2022-2023学年度湖北省十堰市县区普通高中联合体高三十一月联考（附答案详解）.docx

20222023学年度湖北省十堰市县区普通高中联合体高三十一月联考一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1 .设集合/ =5 = %|0<%<|,则4nB =()A. 0,1B. 1,2C.0,1,2D. -2,-1,0).若复数z = W的实部与虚部相等，则实数a的值为() q+iA. 3B. 1C. 1D 32 .在ABC中，点。在边上，3。= 2。4记褊=记，而=五,则丽 =（）A. 3m 2n B. 2m + 3n C. 3m + 2n D. 2m + 3n3 .下列说法正确的是（）A.命题 “V% > 2, E% 41” 的否定是勺& W 2, ln%o>%o-l”B.命题p: 3x0 E R，clXq + ax0 + 1 < 0,若命题p是假命题，则0 V a V 4C.“五.BvO”是“落 铺勺夹角为钝角”的充分不必要条件D. 中，4>8是力犷4>。访8的充要条件5.我国古代数学名著徵书九章少中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一 个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆 中积水深9寸，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；1尺 等于10寸）（）A. 3寸B. 4寸C. 5寸D. 6寸6 .有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻， 则不同排列方式共有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种7 .已知三棱锥力 BCD的所有顶点都在球。的球面上，且4B1平面BCD, AB = 2遮,AC =AD = 4, CD = 2,则球。的表面积为（）A. 37rA. 37rB.137rc.13VT3tt -3-D.527r8 .若a = ln(sin"), b = -ln9, c = ln(ln0.9),贝ij ()A. a < b < cB. a < b < cC. c < b < aD. c < a < bE. a < c < b. g(%) > g(0) = 0,则sin% > In (% + 1)当 =:时，sin： > ln( + 1) = In? Vyyv又.y = In%在(0, +oo)上单调递增.In孚> 191011/. In(ln-g-) < ln(sin g) < In a c < a < Z?9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查中位数，正态分布，回归直线方程和二项分布的方差和期望，属于中档题.【解答】解：对于选项A, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9中位数为7.5,所以4不正确；对于选项5,因为随机变量f服从正态分布N(l,°2),所以正态曲线关于 = 1对称，所以P(fW-2) => 4) = 1 - 0.79 = 0.21,所以 3正确;对于选项C,因为回归直线一定经过样本中心点，所以一2.8 = 0,3血一加=一0.76，即血=4,所 以C正确；对于选项 D,因为XB(100,p),且E(X) = 20,所以 100p = 20,即p = 0.2,所以。(X) = 100 X 0.2 X 0.8 = 16,所以。不正确.10 .【答案】BC【解析】【分析】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力与转化应用能力，是中档题.利用三角函数的性质逐项求解.【解答】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128 - 120 = 8米，故A不正确；t分钟后，转过的角度为由，则仁60 60cos由+ 8 = -60cos(争)+ 68, 8正确；/; = -60(cos2t) + 68周期为筌=30,由余弦型函数的性质可知，若h + t2取最小值， ib15-则h，2 e 。，30，又高度相等，则“，亡2关于£ = 15对称，则半 =15,则G + t2 = 30;令0工今工兀，解得041<15,令兀工余。工2兀，解得154七<30, aL JX J则h在CG 0,15上单调递增，在15,20上单调递减，当£ = 15时，hmax = 128,当t = 20时，h = -60(cos x 20) + 68 = 98 > 90,所以h = 90在t 6 0,20只有一个解； JL J故选BC.11 .【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了抛物线的焦点、准线与抛物线定义有关的最值问题和抛物线中的弦长问题，属于中档题。【解答】解：易知点尸的坐标为(0$),选项A错误；根据抛物线的性质知I，MN过焦点产时，1%2=-p2 = -选项5正确；若丽=4沛，则MN过点八则I例N|的最小值即抛物线通径的长，为2p,即选项C正确，抛物线/ =3的焦点为(0,、准线方程为y = Zoo过点M, N,尸分别作准线的垂线MM', NN', PP'垂足分别为M', N', P',所以|MM'| 二 |MF|, |NN| = |N?|.0所以 |MM'| + |NN'| = MF + NF =所以线段 |PP1 = Imm'I?nn'| =乎所以线段MN的中点P到轴的距离为|PP，|选项D正确.o 4 o o.【答案】ACD【分析】本题考查导函数和原函数的关系，函数的奇偶性，属于基础题.【解答】解：因为若/(2%),广(52%)为奇函数，所以/"(2 - %) = -/(2 + x), f(| - 2%) = -f(| + 2%)令 = 0得f(2) = f(2), f，(|) 二 /(|),即/(2) = 0, f(|) = 0, A选项正确；所以，一/(2 %) = /(2+%),即，(2 %)=(2 + %),所以，函数尸(%)关于 = 2对称,4对称，所以，r(|-)= -r(I+x)= -r(|-x),即/(|一%)= _/(|_%)所以，f'(x + 1) = 一f (x),所以，r(x + 2)= -r(x+i)= r(%),即函数了(%)为周期函数,周期为2,所以，川(2022)=/'(0)=-尸(1), f(l) = -f(0),故以选项正确,B选项错误;)(|- 2x) + 6 = _#(|+2%)+ C2对于C选项，由/(| 2%)=1(|+ 2x)可得一 为常数，所以/(|) 2Ci =/(|) 2。2,所以的=。2，故令得/(2) 2Ci =/(3) 2。2，即f(2) = f(3),故 C选项正确.12 .【答案】84【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.【解答】解：几+1 =。其/)9-1(gy =。奴18-3k,令18-3忆=0, k = 6,故(2+()9的展开式中的常数项为77 =4=84.13 .【答案】5九(答案不唯一)【解析】 【分析】 本题考查了等差数列前几项和的最值问题，属于基础题。【解答】解：对于等差数列册= 5-71,其前几项和Sn =幽抖 =)= 哼2, 乙乙乙由二次函数的性质可知，数列前几项和在九=5或几=4时取到最大值，.【答案】等【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的几何关系，属于中档题.【解答】解：因为04为双曲线/4=1的渐近线，所以七人=遍，贝144。8 = 60。所以AD =40sin60。=苧 0D = A0 - cos60° =则%，多因为OB = 20D = 1,所以椭圆N的半焦距c = 1设椭圆N的左焦点为&,则&(1,0),连接Z&由椭圆的定义可得/a + AB = 2a即卜-1 一沙+14 .【答案】【分析】本题主要考查函数的性质，考查方程的根，属于难题.sin/rx x 6 0 21作出/(%)= 1乙八“ 、的图象，利用图象逐项分析可得结论. 3f(X - 2),x G (2,+00)【解答】fsinTTY 丫 G F0 21如图所示,)。一2),6(2,+8)的图象,中，当 e 2,+8)时，函数/(%)的最大值为，最小值为一1所以任取%1，%2 G 2,+00),都有|/(%1) /(%2)1 < 1恒成立，所以是正确的;中，函数在区间4,5上的单调性和在0,1上的单调性相同，则函数丫 = /(%)在区间4,5不单调，所以不正确；中，如图所示，函数y = f (%)与函数y = In (% - 1)的图象有3个不同的交点，可得函数y = /(%) - In(x - 1)有3个零点，所以是正确的；中，若关于的方程/(%)=租(巾V 0)恰有3个不同的实根1，乂2,、3，不妨设则%1+%2 = 3, %3 =所以1+%2+%3=尊 所以是正确的.乙乙.【答案】解：(1)设数歹U管的公差为d,依题意可得：答与=6 = 3d,解得d = 2,故有零二与+ (九- 2) x 2 = 2几+ 6,故册=2n2 + 6n.(2)由(1)中所求可得：,=2 =1= _J1_n an+4 (n+l)(n+2)n+1九+2'r, c _ 11,11 ,11_ 11_ n以Sn='_§ + n +,_.=5_肃=而西77即数列小的前几项和Sn =而的【解析】本题考查了等差数列的通项公式的求法与裂项相消法求和，属于中档题。18 .【答案】解：(1)因为布记=3bcosB,所以acosC + ccos/= 3bcosB.由正弦定理，得sirh4cosc + sinCcosZ = 3sinBcosB,所以sin(4 + C) = 3sinBcosB,所以sinB = 3sinBcosB.因为0<8<兀，所以qinBW。，所以38="(2)因为a, b, c成等比数列，所以b2 = ac.由正弦定理,得siMB = sin止sinC因为cosB=% 0 < B <7i,所以sinB=.又 1 + 1 _ cosA + cosC _ cos/lsinC+cosCsinX _ sin (C+4) tan/ tanC sinA sinCsinZsinCsin Asin C_ sinB _ sinB _ 1 _ 3a/2sinXsinC sirB sinB 4 ,故，+也.tan/1 tanC 4【解析】本题考查正余弦定理的综合应用，属于中档题.19 .【答案】(1)证明：取48的中点为K,连接MK, NK,由三棱柱4BC - 4/停1可得四边形为平行四边形，而&M = M4i，BK = KA,贝而MK，/平面BCC/i，8%u平面BCG%,故MK平面8CC/i，而CN = NA, BK = KA,则NKBC,同理可得NK平面BCC/而NK CMK = K, NK, MK u平面MKN,故平面MKN平面BCCiBi，而MNu平面MKN,故MN平面BCU.(2)解：因为侧面BCC/i为正方形，故C81381，而CB u平面BCC/i，平面BCC/i 1平面平面BCGZ n平面/叫义=BB>故CB_L平面因为NKBC,故NK _L平面48%久,因为ZB u平面ZBBi41，故NK 1AB,又力 Bl MN,而 NK 工 AB, NK d MN = /V,故A31平面MNK,而MKu平面MNK,故ARLMK, 所以而C8J.881，CB CAB = B,故1 平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系,则8(000), 4(020)，N(l10), M(0,l,2),故反1=(020)，丽=(LL0)，两=(0,1,2),设平面BMN的法向量为元=(x, y, z),则则n - BN = 0n BM = 0x + y = 0y + 2z = 0取z = 1,则元=(221) .设直线4B与平面BMN所成的角为氏则sing = |cos < n, AB > =不'=|.Z X 33【解析】本题考查线面平行的判定，面面平行的性质，直线与平面所成角的向量求法，属于中档 题.20 .【答案】解:(1)X可能取值为2, 3.P(X = 2) = p2 + (1 p)2 = 2P2 - 2p + 1;P(X = 3) = 2P(1 p) = -2p2 + 2p.故 E(X) = 2(2p2 2p + 1) + 3(2p2 + 2p) = -2p2 + 2p + 2,即E(X) = 2(p 4+|,则当p=，时,E(X)取得最大值.(2)% =和寸，双方前两天的比分为2: 0或0: 2的概率均为2 x1 = i; 乙乙乙I比分为2:1或1: 2的概率均为2* x= p2224p(y < 5)则y = 4或y = 5.y = 4即获胜方两天均为2: 0获胜,故 p（y = 4）故 p（y = 4）1 -8 -1 - 4X1 - 4 X 2Y = 5即获胜方前两天的比分为2: 0和2:1或者2: 0和0: 2再加附加赛,Y = 5即获胜方前两天的比分为2: 0和2:1或者2: 0和0: 2再加附加赛,3 - 8 -X 2X1 - 4X1 - 4 +2X1 - 4XX 23 - 8 -X 2X1 - 4X3 - 4 +4X1 - 4XX 21 Q 1所以尸（y45）二尸（丫 = 4）+ p（y = 5）= 5 9 =，o o Z【解析】本题考查了离散型随机变量的均值（期望），属于中档题。1 Q 1所以尸（y45）二尸（丫 = 4）+ p（y = 5）= 5 9 =，o o Z【解析】本题考查了离散型随机变量的均值（期望），属于中档题。21 .【答案】解：（1）由已知可得,解得2故椭圆。的方程为？ +y2 = 1； 4（2）设直线BP的方程为y = k（x 一 2）（七W 0幺七H ±|）,直线0P的方程为y = k2x + l（/c2 H 0且心H ±今，1则直线DP与刚的交点为N（一）, 直线4。的方程为y = 1% + 1,则直线BP与直线的交点为M（霁，船）,2将y = k2x + 1 代入方程号 + y2 = 1，得(4。+ l)x2 + 8k2% = 0,2则点尸的横坐标为孙= 差 点P的纵坐标为yp = k2 -812 + 1 = 1 -y2, 4&+i4 贻+14 后+1将点P的坐标代入直线BP的方程y = k1(x - 2),整理得(1 + 2/c2)(1 - 2k2) = 一2七(1 + 2七产， v 1 + 2k2。0, 2kl + 4klzc2 = 2k2 - 1，由M, N点坐标可得直线MN的方程为：轨述2( += 2k述2%+2/q _ 2.述2%+2.2-1-4.述24%女2+242+2女-1卜22kz 12k2 12k也22k21则直线MN过定点（2,1）.【解析】本题考查椭圆中的定点问题，属于中档题.22.【答案】解:(1)当。=1时，F(x) = ex - /(%) = (% - l)ln(x - 1) - 2x,定义域为(L+8), F(x) = ln(x-l)-l,令 F'(x)O,解得：% > e + 1,令 (x) V 0,解得：lV%Ve + l,故 此时产(%)的单调递增区间为(e + 1,+8),单调递减区间为(l,e + 1).(2)/(%)在区间61上有意义，故ax 1>0在gl上恒成立，可得Q>e,依题意可得：/'(%) = ex - aln(ax - 1) + 1 > 0在日,1上恒成立，设。(%)=/(%) = ex - ainax 1) + 1,212g，(x) = ex ：，易知g'(x)在,1上单调递增，故g'(%) < g'(l) = e < 0， ax!eCLL故g(%) = f'(x) = ex - an(ax - 1) + 1在L 1上单调递减，最小值为g， e故只需g(l) = e aln(a 1) + 1 > 0,设h(a) = e - aln(a -1) + 1,其中a > e,由"(a) = < 0可得：h(a) = e - aln(a - 1) + 1在® +8)上为减函数， JL又h(e + 1) = 0,故a < e + 1.综上所述：Q的取值范围为(e,e + 1.【解析】本题主要考查了利用导数确定函数的单调区间，函数的最值，属于较难题.(1)当a = l时,F(x) = ex - /(x) = (% - l)ln(x -1)-2%,定义域为(1,+8),求出导函数，利用 导函数大于零对应的X的范围为增区间，导函数小于零对应的工的范围为减区间，即可求解； (2)由ax- 10在区间日,1上恒成立，得出a>e，/(%)在区间七,1上单调递增转化为(%)= e%-aln(a%-1) + 10在区间=1上恒成立，利用导数求出广(乃的最小值，得出关于q的不等 e式即可求解.二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9 .下列命题中正确的是()A.已知一组数据7, 7, 8, 9, 5, 6, 8, 8,则这组数据的中位数为8B.若随机变量f服从正态分布N(l«2), P«<4) = 0.79,则P(f W-2) = 0.21C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程 为9 = 0.3% 根，若样本中心点为(th,2.8),则m = 4D.若随机变量X8(100,p),且E(X) = 20,则D(X) = 1210 .摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示, 某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近 的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当七=15时，游客随舱旋转至距离地面最远处 ,以下关于摩天轮的说法中，正确的为()A.摩天轮离地面最近的距离为4米B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为九米，则h = -60cos(工1) + 68 JL JC.若在七1，时.刻，游客距离地面的高度相等，则t1 +12的最小值为30D. 3tv t2e0,20,使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米11.已知抛物线第2 =9的焦点为F,N(%2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A.点F的坐标为4，0) OB.若直线MN过点凡 则1%2 = -2C.若丽=2而，贝的最小值为:D.若|MF| + NF = I，则线段MN的中点P到轴的距离为| ，O12.已知函数/及其导函数/(%)的定义域均为R,若/(2-),(| 2%)均为奇函数，则()A. /(2) = 0B. f(l) = f(0)C. f=/(2)D. r(2022) = -r(-l)三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13 . (/+工)9展开式中，常数项的值为. X.写出一个数列%的通项公式，使得该数列的前几项和在九=5时取最大值，%=.14 .已知双曲线M:%2g=1的渐近线是边长为1的菱形(M8C的边。4 0C所在直线若椭圆 3N： +，=l(Q>b>0)经过4 C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则。=.rsinjix, x E 0,215 .对于函数/(%) =仁c、现有下列结论：一 2), % G (2,+oo)任取.，%2 e 2,+oo),都有 |f(%i) /(%2)1 < 1；函数y = /(%)在4,5上单调递增；函数y = /(%) - ln(x 1)有3个零点；.1 a若关于的方程/(%)=血(租V 0)恰有3个不同的实根%1，%2，%3，则%1+%2+%3=3其中正确结论的序号为.(写出所有正确命题的序号)四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16 .(本小题10.0分)已知数列垮是等差数列，的=20,%=80.(1)求数列an的通项公式；(2)设6=/，求数列4的前几项和Sn17 .(本小题12.0分)在中，已知a, b, c分别为角4, B, C的对边.若向量记=(a,cosZ),向量元=(cosC,c),且访 n = 3bcosB (1)求cosB的值；(2)若a, b, c成等比数列，求U + C的值. ' 'tan?l tanC18 .(本小题12.0分)如图，在三棱柱- 中，侧面BCC/i为正方形，平面1平面43当4AB =BC = 2, M, N分别为占&，4C的中点.(1)求证：MN平面3CC$i；(2)若AB 1 MN,求直线与平面BMN所成角的正弦值.19 .(本小题12.0分)为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部48进行体育运动和文 化项目比赛，由4部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先 赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束,若4部、B部中的一方能连续两天胜利，则其 为最终冠军;若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为 最终冠军.设每局比赛/部获胜的概率为p(0 <p<l),每局比赛的结果没有平局且结果互相独 立。(1)记第一天需要进行的比赛局数为X,求E(X),并求当E(X)取最大值时p的值；(2)当p = J时，记一共进行的比赛局数为丫，求P(YW5).20 .(本小题12.0分)设椭圆C:捻+，=l(a>b>0)的左、右顶点分别为4 B,上顶点为。，点P是椭圆C上异于 顶点的动点，已知椭圆的离心率e="，短轴长为2.乙(1)求椭圆。的方程；(2)若直线力。与直线BP交于点M,直线DP与轴交于点N,求证：直线MN恒过某定点，并求 出该定点.21 .(本小题12.0分)设函数/(%) = ex - (ax - l)in(ax - 1) + (a + 1)%,(e为自然常数)当a = 1时，求尸(%) = ex - /(%)的单调区间;(2)若/(%)在区间=1上单调递增，求实数a的取值范围.答案和解析.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题.【解答】解：因为4 =F = x|O<x<|,所以4nB = 02.1 .【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的概念与分类，属于基础题.【解答】77_ 2+i _ (2+i)(ai) _ 2q+1+(q2)i牛， q+2 (q+£)(q-i)q2 + i因为复数Z 二号的实部与虚部相等， q+i所以2。+ 1 =。-2,解得。二一3故实数a的值为a = 3.2 .【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量加减和数乘，属于基础题.【解答】解：因为点。在边48上，BD = 2DA,所以前 =2育，即诙一第=2(方一丽),所以荏= 3CD-2CA = 3n-2m =-2m + 3n.3 .【答案】D【解析】【分析】本题考查还有量词的命题的否定及真假的应用，充分必要条件的判定，属于中档题.【解答】解：对于4由含量词的命题的否定知，命题 F >2, ln%<%- 1”的否定是u3x0 > 2, lnx0 > 与 一 1”，故不正确；对于8,因为命题p是假命题，所以+ 1 > 0为真命题，当a = 0时，不等式为10恒成立；当。工0时，需满足色>02,，解得0Vq<4,M =殷一4a V 0综上所述，a的取值范围为a|OWa V4,故不正确；对于C, “方不的夹角为钝角”的充要条件是“小3 <0且万不平行于升'，所以“小至V0”是“优3的夹角为钝角”的必要不充分条件，故不正确；对于。，若由三角形中“大边对大角”可知，Q>b,由正弦定理可知，qin4 > qinS; OlliOlli若wir/>winB，由正弦定理可知，a> b,从而4 > B, OlliOlli故“/ > B”是“4/4 > sinB”的充要条件，故正确，4 .【答案】A【解析】【分析】本题考查了棱台的体积的计算，属于基础题。【解答】解：作出圆台的轴截面如图所示：由题意知，8尸=14寸，。=6寸，。/=18寸，0G = 9寸即G是。尸的中点GE为梯形OCBF的中位线.ge =上¥ = io寸即积水的上底面半径为10寸1盆中积水的体积为:兀x （100 + 36 + 10 x 6）x 9 = 5 887r（立方寸）又盆口的面积为142" = 196以平方寸）.平均降雨量是鬻=3寸，即平均降雨量是3寸 1967r.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列中捆绑法和插空法，属于基础题.【解答】解：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种 排列方式;为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种 插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：31x2x2 = 24 种不同的排列方式.5 .【答案】D【解析】【分析】本题考查球的切接问题，外接球的表面积的计算，属于中档题.【解答】解：如图所示，因为48 1平面BCD,且50 u平面BCD,所以48 1 BC, AB 1 BD,又因为= 2b，AC = AD = 4,可得BC = BD = J42 - （2V3）2 = 2，由。=2,所以BC。为边长为2的等边三角形，设力 BCD外接球的球心为0,半径为R, BC。外接圆的圆心为0:连接001，BO> BO,则0。1，平面BCD,则OOi = AB = V3,在正BCD,可得801=辿，3在直角BOOi中，可得R2 = B02 + 002 =（竽）2 + （百）2 =停所以外接球的表面积为S = 4tiR2 = 4tt x.【答案】C【解析】【分析】本题考查了【解答】解:由对数的运算法则得b = -ln9 = ln1, c = ln(-ln0.9) = In(lny).令函数/(%) = sin% - %,则/'(%) = cosx - 1 < 0,即函数f (%)在R是单调递减.1 1Sing<grr1令函数g(%) = sinx - ln(x + 1), % e (0,-),则g'(%) = cos%-不，令函数h(%) = cos% - Sp % e (0,),则“(%) =sin% + 襁彳，"(%)在(0电上单调递减，2勿(0) = 1>0,岭)=一；+而匕7<°, m6(0电，(%o) = O,所以/;(%)在(0%)上单调递增，在(%0电单调递减. 又:九(0) = 0,岭)=苧- 71 =苧一 76 > ° '> 0在(0电恒成立6.g'(%)>0,即g(x)在(05)上单调递增