；1MAi【解析】（1）由题意可得c=2, = /3，即 =Jo? +2 - 2,角旱得4 = 1/=6，2因此C的方程为2一二二1；3（2）由直线AN的斜率为1,得直线A3的方程为y = x-2,联立y=x-2u得X 5/3 1lrl，不妨设 /4(/3 1,3 /3), y=-3-V3联立尸一 2y=-瓜 ex="/3 1jr，不妨设 8(6-1,-3 + 6), 3+6故线段AB的中点的横坐标为-1，纵坐标为-3, 故线段A3的中点的坐标为（-1,-3）；(3)由题意设直线P。的方程为"辰+W，将直线也的方程代入人得(3-k2)x2 -2kmx-m2 - 3 = 0,22G.“2+3 攵2A = 12(疝+3 /) >0,因为X >X2 >0,.%1+%2 =产*>0,%=芸|>0,.3-k2 <0 Xj - x2 =+x2)2 -4XjX2 =设点M的坐标为（/,加）,则加一丁尸-6amF加一%二同一）整理得x % =26Xm -6（X +x2）,.X 一）， 2GxM = 6（玉+ %2）+以用一工2 ），ky/m2ky/m2+ 3 2 km 3，乂因为2% （y +%）=g（此一），X +乃=k(X +12 )+2办 二 2yM =-)+%(芯 +%2 )+2根，3 J+3 一12 3/7? ._ 3 W =.2 _3， 加一1 时 ；若选择作条件：设直线AB的方程为y = k(x 2)，并设A的坐标为(W，为)方的坐标为(Z，%),乃二人每一2)r- ，解得& = %二，3工3乃二人每一2)r- ，解得& = %二，3工32kk-6'yLk-®同理求得 =二，乂 =-3牛， k + 6攵+ G4k212kr+z=K， + y4 = K'同理求得 =二，乂 =-3牛， k + 6攵+ G4k212kr+z=K， + y4 = K'此时点M的坐标满足Xw =k（xM -2）3）3 = 7%K解得 =tI = |（+x4X Xw =7 = ；（% + %），K j ZK j Z故M为A5的中点，即|肱4|=眼目,即成立；若选择作条件：3当直线A3的斜率不存在时，点M即为点尸(2,0),此时不在直线y =，矛盾，K当直线A3的斜率存在时，设直线A区的方程为y = m(x-2),(帆。0),并设A的坐标为(0K),B的坐标为(“6)，y5=m（x5-2） n ，解得毛=%=皿52mm-yj3 * m y/3同理解得毛=二,%=_2缥.m+73m + 73（1 , 11 z 、 2m21 z 、 6m止匕时 =彳（/+%）= 7，）' =；（% + %）=2m" -32m -5由于点M同时在直线y =上，故一% = ?寻二 解得k = m ,k nr 3 k m 3因此PQ4?，即成立.若选择作条件： 设直线的方程为严左（1-2）,并设A的坐标为（如）3的坐标为（4,为）,2同理可得%=2k不铲8=一口'设AB的中点为C（%，>c），则xc = 5（/+4）2k222一3'九1 z 、 6k5（% + %）= E，由于4故M在A3的垂直平分线上，即点M在直线y-y0=-%（x-%）上, K将该直线与y联立，解得j =k将该直线与y联立，解得j =k2k26k即点M恰为AB中点，即点M在直线AB上,成立；2213.已知椭圆C 十十三=1（。2213.已知椭圆C 十十三=1（。>b>0）的离心率为点1;在椭圆C上.求椭圆。的方程;27若椭圆。的两条切线交于点M （淇中”，切点分别是A、仇试利用结论：在椭圆上的点（%,为）处的椭圆切线方程是竽+等=1,证明直线A夕恒过椭圆的右焦点2；（3）试探究1 11的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由.3、。在椭圆。上.2）22【解析】（1） :椭圆C a + aul.”。）的离心率为点fig由得人八3,椭圆。的方程为.（2）证明：设切点坐标人士方）,3（孙%）,则切线方程分别为何+平=1,等+铝=L rI又两条切线交于点/（4/），即+Q%=1,+=1，即点A、8的坐标都适合方程x + .y = l,令y = 0,可得故对任意实数，点（1,0）都适合这个方程,故直线恒过椭圆的右焦点鸟（1,0）.(3)将直线A3的方程x = ,y + l,代入椭圆方程，得(t yt2 93 y + 1 +4,212 = 0,即+ 4 y 2ty 9 = 0,k3 /1 3,27 r + 12'.6t-x + y2=77H，x>2 = l I JL不妨设y0,)，2<0,|a8| = J(%1): + q=同理忸闾=一要为，_L + _L = , 3 1_L_L =_二_3J-必)2 =4A 修 BF2yi) +9X>2 - J/ +9 yy2 3114近+函的值恒为常数晨14.(2023届四川省成都市高三上学期月考)如图所示，已知A3两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AP,3P的交点为P'且它们的斜率之积一X(1)求点P的轨迹E的方程;设点。为x轴上(不同于A5) 一定点，若过点P的动直线与E的交点为Q,直线PQ与 直线x = -2和直线x = 2分别交于MN两点，当ZACM = NACN时,请比较ZACP与44CQ大小并说明理由.【解析】(1)设点P的坐标为(xy),由题设得攵八p8P= 一:(*。±2)， x+2 x-24r2故所求的点P的轨迹E的方程为了 十 丁 = J。±2).(2)设CV,。),由题设知，直线MN的斜率k存在，不妨设直线"N的方程为 >将x = 2代入 >可得 =m 2k，则M(2,7% 2左)，同理NQ,m + 2k).由 ZACM = ZACN，可得 J + Gv =。,所以m - 2k2 ttn +2k4-=0,即4% + 皿=0,且尸（石，乂卜。（%2，%），4；：4消去并整理得（叱+ 1卜2 + 8切吠+ 4（m2-l） = o.则A>0且为 +/ =8km 4（疗 一 1） 一丁